Υπολογιστής Z-Score - Εργαλείο Τυπικού Σκορ & Πιθανότητας

Τι είναι το z-score;

Το z-score, γνωστό και ως τυποποιημένη βαθμολογία, μετρά πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχει ένα σημείο δεδομένων από τον μέσο όρο ενός συνόλου δεδομένων. Ένα z-score ίσο με 0 σημαίνει ότι η τιμή ισούται με τον μέσο όρο. Ένα θετικό z-score σημαίνει ότι η τιμή είναι πάνω από τον μέσο όρο, και ένα αρνητικό z-score σημαίνει ότι είναι κάτω από τον μέσο όρο.

Τύπος z-score

Το z-score ενός σημείου δεδομένων υπολογίζεται με αυτόν τον τύπο:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Όπου:

$z$ είναι το z-score
$x$ είναι το σημείο δεδομένων
$\mu$ είναι ο μέσος όρος του συνόλου δεδομένων
$\sigma$ είναι η τυπική απόκλιση του συνόλου δεδομένων

Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν, επειδή η διαίρεση με το μηδέν δεν έχει ορισμένο αποτέλεσμα. Επίσης δεν μπορεί να είναι αρνητική, αφού μια τυπική απόκλιση είναι πάντα μηδέν ή θετική εξ ορισμού.

Πώς να υπολογίσετε ένα z-score

Βρείτε τον μέσο όρο του συνόλου δεδομένων προσθέτοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με τον αριθμό των τιμών, $n$ .

\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

Βρείτε την τυπική απόκλιση. Υπολογίστε πρώτα τη διακύμανση, τον μέσο όρο των τετραγώνων των αποκλίσεων από τον μέσο όρο, και έπειτα βρείτε την τετραγωνική της ρίζα.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}

Αυτή είναι η τυπική απόκλιση πληθυσμού, η οποία διαιρεί με το $n$ . Όταν οι αριθμοί αποτελούν δείγμα από έναν μεγαλύτερο πληθυσμό, διαιρέστε αντ' αυτού με το $n - 1$ .

Αφαιρέστε τον μέσο όρο από το σημείο δεδομένων και διαιρέστε με την τυπική απόκλιση.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Λυμένο παράδειγμα

Ένας μαθητής βαθμολογείται με 85 σε ένα τεστ. Ο μέσος όρος της τάξης είναι 75, και η τυπική απόκλιση των βαθμών της τάξης είναι 10.

Σημείο δεδομένων: $x = 85$
Μέσος όρος: $\mu = 75$
Τυπική απόκλιση: $\sigma = 10$

z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0

Το z-score του μαθητή είναι 1,0. Ο βαθμός του είναι μία τυπική απόκλιση πάνω από τον μέσο όρο της τάξης.

Z-score και αθροιστική πιθανότητα

Ένα z-score μπορεί να μετατραπεί σε αθροιστική πιθανότητα, δηλαδή την πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη τιμή από μια κανονική κατανομή να βρίσκεται στο σημείο αυτό ή χαμηλότερα. Αυτό είναι το εμβαδόν κάτω από την τυπική κανονική καμπύλη στα αριστερά του $z$ .

P(Z \leq z) = \Phi(z)

Για το z-score 1,0 του μαθητή, η αθροιστική πιθανότητα είναι περίπου 0,8413, ή 84,13%. Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής βαθμολογήθηκε καλύτερα από περίπου το 84% της τάξης, υποθέτοντας ότι οι βαθμοί ακολουθούν κανονική κατανομή. Ο υπολογιστής εμφανίζει το z-score με τέσσερα δεκαδικά ψηφία και την αθροιστική πιθανότητα ως ποσοστό με δύο δεκαδικά ψηφία.

Μερικά σημεία αναφοράς:

z-score	Αθροιστική πιθανότητα
-2,0	2,3%
-1,0	15,9%
0,0	50,0%
1,0	84,1%
2,0	97,7%

Ερμηνεία ενός z-score

Οι περισσότερες τιμές σε μια κανονική κατανομή βρίσκονται εντός 2 τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο. Τα z-scores πέρα από +3 ή -3 είναι σπάνια και συχνά αντιμετωπίζονται ως ακραίες τιμές (outliers), δηλαδή τιμές που διαφέρουν έντονα από τα υπόλοιπα δεδομένα.

Τα z-scores επιτρέπουν επίσης τη σύγκριση τιμών που μετρώνται σε διαφορετικές κλίμακες. Ένας βαθμός τεστ και μια μέτρηση ύψους δεν μπορούν να συγκριθούν απευθείας, αλλά τα z-scores τους μπορούν, επειδή και τα δύο περιγράφουν την απόσταση από έναν μέσο όρο στις ίδιες μονάδες τυπικής απόκλισης.

Z-score έναντι t-score

Ένα z-score προϋποθέτει ότι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή και λειτουργεί καλύτερα με μεγάλα δείγματα. Ένα t-score χρησιμοποιείται αντ' αυτού όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη και το δείγμα είναι μικρό, συνήθως κάτω από 30 παρατηρήσεις. Και τα δύο περιγράφουν απόσταση από έναν μέσο όρο, αλλά το t-score προέρχεται από την κατανομή t, η οποία έχει πιο βαριές ουρές για να λάβει υπόψη την επιπλέον αβεβαιότητα σε ένα μικρό δείγμα.

Συνηθισμένες χρήσεις των z-scores

Τυποποιημένα τεστ. Σύγκριση του ακατέργαστου βαθμού ενός μαθητή με τη συνολική κατανομή των βαθμών.
Εντοπισμός ακραίων τιμών. Επισήμανση σημείων δεδομένων μακριά από τον μέσο όρο σε ένα σύνολο δεδομένων.
Έλεγχος ποιότητας. Έλεγχος του αν ένα κατασκευασμένο προϊόν εμπίπτει σε αποδεκτό εύρος.
Έλεγχος υποθέσεων. Οι έλεγχοι z χρησιμοποιούν z-scores για να κρίνουν αν ο μέσος όρος ενός δείγματος διαφέρει σημαντικά από έναν γνωστό μέσο όρο πληθυσμού.

Ιστορία

Το z-score βασίζεται στην κανονική κατανομή, η οποία περιγράφηκε από τον Abraham de Moivre το 1733 και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τους Carl Friedrich Gauss και Pierre-Simon Laplace στις αρχές του 19ου αιώνα. Η τυποποίηση τιμών σε μονάδες τυπικής απόκλισης έγινε κοινή πρακτική στην ψυχολογική εξέταση και τον έλεγχο ποιότητας κατά τον 20ό αιώνα.

Συχνές ερωτήσεις

Τι είναι ένα z-score στη στατιστική; Ένα z-score είναι ο αριθμός των τυπικών αποκλίσεων που απέχει ένα σημείο δεδομένων από τον μέσο όρο του συνόλου δεδομένων του. Βρίσκεται με τον τύπο z = (x − μ) / σ.

Πώς ερμηνεύω ένα αποτέλεσμα z-score; Ένα z-score ίσο με 0 σημαίνει ότι η τιμή ισούται με τον μέσο όρο. Μια θετική τιμή είναι πάνω από τον μέσο όρο, και μια αρνητική τιμή είναι κάτω από αυτόν. Τιμές πέρα από +3 ή -3 είναι ασυνήθιστες.

Μπορεί ένα z-score να είναι αρνητικό; Ναι. Ένα αρνητικό z-score σημαίνει απλώς ότι το σημείο δεδομένων είναι κάτω από τον μέσο όρο. Ένα z-score ίσο με -2 σημαίνει ότι η τιμή είναι 2 τυπικές αποκλίσεις κάτω από τον μέσο όρο.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός z-score και ενός t-score; Ένα z-score χρησιμοποιείται με μεγάλα δείγματα όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή. Ένα t-score χρησιμοποιείται με μικρά δείγματα, γενικά κάτω από 30, όταν αυτή δεν είναι γνωστή.

Τι σημαίνει η αθροιστική πιθανότητα για ένα z-score; Είναι η πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη τιμή από μια κανονική κατανομή να είναι μικρότερη ή ίση με το δεδομένο z-score. Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την κανονική καμπύλη στα αριστερά αυτού του σημείου.

Τι συμβαίνει αν η τυπική απόκλιση είναι μηδέν; Το z-score είναι απροσδιόριστο, επειδή ο τύπος θα απαιτούσε διαίρεση με το μηδέν. Τυπική απόκλιση ίση με μηδέν σημαίνει ότι κάθε τιμή στο σύνολο δεδομένων είναι πανομοιότυπη.

Αναφορές

Standard score, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Normal distribution and z-scores, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review