Υπολογιστής Κρίσιμων Τιμών | Δοκιμή Z, δοκιμή t, Χι-τετράγωνο

Η κρίσιμη τιμή είναι το σημείο αποκοπής σε μια κατανομή πιθανότητας που σηματοδοτεί το όριο της «περιοχής απόρριψης» σε έναν έλεγχο υπόθεσης. Αν ένα στατιστικό ελέγχου υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή, το αποτέλεσμα κρίνεται στατιστικά σημαντικό και η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Η αριθμομηχανή αυτή βρίσκει κρίσιμες τιμές για τους τρεις συνηθέστερους ελέγχους: τον έλεγχο Z, τον έλεγχο t και τον έλεγχο χι-τετράγωνο.

Τι είναι η κρίσιμη τιμή;

Στη στατιστική, οι ερευνητές συχνά ξεκινούν με μια μηδενική υπόθεση, δηλαδή την απλή παραδοχή ότι δεν συμβαίνει τίποτα ασυνήθιστο (για παράδειγμα, ότι ένα νέο φάρμακο δεν έχει επίδραση). Ένα στατιστικό ελέγχου υπολογίζεται από τα δεδομένα του δείγματος και συγκρίνεται με μια κρίσιμη τιμή, ώστε να αποφασιστεί αν τα δεδομένα παρέχουν επαρκείς ενδείξεις κατά της μηδενικής υπόθεσης.

Η κρίσιμη τιμή εξαρτάται από τρία πράγματα: την επιλογή του ελέγχου, το επίπεδο σημαντικότητας (που συμβολίζεται με α, το ελληνικό γράμμα άλφα) και το αν ο έλεγχος είναι μονόπλευρος ή αμφίπλευρος. Το επίπεδο σημαντικότητας είναι η πιθανότητα να απορριφθεί εσφαλμένα μια αληθής μηδενική υπόθεση και συχνά ορίζεται σε 0,05 (5%) ή 0,01 (1%).

Ένας μονόπλευρος έλεγχος εξετάζει την επίδραση προς μία μόνο κατεύθυνση, όπως «μεγαλύτερη από». Έχει μία κρίσιμη τιμή. Ένας αμφίπλευρος έλεγχος εξετάζει την επίδραση προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και έχει δύο κρίσιμες τιμές, μία σε κάθε πλευρά της κατανομής.

Πώς υπολογίζεται μια κρίσιμη τιμή

1. Επιλέξτε τον έλεγχο: έλεγχος Z (μεγάλα δείγματα ή γνωστή διακύμανση πληθυσμού), έλεγχος t (μικρά δείγματα με άγνωστη διακύμανση) ή έλεγχος χι-τετράγωνο (κατηγορικά δεδομένα ή έλεγχος καλής προσαρμογής).
2. Επιλέξτε τον τύπο ουράς: μονόπλευρος ή αμφίπλευρος.
3. Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας α, ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1. Συνήθεις επιλογές είναι οι 0,10, 0,05 και 0,01.
4. Για έναν έλεγχο t ή χι-τετράγωνο, εισαγάγετε τους βαθμούς ελευθερίας (df). Για έναν έλεγχο t, το df ισούται με το μέγεθος του δείγματος μείον 1. Για έναν έλεγχο καλής προσαρμογής χι-τετράγωνο, το df ισούται με τον αριθμό των κατηγοριών μείον 1.
5. Αναζητήστε (ή υπολογίστε) την τιμή που αποκόπτει την επιλεγμένη περιοχή ουράς κάτω από την καμπύλη της κατανομής. Αυτή είναι η κρίσιμη τιμή.

Τύποι κρίσιμων τιμών

Κάθε τύπος χρησιμοποιεί την αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής: την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη έως το x ισούται με μια πιθανότητα-στόχο p.

Τύπος ελέγχου Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(μονόπλευρος)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(αμφίπλευρος)}$

Το Φ⁻¹ είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση της τυπικής κανονικής κατανομής.

Τύπος ελέγχου t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(μονόπλευρος)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(αμφίπλευρος)}$

Το t⁻¹(p, df) είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής της κατανομής t με df βαθμούς ελευθερίας.

Τύπος ελέγχου χι-τετράγωνο

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(μονόπλευρος)}$ $\chi^2_{\text{κάτω}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{άνω}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(αμφίπλευρος)}$

Η κατανομή χι-τετράγωνο παίρνει μόνο θετικές τιμές, επομένως και οι δύο κρίσιμες τιμές είναι θετικές και η κάτω είναι μικρότερη από την άνω.

Παράδειγμα: κρίσιμη τιμή ελέγχου Z

Μια ομάδα ποιοτικού ελέγχου θέλει την κρίσιμη τιμή ενός μονόπλευρου ελέγχου Z για α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Κάθε στατιστικό ελέγχου πάνω από 1,6449 εμπίπτει στην περιοχή απόρριψης.

Παράδειγμα: κρίσιμη τιμή ελέγχου t

Ένας ερευνητής διεξάγει ένα πείραμα με 20 συμμετέχοντες, επομένως df = 19. Θέλει αμφίπλευρη κρίσιμη τιμή για α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Οι περιοχές απόρριψης είναι t < -2,8609 και t > 2,8609.

Παράδειγμα: κρίσιμες τιμές χι-τετράγωνο

Ένας αναλυτής συγκρίνει παρατηρούμενες και αναμενόμενες συχνότητες σε 5 κατηγορίες, επομένως df = 4. Θέλει αμφίπλευρες κρίσιμες τιμές για α = 0,05.

$\chi^2_{\text{κάτω}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{άνω}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Ένα στατιστικό χι-τετράγωνο κάτω από 0,4844 ή πάνω από 11,1433 θα ενέπιπτε στην περιοχή απόρριψης.

Συνήθεις κρίσιμες τιμές

Καθώς αυξάνονται οι βαθμοί ελευθερίας, οι κρίσιμες τιμές της κατανομής t συγκλίνουν προς τις αντίστοιχες τιμές του ελέγχου Z, επειδή η κατανομή t προσεγγίζει την κανονική κατανομή.

Συχνές ερωτήσεις

Σε τι χρησιμοποιείται μια κρίσιμη τιμή; Καθορίζει το όριο για να αποφασιστεί αν ένα στατιστικό ελέγχου είναι αρκετά ακραίο ώστε να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση. Αν το στατιστικό υπερβεί την κρίσιμη τιμή, το αποτέλεσμα είναι στατιστικά σημαντικό στο επιλεγμένο επίπεδο α.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μονόπλευρης και αμφίπλευρης κρίσιμης τιμής; Ένας μονόπλευρος έλεγχος αναζητά επίδραση προς μία κατεύθυνση και έχει μία μόνο κρίσιμη τιμή. Ένας αμφίπλευρος έλεγχος αναζητά επίδραση προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και έχει δύο κρίσιμες τιμές, τοποθετημένες συμμετρικά γύρω από το κέντρο για τον έλεγχο Z και τον έλεγχο t. Για το ίδιο α, μια αμφίπλευρη κρίσιμη τιμή έχει μεγαλύτερο απόλυτο μέγεθος από μια μονόπλευρη, επειδή η ίδια συνολική πιθανότητα κατανέμεται σε δύο ουρές αντί για μία.

Πότε πρέπει να χρησιμοποιείται έλεγχος Z αντί για έλεγχο t; Ο έλεγχος Z χρησιμοποιείται όταν η διακύμανση του πληθυσμού είναι γνωστή ή το δείγμα είναι μεγάλο, συνήθως με 30 ή περισσότερες παρατηρήσεις. Ο έλεγχος t χρησιμοποιείται για μικρότερα δείγματα με άγνωστη διακύμανση πληθυσμού. Καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, οι κρίσιμες τιμές του ελέγχου t συγκλίνουν προς τις κρίσιμες τιμές του ελέγχου Z.

Μπορεί μια κρίσιμη τιμή να είναι αρνητική; Ναι. Οι κατανομές των ελέγχων Z και t είναι συμμετρικές γύρω από το μηδέν, επομένως ένας αμφίπλευρος έλεγχος έχει μία αρνητική και μία θετική κρίσιμη τιμή. Οι κρίσιμες τιμές χι-τετράγωνο είναι πάντα θετικές, επειδή η κατανομή χι-τετράγωνο ορίζεται μόνο για τιμές μηδενικές ή μεγαλύτερες.

Πώς επηρεάζουν οι βαθμοί ελευθερίας μια κρίσιμη τιμή; Οι βαθμοί ελευθερίας μετρούν πόση ανεξάρτητη πληροφορία περιέχουν τα δεδομένα και συνήθως ισούνται με το μέγεθος του δείγματος μείον τον αριθμό των παραμέτρων που έχουν ήδη εκτιμηθεί. Οι λιγότεροι βαθμοί ελευθερίας παράγουν κατανομές πιο πλατιές και με βαρύτερες ουρές, καθώς και μεγαλύτερες κρίσιμες τιμές. Οι περισσότεροι βαθμοί ελευθερίας φέρνουν την κατανομή t και την κατανομή χι-τετράγωνο πιο κοντά στην κανονική κατανομή.

Ποια κρίσιμη τιμή αντιστοιχεί σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%; Ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 95% χρησιμοποιεί α = 0,05. Για έναν αμφίπλευρο έλεγχο Z, οι κρίσιμες τιμές είναι ±1,9600. Για έναν μονόπλευρο έλεγχο Z, η κρίσιμη τιμή είναι 1,6449.

Ιστορία

Ο Karl Pearson εισήγαγε τον έλεγχο χι-τετράγωνο το 1900. Ο William Sealy Gosset, δημοσιεύοντας με το όνομα «Student», ανέπτυξε την κατανομή t το 1908 για να χειρίζεται μικρά δείγματα στο ζυθοποιείο Guinness. Ο Ronald Fisher συστηματοποίησε τον έλεγχο σημαντικότητας και τις κρίσιμες τιμές τη δεκαετία του 1920, στο βιβλίο του Statistical Methods for Research Workers. Πριν από τους υπολογιστές, οι ερευνητές αναζητούσαν κρίσιμες τιμές σε έντυπους πίνακες· πλέον οι αριθμομηχανές και το λογισμικό τις υπολογίζουν απευθείας από τους τύπους των κατανομών.

Παραπομπές

1. Pearson, K. (1900). «On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.» Philosophical Magazine, σειρά 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). «The probable error of a mean.» Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Εδιμβούργο: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, «Critical Values.»