Υπολογιστής μοναδιαίου κύκλου: Ακριβή ημ., συν. και εφ.
Εισαγάγετε μια γωνία σε μοίρες ή ακτίνια για να βρείτε το σημείο της στον μοναδιαίο κύκλο, το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη, τη γωνία αναφοράς και το τεταρτημόνιο. Ακριβείς τιμές για βασικές γωνίες.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Υπολογιστής φόρτωσης...
📚
Τεκμηρίωση
Υπολογιστής μοναδιαίου κύκλου
Ο μοναδιαίος κύκλος είναι ο κύκλος με ακτίνα 1 που σχεδιάζεται γύρω από την αρχή των αξόνων ενός γραφήματος. Ένας υπολογιστής μοναδιαίου κύκλου δέχεται μία γωνία και αναφέρει πού συναντά αυτή η γωνία τον κύκλο: το σημείο (x, y), το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, τη γωνία αναφοράς και το τεταρτημόριο. Αυτή η σελίδα διαβάζει μια γωνία σε μοίρες ή ακτίνια και δίνει ακριβείς τιμές όπως √3/2 στις δεκαέξι βασικές γωνίες.
Τι κάνει ο υπολογιστής
Ο χρήστης πληκτρολογεί μία γωνία και επιλέγει μοίρες ή ακτίνια. Η σελίδα επιστρέφει:
- το σημείο (x, y) όπου η γωνία τέμνει τον κύκλο
- cos θ, sin θ και tan θ
- την παραπληρωματική γωνία, σε μοίρες και ακτίνια
- το τεταρτημόριο ή τον άξονα, όταν η γωνία καταλήγει πάνω σε έναν από αυτούς
- τη γωνία και στις δύο μονάδες, καθώς και την ίδια γωνία αναδιπλωμένη σε μία πλήρη περιστροφή
Στις δεκαέξι βασικές γωνίες, οι απαντήσεις εκτυπώνονται ως ακριβείς κλειστές μορφές, με τα δεκαδικά να εμφανίζονται από κάτω. Κάθε άλλη γωνία εμφανίζεται με οκτώ σημαντικά ψηφία. Μόνο η εμφάνιση στρογγυλοποιείται.
Ο τύπος του μοναδιαίου κύκλου
Οι γωνίες μετρώνται αριστερόστροφα από τον θετικό ημιάξονα x. Μια ημιευθεία που σχηματίζεται υπό γωνία θ τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο, και οι δύο συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι το συνημίτονο και το ημίτονο:
όπου είναι η οριζόντια συντεταγμένη, η κατακόρυφη συντεταγμένη και η γωνία.
Η ακτίνα είναι 1, επομένως οι συντεταγμένες και οι δύο τιμές των συναρτήσεων είναι το ίδιο ζεύγος αριθμών με δύο ονομασίες. Γι’ αυτό ο κύκλος σχεδιάζεται με ακτίνα 1 και όχι με οποιοδήποτε άλλο μέγεθος. Η εφαπτομένη προκύπτει από το ίδιο ζεύγος:
Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα, εφαρμοσμένο στο ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές και και υποτείνουσα 1:
Μοίρες και ακτίνια
Η σελίδα δέχεται οποιαδήποτε από τις δύο μονάδες και αναφέρει και τις δύο. Συνδέονται μεταξύ τους επειδή μισή περιστροφή ισούται με π ακτίνια:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ όπου το $\theta_{\mathrm{deg}}$ είναι η γωνία σε μοίρες και το $\theta_{\mathrm{rad}}$ είναι η ίδια γωνία σε ακτίνια. ### Αναδίπλωση σε μία πλήρη περιστροφή Μια γωνία μπορεί να είναι αρνητική και μπορεί να ξεπερνά μία πλήρη περιστροφή. Το σημείο στον κύκλο επαναλαμβάνεται κάθε 360°, επομένως η σελίδα αναδιπλώνει πρώτα τη γωνία στο διάστημα από 0° έως, αλλά όχι συμπεριλαμβανομένων, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ όπου $\theta$ είναι η γωνία όπως πληκτρολογήθηκε, σε μοίρες, και $\theta_0$ είναι η ίδια κατεύθυνση γραμμένη μέσα σε μία πλήρη περιστροφή. Η 750° αναδιπλώνεται σε 30° και η −30° σε 330°. Η αναδίπλωση γίνεται σε μοίρες, όπου το υπόλοιπο υπολογίζεται ακριβώς. ### Γωνία αναφοράς και τεταρτημόριο Η παραπληρωματική γωνία είναι η οξεία γωνία μεταξύ της ημιευθείας και του άξονα x. Δεν είναι ποτέ μεγαλύτερη από 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{διαφορετικά} \end{cases}$$ όπου $\theta_0$ είναι η αναδιπλωμένη γωνία σε μοίρες. Το μέγεθος του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης εξαρτάται μόνο από την παραπληρωματική γωνία. Το τεταρτημόριο καθορίζει τα πρόσημα. | Τεταρτημόριο | Αναδιπλωμένη γωνία | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | από 0° έως 90° | + | + | + | | II | από 90° έως 180° | − | + | − | | III | από 180° έως 270° | − | − | + | | IV | από 270° έως 360° | + | − | − | Οι γωνίες 0°, 90°, 180° και 270° βρίσκονται πάνω σε έναν άξονα. Το τεταρτημόριο είναι η ανοικτή περιοχή μεταξύ δύο αξόνων, επομένως καμία από αυτές τις τέσσερις γωνίες δεν βρίσκεται μέσα σε τεταρτημόριο και η σελίδα ονομάζει τον άξονα αντί να επιλέξει ένα γειτονικό τεταρτημόριο. ### Οι δεκαέξι βασικές γωνίες Πέντε γωνίες αναφοράς έχουν ακριβείς κλειστές μορφές. | Παραπληρωματική γωνία | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | μη ορισμένη | Η ανάκλαση αυτών των σειρών στα άλλα τρία τεταρτημόρια δίνει δεκαέξι γωνίες: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 και 330 μοίρες. Η σελίδα τις δημιουργεί περιστρέφοντας τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου κατά ένα τέταρτο της περιστροφής κάθε φορά, αντί να αντιγράφει τον πίνακα τέσσερις φορές, επειδή κατά την αντιγραφή μπορεί να εισαχθεί λάθος πρόσημο. Οι 15°, 75° και 105° έχουν επίσης κλειστές μορφές, αλλά με δύο όρους, όπως 2 − √3. Δεν ανήκουν σε αυτή την οικογένεια και δίνονται ως δεκαδικοί. Για τη γωνία 15° η σελίδα δίνει cos 0,96592583, sin 0,25881905 και tan 0,26794919. ### Παράδειγμα: 210 μοίρες Η 210° είναι μεγαλύτερη από 180° και μικρότερη από 270°, επομένως βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο. Αν αφαιρέσουμε 180, απομένει παραπληρωματική γωνία 30°. Σε γωνία αναφοράς 30° τα τρία μεγέθη είναι √3/2, 1/2 και √3/3. Στο τρίτο τεταρτημόριο και οι δύο συντεταγμένες είναι αρνητικές, επομένως το σημείο είναι (−√3/2, −1/2). Η εφαπτομένη είναι αρνητικός αριθμός διαιρεμένος με αρνητικό αριθμό, οπότε παραμένει θετική, ίση με √3/3. Σε ακτίνια η γωνία είναι 7π/6 και η παραπληρωματική γωνία είναι π/6. Ως δεκαδικοί, η σελίδα εμφανίζει cos −0,8660254, sin −0,5 και tan 0,57735027. Οι 570° και −150° δίνουν τις ίδιες απαντήσεις, επειδή και οι δύο αναδιπλώνονται στις 210°. ### Ποιες σταθερές είναι ακριβείς | Σταθερά | Τιμή | Ακριβής; | Πηγή | |---|---|---|---| | Μοίρες σε μία πλήρη περιστροφή | 360 | ακριβής εξ ορισμού | ISO 80000-3 | | Ακτίνια σε μία πλήρη περιστροφή | 2π | ακριβής εξ ορισμού | ISO 80000-3· φυλλάδιο SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | ακριβές | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | ακριβές | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | ακριβές | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | καμία τιμή | ακριβές, πόλος | NIST DLMF §4,15 | Το π είναι άρρητος αριθμός, επομένως δεν έχει ακριβή δεκαδική ή δυαδική μορφή και κάθε αποθηκευμένη τιμή του είναι στρογγυλοποιημένη. Η σελίδα κρατά αυτή τη στρογγυλοποίηση έξω από τις απαντήσεις της με δύο τρόπους. Η αναδίπλωση γίνεται σε μοίρες, όπου το 360 διαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Και οι βασικές γωνίες διαβάζονται από τον παραπάνω πίνακα κλειστών μορφών, ποτέ από ημίτονο κινητής υποδιαστολής. ### Ανάγνωση γωνίας που πληκτρολογήθηκε σε ακτίνια Μια καταχώριση σε ακτίνια είναι ήδη στρογγυλοποιημένος δεκαδικός αριθμός. Το π/2 πληκτρολογείται ως 1,5707963267948966 και η αντίστροφη μετατροπή δίνει γωνία που βρίσκεται περίπου ένα δεκάκις τρισεκατομμυριοστό της μοίρας μακριά από τις 90°, αντί για ακριβώς 90°. Έτσι, η σελίδα διαβάζει κάθε γωνία που απέχει λιγότερο από ένα εκατομμυριοστό της μοίρας από μια βασική γωνία ως αυτή τη γωνία. Η ανοχή επιλέγει ποιος πίνακας θα χρησιμοποιηθεί· δεν διευρύνει ποτέ μια απάντηση. Οι 30,001° δεν γίνονται 30°. Γωνίες πάνω από ένα δισεκατομμύριο μοίρες απορρίπτονται. Αυτό είναι περιορισμός της αριθμητικής, όχι της γεωμετρίας: η απόσταση μεταξύ των αριθμών που μπορεί να αποθηκεύσει ένας υπολογιστής αυξάνεται μαζί με το μέγεθός τους και, μετά από περίπου τεσσεράμισι δισεκατομμύρια μοίρες, η απόσταση είναι μεγαλύτερη από την ανοχή του ενός εκατομμυριοστού της μοίρας, οπότε η αναδίπλωση δεν διατηρεί πλέον αρκετές λεπτομέρειες για να ονομαστεί μια γωνία. Το ένα δισεκατομμύριο αφήνει περιθώριο κάτω από αυτό το σημείο. ### Συχνές ερωτήσεις **Σε τι χρησιμεύει ο μοναδιαίος κύκλος;** Μετατρέπει το ημίτονο και το συνημίτονο σε συντεταγμένες. Η ανάγνωση ενός σημείου από τον κύκλο δίνει και τις δύο τιμές ταυτόχρονα, ενώ το σχήμα δείχνει γιατί επαναλαμβάνονται σε κάθε πλήρη περιστροφή και γιατί τα πρόσημά τους αλλάζουν από το ένα τεταρτημόριο στο επόμενο. **Ποια είναι η ακριβής τιμή του sin 30°;** Ένα δεύτερο. Το cos 30° είναι √3/2, περίπου 0,8660254, και το tan 30° είναι √3/3, περίπου 0,57735027. **Γιατί το tan 90° δεν ορίζεται;** Η εφαπτομένη είναι το ημίτονο διαιρεμένο με το συνημίτονο και το cos 90° είναι 0. Η διαίρεση με το μηδέν δεν έχει αποτέλεσμα. Η σελίδα εντοπίζει τον πόλο ονομάζοντας τη γωνία και όχι ελέγχοντας αν μια υπολογισμένη εφαπτομένη επέστρεψε μεγάλη τιμή, επειδή μια απότομη εφαπτομένη λίγο πριν από τις 90° είναι ένας συνηθισμένος αριθμός. **Τι είναι η παραπληρωματική γωνία;** Είναι η οξεία γωνία μεταξύ της ημιευθείας και του άξονα x, επομένως βρίσκεται πάντα μεταξύ 0° και 90°. Οι 150°, 210° και 330° έχουν όλες παραπληρωματική γωνία 30°, γι’ αυτό το ημίτονο και το συνημίτονό τους έχουν τα ίδια τρία μεγέθη και διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο. **Λειτουργεί μια αρνητική γωνία;** Ναι. Μια αρνητική γωνία μετριέται δεξιόστροφα. Η −30° δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με την 330°, επομένως η σελίδα επιστρέφει το σημείο (√3/2, −1/2) και το τεταρτημόριο IV. **Γιατί η σελίδα εμφανίζει τη γωνία δύο φορές;** Οι 750° και 30° τέμνουν τον κύκλο στο ίδιο σημείο, αλλά δεν είναι η ίδια περιστροφή. Η σελίδα επαναλαμβάνει τη γωνία όπως πληκτρολογήθηκε, τη μετατρέπει στην άλλη μονάδα και εμφανίζει δίπλα της την αναδιπλωμένη γωνία.