Επίλυση Εξίσωσης Young-Laplace | Πίεση Διεπαφής

Τι είναι η εξίσωση Young-Laplace;

Η εξίσωση Young-Laplace είναι ένας τύπος της μηχανικής ρευστών που δίνει τη διαφορά πίεσης εκατέρωθεν μιας καμπύλης διεπιφάνειας μεταξύ δύο ρευστών, όπως η επιφάνεια μιας σταγόνας νερού ή μιας σαπουνόφουσκας. Δείχνει ότι αυτή η διαφορά πίεσης εξαρτάται από την επιφανειακή τάση του ρευστού και από το πόσο έντονα καμπυλώνεται η διεπιφάνεια. Η εξίσωση εξηγεί γιατί αυξάνεται η πίεση στο εσωτερικό σταγόνων και φυσαλίδων και γιατί οι μικρότερες έχουν υψηλότερη εσωτερική πίεση από τις μεγαλύτερες.

Πήρε το όνομά της από τον Thomas Young και τον Pierre-Simon Laplace, οι οποίοι περιέγραψαν ανεξάρτητα τη σχέση στις αρχές της δεκαετίας του 1800.

Τύπος της εξίσωσης Young-Laplace

Η γενική μορφή της εξίσωσης είναι:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ είναι η διαφορά πίεσης εκατέρωθεν της διεπιφάνειας, σε πασκάλ (Pa)
• $\gamma$ (γάμμα) είναι η επιφανειακή τάση του ρευστού, σε νιούτον ανά μέτρο (N/m)
• $R_1$ και $R_2$ είναι οι δύο κύριες ακτίνες καμπυλότητας της επιφάνειας, σε μέτρα (m)

Μια επιφάνεια καμπυλώνεται διαφορετικά σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Τα $R_1$ και $R_2$ περιγράφουν την καμπυλότητα κατά μήκος δύο κάθετων μεταξύ τους κατευθύνσεων. Για μια σφαίρα, όπως μια σταγόνα ή μια φυσαλίδα, το $R_1$ ισούται με το $R_2$, οπότε ο τύπος απλοποιείται ως εξής:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Πρόσημο των ακτίνων

Η πίεση είναι πάντα υψηλότερη στην κοίλη πλευρά μιας καμπύλης διεπιφάνειας, δηλαδή στην πλευρά από την οποία απομακρύνεται το εξόγκωμα της επιφάνειας. Για μια σταγόνα ή μια φυσαλίδα, αυτό σημαίνει ότι η εσωτερική πίεση είναι υψηλότερη από την εξωτερική. Μια ακτίνα θεωρείται θετική όταν το κέντρο καμπυλότητάς της βρίσκεται στην πλευρά υψηλότερης πίεσης. Αν η επιφάνεια καμπυλώνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση σε μία διεύθυνση, η αντίστοιχη ακτίνα θεωρείται αρνητική. Μια διεπιφάνεια σε σχήμα σέλας, όπως ο υγρός λαιμός ανάμεσα σε δύο εφαπτόμενους κόκκους, έχει μία θετική και μία αρνητική ακτίνα, και οι δύο όροι αλληλοαναιρούνται εν μέρει.

Αυτός ο υπολογιστής χρησιμοποιεί μόνο θετικές ακτίνες.

Ειδικές περιπτώσεις

• Επίπεδη επιφάνεια: καθώς μια ακτίνα αυξάνεται προς το άπειρο, ο αντίστοιχος όρος της στον τύπο μειώνεται προς το μηδέν. Μια απολύτως επίπεδη διεπιφάνεια δεν έχει καθόλου διαφορά πίεσης.
• Κύλινδρος: μια μακριά κυλινδρική επιφάνεια, όπως ένας πίδακας υγρού που εξέρχεται από ακροφύσιο, καμπυλώνεται μόνο προς μία κατεύθυνση. Η μία ακτίνα είναι η ακτίνα του κυλίνδρου και η άλλη είναι άπειρη κατά μήκος του, οπότε η εξίσωση γίνεται $\Delta P = \gamma / R$. Αυτή είναι η μισή διαφορά πίεσης μιας σφαίρας με την ίδια ακτίνα.
• Πολύ μικρές κλίμακες: κάτω από περίπου 10 έως 20 νανόμετρα, πρόσθετες επιδράσεις, όπως η τάση γραμμής, γίνονται σημαντικές και η απλή εξίσωση χάνει την ακρίβειά της.

Πώς υπολογίζεται η διαφορά πίεσης με την εξίσωση Young-Laplace

1. Βρείτε την επιφανειακή τάση του ρευστού, σε N/m, στη θερμοκρασία που σας ενδιαφέρει. Η επιφανειακή τάση μειώνεται καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία.
2. Μετρήστε ή εκτιμήστε την πρώτη κύρια ακτίνα καμπυλότητας, $R_1$, σε μέτρα.
3. Μετρήστε ή εκτιμήστε τη δεύτερη κύρια ακτίνα καμπυλότητας, $R_2$, σε μέτρα. Για μια σφαίρα, χρησιμοποιήστε την ίδια τιμή με το $R_1$. Για έναν κύλινδρο, χρησιμοποιήστε έναν πολύ μεγάλο αριθμό ως προσέγγιση του απείρου.
4. Πολλαπλασιάστε την επιφανειακή τάση με το άθροισμα των $1/R_1$ και $1/R_2$. Το αποτέλεσμα είναι η διαφορά πίεσης σε πασκάλ.

Διατηρήστε κάθε τιμή σε μονάδες SI. Η ανάμειξη χιλιοστών με μέτρα, για παράδειγμα, προκαλεί σφάλμα κατά έναν παράγοντα χιλίων στο αποτέλεσμα.

Λυμένο παράδειγμα

Θεωρήστε μια σφαιρική σταγόνα νερού με ακτίνα 1 χιλιοστό (0,001 m) και επιφανειακή τάση 0,072 N/m, μια τυπική τιμή για το νερό κοντά στη θερμοκρασία δωματίου.

Επειδή η σταγόνα είναι σφαίρα, $R_1 = R_2 = R$, οπότε:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Η πίεση στο εσωτερικό της σταγόνας είναι κατά 144 Pa υψηλότερη από την πίεση του περιβάλλοντος αέρα. Αυτή είναι μικρή σε σύγκριση με τη φυσιολογική ατμοσφαιρική πίεση, περίπου 101.325 Pa, αλλά η επίδραση αυξάνεται γρήγορα καθώς συρρικνώνεται η σταγόνα. Μια σταγόνα με το ένα δέκατο του μεγέθους, με ακτίνα 0,1 mm, έχει δεκαπλάσια διαφορά πίεσης: 1.440 Pa. Μια σταγόνα με ακτίνα 0,01 mm φτάνει τα 14.400 Pa, πάνω από 14% της ατμοσφαιρικής πίεσης.

Πού εφαρμόζεται η εξίσωση

• Σταγόνες και φυσαλίδες: η υψηλότερη πίεση στο εσωτερικό μικρών σταγόνων προκαλεί την ωρίμανση Ostwald, τη διαδικασία κατά την οποία οι μικρές σταγόνες ενός γαλακτώματος συρρικνώνονται ενώ οι μεγαλύτερες αυξάνονται, επειδή το περιεχόμενό τους διαχέεται από την υψηλή προς τη χαμηλή πίεση.
• Τριχοειδής δράση: η καμπύλη επιφάνεια στο εσωτερικό ενός στενού σωλήνα έλκει το υγρό προς τα πάνω. Γι’ αυτό το νερό ανεβαίνει σε χαρτοπετσέτες και στενούς γυάλινους σωλήνες.
• Αναπνοή: οι μικροσκοπικοί αερόσακοι στους πνεύμονες, που ονομάζονται κυψελίδες, συμπεριφέρονται σαν μικρές φυσαλίδες. Μια επικάλυψη που ονομάζεται πνευμονικό επιφανειοδραστικό μειώνει την επιφανειακή τάση, ώστε οι μικρές κυψελίδες να μην καταρρέουν υπό την πίεση που προβλέπει η εξίσωση. Τα πρόωρα βρέφη που δεν διαθέτουν αρκετό επιφανειοδραστικό μπορεί να εμφανίσουν αναπνευστικά προβλήματα για αυτόν τον λόγο.
• Εκτύπωση inkjet: τα ακροφύσια των εκτυπωτών σχηματίζουν σταγόνες διαμέτρου μερικών δεκάδων μικρομέτρων, όπου η πίεση από την καμπυλότητα είναι αρκετά μεγάλη ώστε να επηρεάζει τον τρόπο εξόδου του μελανιού από το ακροφύσιο.
• Επιστήμη υλικών: τα όργανα που μετρούν τον τρόπο με τον οποίο τα υγρά διαβρέχουν μια επιφάνεια και τη συμπεριφορά λεπτών επικαλύψεων χρησιμοποιούν την εξίσωση για να συσχετίσουν το σχήμα μιας σταγόνας με την επιφανειακή της ενέργεια.

Ιστορία

Οι άνθρωποι παρατηρούσαν τα υγρά να ανεβαίνουν σε στενούς σωλήνες πολύ πριν εξηγηθεί ο λόγος. Στις αρχές της δεκαετίας του 1700, ο Francis Hauksbee έδειξε πειραματικά ότι οι στενότεροι σωλήνες προκαλούν μεγαλύτερη τριχοειδή ανύψωση, και το 1718 ο James Jurin περιέγραψε την ανύψωση ως αντιστρόφως ανάλογη της διαμέτρου του σωλήνα.

Ο Thomas Young εξήγησε τη βασική φυσική σε μια εργασία του 1805, εισάγοντας την επιφανειακή τάση ως ιδιότητα ενός ρευστού και συνδέοντάς την με την πίεση σε καμπύλες επιφάνειες, αν και η ανάλυσή του ήταν κυρίως περιγραφική. Το 1806, ο Pierre-Simon Laplace ανέπτυξε τη μαθηματική μορφή χρησιμοποιώντας απειροστικό λογισμό και κατέληξε ανεξάρτητα στην ίδια σχέση. Η συνδυασμένη εργασία τους έγινε γνωστή ως εξίσωση Young-Laplace. Αργότερα επιστήμονες, μεταξύ των οποίων οι Carl Friedrich Gauss και Joseph Plateau, έλεγξαν και επέκτειναν τη θεωρία κατά τη δεκαετία του 1800.

Συχνές ερωτήσεις

Τι υπολογίζει η εξίσωση Young-Laplace; Υπολογίζει τη διαφορά πίεσης εκατέρωθεν μιας καμπύλης διεπιφάνειας μεταξύ δύο ρευστών, με βάση την επιφανειακή τάση του ρευστού και την καμπυλότητα της διεπιφάνειας.

Γιατί η πίεση είναι υψηλότερη στο εσωτερικό μιας μικρότερης σταγόνας; Η επιφανειακή τάση έλκει κατά μήκος του χείλους της σταγόνας, και αυτή η ελκτική δύναμη αυξάνεται ανάλογα με την ακτίνα. Η επιφάνεια πάνω στην οποία δρα η πίεση αυξάνεται ανάλογα με το τετράγωνο της ακτίνας. Η εξισορρόπηση των δύο δίνει $\Delta P = 2\gamma/R$, επομένως η διαφορά πίεσης είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας: αν η ακτίνα υποδιπλασιαστεί, η διαφορά πίεσης διπλασιάζεται.

Πώς επηρεάζει η θερμοκρασία την εξίσωση; Η θερμοκρασία μεταβάλλει την τιμή της επιφανειακής τάσης, και η επιφανειακή τάση μειώνεται καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία. Για το νερό, η επιφανειακή τάση μειώνεται από περίπου 0,073 N/m στους 20 °C σε περίπου 0,063 N/m στους 80 °C, δηλαδή μειώνεται κατά περίπου 0,17 mN/m για κάθε βαθμό Κελσίου. Η επιφανειακή τάση σε θερμοκρασία δωματίου είναι υψηλότερη από εκείνη του ζεστού νερού, οπότε η χρήση τιμής θερμοκρασίας δωματίου για ένα θερμό σύστημα υπερεκτιμά τη διαφορά πίεσης.

Λειτουργεί η εξίσωση για σχήματα διαφορετικά από τις σφαίρες; Ναι. Η γενική μορφή, με δύο ξεχωριστές ακτίνες $R_1$ και $R_2$, καλύπτει κάθε καμπύλη επιφάνεια, συμπεριλαμβανομένων των ελλειψοειδών και των διεπιφανειών σε σχήμα σέλας. Μόνο η απλοποιημένη μορφή $2\gamma/R$ περιορίζεται στις σφαίρες.

Πώς διαφέρει η εξίσωση Young-Laplace από την εξίσωση του Young; Η εξίσωση Young-Laplace δίνει τη διαφορά πίεσης που προκαλείται από μια καμπύλη διεπιφάνεια. Η εξίσωση του Young, μια ξεχωριστή σχέση που προέρχεται επίσης από τον Thomas Young, δίνει τη γωνία επαφής μιας σταγόνας στο σημείο όπου συναντά μια στερεή επιφάνεια, με βάση τις επιφανειακές ενέργειες των τριών υλικών που συμμετέχουν. Περιγράφουν διαφορετικά πράγματα και χρησιμοποιούνται ορισμένες φορές μαζί για την ανάλυση μιας σταγόνας που βρίσκεται πάνω σε επιφάνεια.

Πόσο μικρή μπορεί να γίνει μια σταγόνα πριν πάψει να ισχύει η εξίσωση; Η εξίσωση παραμένει ακριβής έως περίπου 1 μικρόμετρο. Κάτω από περίπου 10 έως 20 νανόμετρα, πρόσθετες δυνάμεις που αγνοεί η εξίσωση, συμπεριλαμβανομένης της τάσης γραμμής και των δυνάμεων μεταξύ επιφανειών σε μοριακή κλίμακα, γίνονται αρκετά μεγάλες ώστε να έχουν σημασία και απαιτούνται λεπτομερέστερα μοντέλα.

Παραπομπές

1. Young, T. (1805). «An Essay on the Cohesion of Fluids». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, συμπλήρωμα στο Βιβλίο 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. και Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. και Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6η έκδ.). Wiley-Interscience.