Υπολογιστής Z-Test - Δωρεάν Εργαλείο Στατιστικής Σημαντικότητας

Τι είναι ο έλεγχος z;

Ο έλεγχος z είναι ένας στατιστικός έλεγχος που εξετάζει αν ο δειγματικός μέσος διαφέρει σημαντικά από έναν γνωστό μέσο πληθυσμού, όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι ήδη γνωστή. Παράγει έναν μόνο αριθμό, τη βαθμολογία z, που δείχνει πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχει ο δειγματικός μέσος από τον μέσο πληθυσμού. Ερευνητές, επιθεωρητές ποιότητας και αναλυτές τον χρησιμοποιούν για να κρίνουν αν μια παρατηρούμενη διαφορά είναι πιθανό να είναι πραγματική ή απλώς αποτέλεσμα τύχης.

Τύπος ελέγχου Z

Ο έλεγχος z υπολογίζει μια βαθμολογία z με τον εξής τύπο:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Το $\bar{x}$ είναι ο δειγματικός μέσος
Το $\mu$ είναι ο μέσος πληθυσμού
Το $\sigma$ είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού
Το $n$ είναι το μέγεθος του δείγματος

Το κάτω μέρος του τύπου, $\sigma / \sqrt{n}$ , ονομάζεται τυπικό σφάλμα. Μετρά πόσο αναμένεται να μεταβάλλονται οι δειγματικοί μέσοι μόνο λόγω της τυχαίας δειγματοληψίας.

Πώς υπολογίζεται ένας έλεγχος z βήμα προς βήμα

Βρείτε τον δειγματικό μέσο ( $\bar{x}$ ) από τα συλλεγμένα δεδομένα.
Προσδιορίστε τον γνωστό μέσο πληθυσμού ( $\mu$ ).
Προσδιορίστε την γνωστή τυπική απόκλιση του πληθυσμού ( $\sigma$ ).
Μετρήστε το μέγεθος του δείγματος ( $n$ ).
Αφαιρέστε το $\mu$ από το $\bar{x}$ .
Διαιρέστε το $\sigma$ με την τετραγωνική ρίζα του $n$ για να βρείτε το τυπικό σφάλμα.
Διαιρέστε το αποτέλεσμα του βήματος 5 με το αποτέλεσμα του βήματος 6. Η απάντηση είναι η βαθμολογία z.

Λυμένο παράδειγμα

Ένα εργοστάσιο αναφέρει ότι οι κοχλίες του έχουν μέσο μήκος 10 cm, με τυπική απόκλιση πληθυσμού 0,2 cm. Ένας επιθεωρητής μετρά 100 κοχλίες και βρίσκει δειγματικό μέσο 10,05 cm.

$\bar{x} = 10.05$
$\mu = 10$
$\sigma = 0.2$
$n = 100$

Τυπικό σφάλμα: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Βαθμολογία z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Η βαθμολογία z είναι 2,5. Ο δειγματικός μέσος βρίσκεται 2,5 τυπικά σφάλματα πάνω από τον μέσο πληθυσμού.

Πώς ερμηνεύεται μια βαθμολογία z

Μια βαθμολογία z κοντά στο 0 σημαίνει ότι ο δειγματικός μέσος είναι κοντά στον μέσο πληθυσμού. Μια μεγάλη θετική ή αρνητική βαθμολογία z σημαίνει ότι ο δειγματικός μέσος απέχει πολύ από τον μέσο πληθυσμού, γεγονός που υποδεικνύει πραγματική διαφορά και όχι τυχαία απόκλιση.

Συνήθεις κρίσιμες τιμές για αμφίπλευρο έλεγχο:

α = 0,10 (επίπεδο εμπιστοσύνης 90%): z = ±1,645
α = 0,05 (επίπεδο εμπιστοσύνης 95%): z = ±1,96
α = 0,01 (επίπεδο εμπιστοσύνης 99%): z = ±2,58

Αν η υπολογισμένη βαθμολογία z υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή για το επιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας, το αποτέλεσμα ονομάζεται στατιστικά σημαντικό και η μηδενική υπόθεση (ότι δεν υπάρχει διαφορά) απορρίπτεται.

Στο λυμένο παράδειγμα, z = 2,5 υπερβαίνει το ±1,96, επομένως η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική στο επίπεδο 0,05. Η αμφίπλευρη τιμή p για z = 2,5 είναι περίπου 1,24%, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει περίπου πιθανότητα 1 στις 80 να παρατηρηθεί μια τόσο μεγάλη διαφορά, αν το πραγματικό μέσο μήκος των κοχλιών ήταν πράγματι 10 cm.

Πότε χρησιμοποιείται ο έλεγχος z

Ο έλεγχος z είναι κατάλληλος όταν:

Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή.
Το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο, συνήθως μεγαλύτερο από 30.
Τα δεδομένα προέρχονται από τυχαία δειγματοληψία.
Ο πληθυσμός ακολουθεί κανονική κατανομή ή το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο ώστε να εφαρμόζεται το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα.

Αν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη ή το δείγμα είναι μικρό, χρησιμοποιείται αντ’ αυτού ο έλεγχος t. Ο έλεγχος t εκτιμά τη μεταβλητότητα από το ίδιο το δείγμα και λαμβάνει υπόψη την πρόσθετη αβεβαιότητα που προκαλεί αυτό.

Έλεγχος z έναντι ελέγχου t

Και οι δύο έλεγχοι μετρούν πόσο απέχει ένας δειγματικός μέσος από μια αναμενόμενη τιμή, σε μονάδες τυπικού σφάλματος. Ο έλεγχος z υποθέτει ότι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή. Ο έλεγχος t εκτιμά αυτή την τιμή από το δείγμα και χρησιμοποιεί μια ευρύτερη κατανομή, εξαρτώμενη από το μέγεθος του δείγματος, για να λάβει υπόψη την πρόσθετη αβεβαιότητα. Στην πράξη, ο έλεγχος t χρησιμοποιείται πολύ συχνότερα, επειδή η πραγματική τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι σπάνια γνωστή.

Πρακτικές εφαρμογές του ελέγχου z

Ποιοτικός έλεγχος: έλεγχος του αν μια παρτίδα κατασκευασμένων εξαρτημάτων ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές-στόχους.
Ιατρική έρευνα: σύγκριση του μέσου αποτελέσματος μιας ομάδας θεραπείας με μια γνωστή τιμή του πληθυσμού.
Εκπαίδευση: σύγκριση των βαθμολογιών μιας τάξης σε ένα τεστ με έναν εθνικό μέσο όρο.
Χρηματοοικονομικά: έλεγχος του αν οι αποδόσεις ενός αμοιβαίου κεφαλαίου διαφέρουν από μια μέση τιμή αναφοράς.

Ιστορία

Η κανονική κατανομή που βρίσκεται πίσω από τον έλεγχο z περιγράφηκε από τον Abraham de Moivre το 1733, ως προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής. Οι Carl Friedrich Gauss και Pierre-Simon Laplace ανέπτυξαν περαιτέρω τη θεωρία στις αρχές της δεκαετίας του 1800. Οι τυπικές μέθοδοι ελέγχου υποθέσεων, συμπεριλαμβανομένης της χρήσης βαθμολογιών z και κρίσιμων τιμών για την αξιολόγηση της στατιστικής σημαντικότητας, αναπτύχθηκαν στις αρχές του 20ού αιώνα από στατιστικούς όπως οι Ronald Fisher, Jerzy Neyman και Egon Pearson.

Τι δείχνει αυτή η αριθμομηχανή

Η αριθμομηχανή ζητά τέσσερις αριθμούς: τον δειγματικό μέσο, τον μέσο πληθυσμού, την τυπική απόκλιση του πληθυσμού και το μέγεθος του δείγματος. Εμφανίζει τη βαθμολογία z στρογγυλοποιημένη σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία. Κάτω από το αποτέλεσμα σχεδιάζει την τυπική κανονική καμπύλη και σημειώνει τη βαθμολογία z με μια κατακόρυφη γραμμή, ώστε να φαίνεται η θέση του αποτελέσματος στην κατανομή. Η καμπύλη είναι η πυκνότητα της τυπικής κανονικής κατανομής, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$ .

Ισχύουν δύο περιορισμοί για τις εισόδους. Το μέγεθος του δείγματος πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0. Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού πρέπει να είναι τουλάχιστον 0,0001· μικρότερη διασπορά ωθεί τη βαθμολογία z σε τεράστια τιμή χωρίς χρήσιμο νόημα. Η αριθμομηχανή δεν εμφανίζει τιμή p, επομένως χρησιμοποιήστε τις παραπάνω κρίσιμες τιμές ή έναν πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής για να αποφασίσετε αν το αποτέλεσμα είναι σημαντικό.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός ελέγχου z και ενός ελέγχου t;

Ο έλεγχος z απαιτεί γνωστή τυπική απόκλιση του πληθυσμού και λειτουργεί καλύτερα με μεγάλα δείγματα. Ο έλεγχος t χρησιμοποιείται όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη και πρέπει να εκτιμηθεί από το δείγμα· λειτουργεί τόσο με μικρά όσο και με μεγάλα δείγματα.

Τι μέγεθος δείγματος χρειάζεται ένας έλεγχος z;

Το μέγεθος δείγματος πάνω από 30 είναι ο συνήθης εμπειρικός κανόνας. Κάτω από αυτό, τα αποτελέσματα ενός ελέγχου z γίνονται αναξιόπιστα και ο έλεγχος t είναι συνήθως η καλύτερη επιλογή.

Τι σημαίνει βαθμολογία z 2,5;

Βαθμολογία z 2,5 σημαίνει ότι ο δειγματικός μέσος βρίσκεται 2,5 τυπικά σφάλματα πάνω από τον μέσο πληθυσμού. Αυτό υπερβαίνει την αμφίπλευρη κρίσιμη τιμή ±1,96 για επίπεδο εμπιστοσύνης 95%, επομένως η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική σε αυτό το επίπεδο. Η αμφίπλευρη τιμή p για z = 2,5 είναι περίπου 1,24%.

Τι είναι η τιμή p σε έναν έλεγχο z;

Η τιμή p είναι η πιθανότητα να προκύψει αποτέλεσμα τουλάχιστον τόσο ακραίο όσο το παρατηρούμενο, αν πράγματι δεν υπήρχε διαφορά από τον μέσο πληθυσμού. Μικρότερη τιμή p αποτελεί ισχυρότερη ένδειξη κατά της μηδενικής υπόθεσης. Τιμή p κάτω από 0,05 θεωρείται συνήθως στατιστικά σημαντική.

Τι είναι η μηδενική υπόθεση σε έναν έλεγχο z;

Η μηδενική υπόθεση αναφέρει ότι δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ του δειγματικού μέσου και του μέσου πληθυσμού. Ο έλεγχος z μετρά πόσα στοιχεία παρέχει το δείγμα κατά αυτού του ισχυρισμού.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί έλεγχος z για μικρά δείγματα;

Δεν συνιστάται. Με μικρό δείγμα ή άγνωστη τυπική απόκλιση του πληθυσμού, ο έλεγχος t δίνει ακριβέστερα αποτελέσματα, επειδή λαμβάνει υπόψη την πρόσθετη αβεβαιότητα που προκαλεί η εκτίμηση της μεταβλητότητας από περιορισμένα δεδομένα.