Υπολογιστής Ακριβούς Δοκιμασίας του Fisher - Δωρεάν Στατιστικό Εργαλείο

Τι είναι ο ακριβής έλεγχος του Fisher;

Ο ακριβής έλεγχος του Fisher είναι μια στατιστική μέθοδος που ελέγχει αν δύο κατηγορικές μεταβλητές σχετίζονται, χρησιμοποιώντας δεδομένα διατεταγμένα σε πίνακα 2×2. Υπολογίζει μια ακριβή πιθανότητα, που ονομάζεται p-τιμή, αντί για μια προσέγγιση. Αυτό τον καθιστά χρήσιμο όταν το δείγμα είναι μικρό.

Ο έλεγχος συγκρίνει πλήθη σε δύο γραμμές και δύο στήλες, όπως ασθενείς που έλαβαν «θεραπεία» έναντι εκείνων που δεν έλαβαν, οι οποίοι ανάρρωσαν ή δεν ανάρρωσαν. Ένας πίνακας 2×2 έχει τέσσερα κελιά, που συνήθως σημειώνονται με A, B, C και D, καθώς και αθροίσματα γραμμών και στηλών.

Ακριβής έλεγχος του Fisher έναντι ελέγχου χ²

Ο έλεγχος χ² ελέγχει επίσης αν υπάρχει σχέση μεταξύ δύο κατηγορικών μεταβλητών, αλλά βασίζεται σε μια προσέγγιση που λειτουργεί καλά μόνο όταν τα πλήθη των κελιών είναι αρκετά μεγάλα. Ένας συνήθης πρακτικός κανόνας είναι ο εξής: αν οποιοδήποτε αναμενόμενο πλήθος κελιού στον πίνακα είναι μικρότερο από 5, η προσέγγιση χ² γίνεται αναξιόπιστη και ο ακριβής έλεγχος του Fisher αποτελεί την καλύτερη επιλογή. Ο ακριβής έλεγχος του Fisher λειτουργεί για δείγμα οποιουδήποτε μεγέθους, αλλά είναι μαθηματικά ακριβής και όχι προσεγγιστικός, γεγονός που αποτελεί το κύριο πλεονέκτημά του για μικρά δείγματα.

Πώς υπολογίζεται ο ακριβής έλεγχος του Fisher

Ο έλεγχος χρησιμοποιεί την υπεργεωμετρική κατανομή, η οποία περιγράφει την πιθανότητα να επιλεγεί ένας συγκεκριμένος αριθμός στοιχείων από μια ομάδα χωρίς επανατοποθέτηση. Με δεδομένα τα αθροίσματα των γραμμών και των στηλών ενός πίνακα, η υπεργεωμετρική κατανομή δίνει την πιθανότητα κάθε συγκεκριμένης διάταξης των τεσσάρων πληθών κελιών.

Ο τύπος της πιθανότητας

Για έναν πίνακα με κελιά A, B, C, D, αθροίσματα γραμμών r₁ = A + B και r₂ = C + D, αθροίσματα στηλών c₁ = A + C και c₂ = B + D, και συνολικό μέγεθος δείγματος n = A + B + C + D, η πιθανότητα αυτού του ακριβούς πίνακα είναι:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Εδώ το «!» σημαίνει παραγοντικό: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Μονόπλευρη p-τιμή

Μια μονόπλευρη p-τιμή αθροίζει την πιθανότητα του παρατηρηθέντος πίνακα και κάθε άλλου πίνακα με τα ίδια αθροίσματα γραμμών και στηλών, ο οποίος δείχνει σχέση ίση ή ισχυρότερη προς την ίδια κατεύθυνση. Η «κατεύθυνση» καθορίζεται συγκρίνοντας το κελί A με την τιμή που θα είχε αν οι δύο μεταβλητές ήταν ανεξάρτητες, η οποία ονομάζεται αναμενόμενη τιμή του: E(A) = r₁c₁ / n.

• Αν το A είναι ίσο ή μεγαλύτερο από το E(A), η συσχέτιση κλίνει προς τη θετική κατεύθυνση και το άθροισμα υπολογίζεται για κάθε δυνατή τιμή του κελιού A, από την παρατηρηθείσα τιμή έως τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του.
• Αν το A είναι μικρότερο από το E(A), η συσχέτιση κλίνει προς την αρνητική κατεύθυνση και το άθροισμα εκτείνεται από τη μικρότερη δυνατή τιμή του κελιού A έως την παρατηρηθείσα τιμή.

Αμφίπλευρη p-τιμή

Μια αμφίπλευρη p-τιμή αθροίζει τις πιθανότητες κάθε δυνατού πίνακα με τα ίδια αθροίσματα γραμμών και στηλών, του οποίου η πιθανότητα είναι ίση ή μικρότερη από την πιθανότητα του παρατηρηθέντος πίνακα. Έτσι υπολογίζονται ακραία αποτελέσματα και προς τις δύο κατευθύνσεις, επομένως μια αμφίπλευρη p-τιμή είναι συνήθως μεγαλύτερη από μια μονόπλευρη p-τιμή που υπολογίζεται από τον ίδιο πίνακα.

Λυμένο παράδειγμα

Σε μια μικρή δοκιμή χορηγείται ένα νέο φάρμακο σε 10 ασθενείς και εικονικό φάρμακο σε 10 άλλους. Τα αποτελέσματα:

Εδώ A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 και n = 20. Η αναμενόμενη τιμή του A υπό την υπόθεση ανεξαρτησίας είναι E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Εφόσον το 8 είναι μεγαλύτερο από το 5,5, η συσχέτιση κλίνει προς τη θετική κατεύθυνση, οπότε το μονόπλευρο άθροισμα εκτείνεται από A = 8 έως τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του A, η οποία είναι 10.

Ο υπολογισμός των υπεργεωμετρικών πιθανοτήτων για A = 8, 9 και 10 δίνει μονόπλευρη p-τιμή περίπου 0,0349. Αν αθροίσουμε τις πιθανότητες κάθε πίνακα (και προς τις δύο κατευθύνσεις) με πιθανότητα ίση ή μικρότερη από την πιθανότητα του παρατηρηθέντος πίνακα, προκύπτει αμφίπλευρη p-τιμή περίπου 0,0698.

Στο συνήθως χρησιμοποιούμενο κατώφλι 0,05, το μονόπλευρο αποτέλεσμα θεωρείται στατιστικά σημαντικό, ενώ το αμφίπλευρο όχι. Αυτό δείχνει γιατί έχει σημασία η επιλογή του τύπου ελέγχου: ένας μονόπλευρος έλεγχος είναι κατάλληλος μόνο όταν η κατεύθυνση της επίδρασης —εδώ, ότι το φάρμακο βελτιώνει τα αποτελέσματα— είχε προβλεφθεί πριν από την εξέταση των δεδομένων.

Πότε χρησιμοποιείται ο ακριβής έλεγχος του Fisher

Ο ακριβής έλεγχος του Fisher χρησιμοποιείται συχνά σε:

• Κλινικές δοκιμές με μικρό αριθμό ασθενών.
• Ελέγχους ποιότητας που συγκρίνουν τα πλήθη ελαττωμάτων μεταξύ δύο παρτίδων παραγωγής.
• Έρευνα γενετικής που συγκρίνει τα πλήθη ενός χαρακτηριστικού μεταξύ δύο μικρών ομάδων.
• Κάθε πίνακα 2×2 όπου το αναμενόμενο πλήθος κάποιου κελιού είναι μικρότερο από 5.

Συχνές ερωτήσεις

Σε τι χρησιμοποιείται ο ακριβής έλεγχος του Fisher; Ελέγχει αν δύο κατηγορικές μεταβλητές σχετίζονται, χρησιμοποιώντας πλήθη από έναν πίνακα 2×2. Επιλέγεται συχνά αντί του ελέγχου χ² όταν το δείγμα είναι μικρό.

Πότε πρέπει να χρησιμοποιείται ο ακριβής έλεγχος του Fisher αντί του ελέγχου χ²; Όταν οποιοδήποτε αναμενόμενο πλήθος κελιού στον πίνακα είναι μικρότερο από 5 ή όταν χρειάζεται πρόσθετη βεβαιότητα για την ακριβή πιθανότητα, ανεξάρτητα από το μέγεθος του δείγματος.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μονόπλευρων και αμφίπλευρων αποτελεσμάτων; Μια μονόπλευρη p-τιμή ελέγχει μια προβλεπόμενη κατεύθυνση της επίδρασης, η οποία έχει καθοριστεί πριν από την εξέταση των δεδομένων. Μια αμφίπλευρη p-τιμή ελέγχει αν υπάρχει οποιαδήποτε συσχέτιση, προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Η αμφίπλευρη p-τιμή από τον ίδιο πίνακα είναι συνήθως μεγαλύτερη.

Αναφέρει αυτός ο υπολογιστής λόγο σχετικών πιθανοτήτων; Όχι. Αναφέρει μόνο την ακριβή p-τιμή. Ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων για τον ίδιο πίνακα μπορεί να βρεθεί ξεχωριστά διαιρώντας το A × D με το B × C.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακριβής έλεγχος του Fisher σε πίνακες μεγαλύτερους από 2×2; Η εκδοχή που περιγράφεται εδώ αφορά πίνακες 2×2. Για μεγαλύτερους πίνακες απαιτείται μια σχετική μέθοδος που ονομάζεται επέκταση των Freeman–Halton και είναι διαθέσιμη στα περισσότερα λογισμικά στατιστικής.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακριβής έλεγχος του Fisher σε συζευγμένα δεδομένα, όπως μετρήσεις πριν και μετά στα ίδια άτομα; Όχι. Προϋποθέτει δύο ανεξάρτητες ομάδες. Για συζευγμένα κατηγορικά δεδομένα απαιτείται ο έλεγχος του McNemar.

Παραπομπές

1. Fisher, R.A. (1922). «On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.» Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). «Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.» Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.