Υπολογιστής Ακατέργαστης Βαθμολογίας - Μετατροπή Z-Score σε Αρχική Τιμή

Τι είναι η ακατέργαστη βαθμολογία;

Η ακατέργαστη βαθμολογία είναι η αρχική, μη τυποποιημένη τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων, όπως η βαθμολογία ενός τεστ σε μονάδες ή ένα μετρημένο μήκος σε χιλιοστά. Ένας υπολογιστής ακατέργαστης βαθμολογίας μετατρέπει μια τυποποιημένη βαθμολογία z ξανά στην αρχική τιμή, χρησιμοποιώντας τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση του συνόλου δεδομένων. Αυτή η σελίδα εξηγεί τον τύπο, παρουσιάζει λυμένα παραδείγματα και απαντά σε συχνές ερωτήσεις σχετικά με τις ακατέργαστες βαθμολογίες. Ο υπολογιστής σχεδιάζει επίσης μια καμπύλη κανονικής κατανομής και σημειώνει σε ποιο σημείο της βρίσκεται η ακατέργαστη βαθμολογία.

Τύπος ακατέργαστης βαθμολογίας

Η ακατέργαστη βαθμολογία $x$ υπολογίζεται από μια βαθμολογία z με τον εξής τύπο:

$$x = \mu + z \times \sigma$$

Όπου:

• $x$ = ακατέργαστη βαθμολογία (η αρχική τιμή)
• $\mu$ = μέσος όρος του συνόλου δεδομένων
• $\sigma$ = τυπική απόκλιση του συνόλου δεδομένων
• $z$ = βαθμολογία z (πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχει η $x$ από τον μέσο όρο)

Αυτός ο τύπος είναι ο αντίστροφος του τυπικού τύπου βαθμολογίας z, $z = (x - \mu) / \sigma$. Αντί να μετατρέπει μια ακατέργαστη τιμή σε βαθμολογία z, μετατρέπει μια βαθμολογία z ξανά σε ακατέργαστη τιμή.

Πώς υπολογίζεται μια ακατέργαστη βαθμολογία από μια βαθμολογία z

1. Βρείτε τον μέσο όρο ($\mu$) του συνόλου δεδομένων.
2. Βρείτε την τυπική απόκλιση ($\sigma$), η οποία μετρά πόσο διασκορπισμένα είναι τα δεδομένα.
3. Πάρτε τη βαθμολογία z ($z$), δηλαδή τον αριθμό των τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο στον οποίο βρίσκεται η τιμή. Μια θετική βαθμολογία z είναι πάνω από τον μέσο όρο, ενώ μια αρνητική είναι κάτω από αυτόν.
4. Πολλαπλασιάστε τη βαθμολογία z με την τυπική απόκλιση και, στη συνέχεια, προσθέστε τον μέσο όρο: $x = \mu + z \times \sigma$.

Λυμένο παράδειγμα

Παράδειγμα 1: Βαθμολογία τεστ

Μια τάξη γράφει ένα τεστ με μέση βαθμολογία 80 και τυπική απόκλιση 5. Ένας μαθητής πέτυχε βαθμολογία z 1,2. Ποια ήταν η ακατέργαστη βαθμολογία του;

$$x = 80 + 1.2 \times 5 = 86$$

Η ακατέργαστη βαθμολογία του μαθητή ήταν 86.

Παράδειγμα 2: Μέτρηση στη μεταποίηση

Ένα εργοστάσιο μετρά ένα εξάρτημα με μέσο μήκος 150 mm και τυπική απόκλιση 2 mm. Ένα εξάρτημα έχει βαθμολογία z −1,5. Ποιο είναι το πραγματικό μήκος του;

$$x = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$$

Το εξάρτημα έχει μήκος 147 mm.

Έγκυρα εύρη εισόδου

Ο υπολογιστής σε αυτήν τη σελίδα απαιτεί:

• Τυπική απόκλιση μεγαλύτερη από 0. Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι αρνητική, ενώ η μηδενική τιμή θα καθιστούσε τη βαθμολογία z απροσδιόριστη, επειδή ο τύπος της βαθμολογίας z περιλαμβάνει διαίρεση με αυτήν.
• Τυπική απόκλιση όχι μεγαλύτερη από 1.000.000.
• Μέσος όρος μεταξύ −1.000.000 και 1.000.000.
• Βαθμολογία z μεταξύ −10 και 10.

Οι περισσότερες βαθμολογίες z από πραγματικά δεδομένα βρίσκονται μεταξύ −3 και 3, καθώς αυτό το εύρος καλύπτει περίπου το 99,7% των τιμών σε μια κανονική κατανομή. Μια βαθμολογία z εκτός αυτού του εύρους υποδηλώνει μια σπάνια, ακραία τιμή.

Πού χρησιμοποιούνται οι ακατέργαστες βαθμολογίες

• Εκπαίδευση. Τα τυποποιημένα τεστ αναφέρουν βαθμολογίες z ή κλιμακωτές βαθμολογίες· η μετατροπή τους σε ακατέργαστη βαθμολογία δείχνει τον πραγματικό αριθμό μονάδων ή ερωτήσεων που απαντήθηκαν σωστά.
• Ψυχολογία. Τα τεστ IQ και άλλες αξιολογήσεις τυποποιούνται και στη συνέχεια μετατρέπονται σε ακατέργαστες τιμές, ώστε να παρακολουθούνται τα αποτελέσματα ενός ατόμου με την πάροδο του χρόνου.
• Μεταποίηση. Ο ποιοτικός έλεγχος συγκρίνει τα εξαρτήματα με έναν επιθυμητό μέσο όρο και επισημαίνει όσα έχουν ασυνήθιστη βαθμολογία z, στη συνέχεια αναφέρει την ακατέργαστη μέτρηση για επιθεώρηση.
• Χρηματοοικονομικά. Οι τυποποιημένοι δείκτες κινδύνου ή απόδοσης μετατρέπονται ξανά σε πραγματικά χρηματικά ποσά ή ποσοστά απόδοσης για την υποβολή αναφορών.

Σχετικές στατιστικές βαθμολογίες

• Η εκατοστημοριαία θέση δείχνει την κατάταξη μιας τιμής σε ένα σύνολο δεδομένων σε κλίμακα 0–100.
• Η βαθμολογία T είναι τυποποιημένη με μέσο όρο 50 και τυπική απόκλιση 10 και χρησιμοποιείται συχνά στην ψυχολογία.
• Η stanine είναι κλίμακα εννέα βαθμίδων που χρησιμοποιείται στην εκπαίδευση.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ακατέργαστης βαθμολογίας και βαθμολογίας z;

Η ακατέργαστη βαθμολογία είναι η αρχική τιμή στις φυσικές μονάδες της, όπως μονάδες βαθμολογίας ή χιλιοστά. Η βαθμολογία z είναι η ίδια τιμή εκφρασμένη ως απόσταση από τον μέσο όρο, μετρημένη σε τυπικές αποκλίσεις. Ο τύπος $x = \mu + z \times \sigma$ μετατρέπει μια βαθμολογία z ξανά σε ακατέργαστη βαθμολογία.

Πώς βρίσκω μια ακατέργαστη βαθμολογία από μια εκατοστημοριαία θέση;

Αρχικά μετατρέψτε την εκατοστημοριαία θέση σε βαθμολογία z χρησιμοποιώντας έναν πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής. Στη συνέχεια εφαρμόστε τον τύπο της ακατέργαστης βαθμολογίας. Για παράδειγμα, η 84η εκατοστημοριαία θέση αντιστοιχεί περίπου σε βαθμολογία z 1,0.

Μπορεί μια ακατέργαστη βαθμολογία να είναι αρνητική;

Ναι. Αν τα υποκείμενα δεδομένα περιλαμβάνουν αρνητικές τιμές, όπως μεταβολές θερμοκρασίας ή κέρδη και ζημίες, τότε και η ακατέργαστη βαθμολογία μπορεί να είναι αρνητική.

Σε ποια ακατέργαστη βαθμολογία αντιστοιχεί βαθμολογία z 0;

Μια βαθμολογία z 0 δίνει πάντα ακατέργαστη βαθμολογία ίση με τον μέσο όρο, αφού $x = \mu + 0 \times \sigma = \mu$.

Ισχύει ο τύπος της ακατέργαστης βαθμολογίας για μη κανονικά δεδομένα;

Ο ίδιος ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων με ορισμένο μέσο όρο και τυπική απόκλιση. Ωστόσο, η συνήθης ερμηνεία μιας βαθμολογίας z, όπως ότι «περίπου το 68% των τιμών βρίσκεται εντός μίας τυπικής απόκλισης από τον μέσο όρο», προϋποθέτει ότι τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή. Για δεδομένα με έντονη ασυμμετρία, αυτή η ερμηνεία δεν ισχύει, παρόλο που η αριθμητική πράξη εξακολουθεί να ισχύει.

Πόσο ακριβές είναι το αποτέλεσμα;

Ο υπολογισμός αποτελείται από έναν πολλαπλασιασμό και μία πρόσθεση, επομένως είναι ακριβής για τους αριθμούς που εισάγονται. Ο υπολογιστής στρογγυλοποιεί την εμφανιζόμενη ακατέργαστη βαθμολογία σε δύο δεκαδικά ψηφία. Η πραγματική ακρίβεια περιορίζεται από το πόσο ακριβώς είναι γνωστοί ο μέσος όρος, η τυπική απόκλιση και η βαθμολογία z.