Υπολογιστής Κατανομής Poisson - Υπολογισμός Πιθανοτήτων Συμβάντων

Τι είναι ένας υπολογιστής κατανομής Poisson;

Ένας υπολογιστής κατανομής Poisson υπολογίζει την πιθανότητα να συμβεί ένας συγκεκριμένος αριθμός γεγονότων σε ένα σταθερό χρονικό ή χωρικό διάστημα, δεδομένης της μέσης συχνότητας εμφάνισής τους. Χρησιμοποιείται όταν τα γεγονότα συμβαίνουν ένα-ένα, ανεξάρτητα μεταξύ τους, με σταθερό μέσο ρυθμό. Τυπικά παραδείγματα είναι ο αριθμός τηλεφωνικών κλήσεων που δέχεται ένα τηλεφωνικό κέντρο σε μία ώρα ή ο αριθμός τυπογραφικών λαθών σε μία σελίδα.

Τύπος της κατανομής Poisson

Η κατανομή Poisson δίνει την πιθανότητα να συμβούν ακριβώς k γεγονότα όταν ο μέσος ρυθμός είναι λ (το ελληνικό γράμμα λάμδα):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Κάθε σύμβολο σημαίνει:

• λ (λάμδα) — ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά διάστημα. Είναι η μοναδική παράμετρος της κατανομής.
• k — ο ακριβής αριθμός γεγονότων για τον οποίο υπολογίζεται η πιθανότητα. Πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός, 0 ή μεγαλύτερος.
• e — ο αριθμός του Euler, μια σταθερά ίση περίπου με 2,71828.
• k! — «παραγοντικό του k», το γινόμενο όλων των ακέραιων αριθμών από το 1 έως το k. Για παράδειγμα, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Κατά σύμβαση, 0! = 1.

Ο τύπος χρειάζεται μόνο τα λ και k. Δεν χρειάζεται συνολικό αριθμό δοκιμών, σε αντίθεση με τη διωνυμική κατανομή.

Πώς υπολογίζεται μια πιθανότητα Poisson

1. Επιλέξτε το λ, τον μέσο αριθμό γεγονότων στο υπό μελέτη διάστημα.
2. Επιλέξτε το k, τον ακριβή αριθμό γεγονότων για τον οποίο θέλετε να βρείτε την πιθανότητα.
3. Υψώστε το e στη δύναμη του αρνητικού λ: αυτό δίνει e^(−λ).
4. Υψώστε το λ στη δύναμη του k: αυτό δίνει λ^k.
5. Βρείτε το k!, δηλαδή το παραγοντικό του k.
6. Πολλαπλασιάστε τα αποτελέσματα των βημάτων 3 και 4 και, στη συνέχεια, διαιρέστε με το αποτέλεσμα του βήματος 5.

Ο αριθμός που προκύπτει είναι μια πιθανότητα μεταξύ 0 και 1. Πολλαπλασιάστε τον με 100 για να τον εκφράσετε ως ποσοστό.

Λυμένο παράδειγμα

Ένα τηλεφωνικό κέντρο δέχεται κατά μέσο όρο 5 κλήσεις ανά ώρα (λ = 5). Ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί ακριβώς 3 κλήσεις σε μία δεδομένη ώρα (k = 3);

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Πολλαπλασιασμός: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Διαίρεση με 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Η πιθανότητα να συμβούν ακριβώς 3 κλήσεις εκείνη την ώρα είναι περίπου 0,140 ή 14%.

Περισσότερα παραδείγματα

Πού χρησιμοποιείται η κατανομή Poisson

Η κατανομή Poisson μοντελοποιεί τον αριθμό σπάνιων, ανεξάρτητων γεγονότων. Συνήθεις χρήσεις περιλαμβάνουν:

• Τηλεφωνικά κέντρα και εξυπηρέτηση πελατών: πρόβλεψη του αριθμού κλήσεων ή συνομιλιών που φτάνουν ανά ώρα.
• Βιομηχανική παραγωγή: εκτίμηση του αριθμού ελαττωμάτων σε μια παρτίδα προϊόντων.
• Ασφάλιση: εκτίμηση του αριθμού απαιτήσεων που θα υποβληθούν σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα.
• Βιολογία και ιατρική: μοντελοποίηση του αριθμού μεταλλάξεων ή της εξάπλωσης σπάνιων ασθενειών.
• Φυσική: περιγραφή της ραδιενεργού διάσπασης, όπου κάθε άτομο διασπάται ανεξάρτητα με σταθερό μέσο ρυθμό.
• Κυκλοφορία και μηχανική δικτύων: εκτίμηση των αφίξεων οχημάτων σε μια διασταύρωση ή των αιτημάτων που φτάνουν σε έναν διακομιστή.

Προϋποθέσεις χρήσης της κατανομής Poisson

Η κατανομή Poisson ταιριάζει σε μια κατάσταση μόνο όταν ισχύουν όλα τα παρακάτω:

• Τα γεγονότα συμβαίνουν ένα-ένα· δύο γεγονότα δεν μπορούν να συμβούν ακριβώς την ίδια στιγμή.
• Τα γεγονότα συμβαίνουν ανεξάρτητα — ένα γεγονός δεν καθιστά το επόμενο περισσότερο ή λιγότερο πιθανό.
• Ο μέσος ρυθμός, λ, παραμένει σταθερός σε όλο το υπό μελέτη διάστημα.

Αν ο ρυθμός μεταβάλλεται με τον χρόνο ή τα γεγονότα τείνουν να εμφανίζονται σε συστάδες, η απλή κατανομή Poisson δεν περιγράφει καλά τα δεδομένα.

Poisson έναντι συγγενών κατανομών

• Διωνυμική κατανομή: χρησιμοποιείται όταν υπάρχει σταθερός αριθμός δοκιμών και γνωστή πιθανότητα επιτυχίας σε καθεμία, όπως στη ρίψη ενός νομίσματος 20 φορές. Η κατανομή Poisson είναι η μορφή στην οποία καταλήγει η διωνυμική κατανομή όταν ο αριθμός δοκιμών γίνεται πολύ μεγάλος και η πιθανότητα επιτυχίας ανά δοκιμή μειώνεται προς το μηδέν, ενώ το γινόμενό τους παραμένει περίπου ίσο με λ.
• Κανονική κατανομή: για μεγάλο λ, περίπου πάνω από 20, η κατανομή Poisson μοιάζει με κανονική κατανομή σε σχήμα καμπάνας, με μέση τιμή λ και διακύμανση λ.
• Εκθετική κατανομή: ενώ η κατανομή Poisson μετρά πόσα γεγονότα συμβαίνουν σε ένα σταθερό διάστημα, η εκθετική κατανομή περιγράφει τον χρόνο αναμονής μεταξύ αυτών των γεγονότων.

Σημείωση για την ιστορία

Ο Γάλλος μαθηματικός Siméon Denis Poisson εισήγαγε την κατανομή το 1837, σε ένα βιβλίο σχετικά με την πιθανότητα δικαστικών αποφάσεων. Αρχικά προσέλκυσε ελάχιστη προσοχή. Η χρήση της αυξήθηκε στις αρχές του 20ού αιώνα, αφού στατιστικοί όπως οι Ladislaus Bortkiewicz και Ronald Fisher την εφάρμοσαν σε πραγματικά δεδομένα καταμετρήσεων, μεταξύ άλλων σε μια διάσημη μελέτη για Πρώσους στρατιώτες που σκοτώθηκαν από κλωτσιές αλόγων.

Συχνές ερωτήσεις

Τι σημαίνει το λάμδα (λ) σε μια κατανομή Poisson; Το λάμδα είναι ο μέσος αριθμός γεγονότων που αναμένεται να συμβούν στο υπό μελέτη διάστημα. Είναι επίσης η διακύμανση της κατανομής, επομένως μεγαλύτερο λ σημαίνει τόσο υψηλότερο μέσο πλήθος όσο και μεγαλύτερη διασπορά στις πιθανές εκβάσεις.

Μπορούν τα k ή λ να είναι αρνητικά ή κλάσμα; Το λ πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0, αλλά μπορεί να είναι δεκαδικός αριθμός, όπως 2,5 γεγονότα ανά ώρα. Το k πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός 0 ή μεγαλύτερος, επειδή μετρά πραγματικά γεγονότα· δεν μπορεί να είναι αρνητικό ή κλασματικό.

Πώς διαφέρει η κατανομή Poisson από τη διωνυμική κατανομή; Η διωνυμική κατανομή χρειάζεται σταθερό αριθμό δοκιμών και σταθερή πιθανότητα επιτυχίας ανά δοκιμή. Η κατανομή Poisson χρειάζεται μόνο έναν μέσο ρυθμό και εφαρμόζεται σε γεγονότα που θα μπορούσαν, κατ’ αρχήν, να συμβούν οποιονδήποτε αριθμό φορών.

Πότε πρέπει να χρησιμοποιείται αντ’ αυτής η κανονική κατανομή; Για μεγάλο λ, γενικά πάνω από περίπου 20, μια κανονική κατανομή με την ίδια μέση τιμή και διακύμανση προσεγγίζει αρκετά καλά την κατανομή Poisson και συχνά είναι ευκολότερη στους χειροκίνητους υπολογισμούς.

Γιατί ο υπολογιστής εμφανίζει μερικές φορές έναν αριθμό σε επιστημονική γραφή; Τα αποτελέσματα εμφανίζονται συνήθως με έξι δεκαδικά ψηφία. Όταν μια πιθανότητα είναι μικρότερη από 0,0001, η στρογγυλοποίηση σε έξι δεκαδικά ψηφία θα την έδινε ως 0,000000 και θα έκρυβε το πραγματικό μικρό της μέγεθος, οπότε ο υπολογιστής μεταβαίνει στην επιστημονική γραφή. Για λ = 20 και k = 1 εμφανίζει 4.122307e-8, που σημαίνει 0,00000004122307.

Υπάρχουν περιορισμοί στις τιμές που δέχεται ο υπολογιστής; Ναι. Το λ πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0 και όχι μεγαλύτερο από 700, ενώ το k πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός από 0 έως 1000. Εκτός αυτών των ορίων, ο υπολογιστής εμφανίζει σφάλμα. Τα ανώτατα όρια διατηρούν το αποτέλεσμα εντός του εύρους αριθμών που μπορεί να αποθηκεύσει ένας υπολογιστής και διατηρούν το διάγραμμα σε ευανάγνωστο αριθμό ράβδων.

Επιτρέπει η κατανομή Poisson περισσότερα από ένα γεγονότα ταυτόχρονα; Όχι. Το μοντέλο υποθέτει ότι τα γεγονότα συμβαίνουν ένα-ένα. Αν δύο γεγονότα συμβαίνουν συστηματικά μαζί, μια διαφορετική κατανομή ταιριάζει καλύτερα στα δεδομένα.

Παραπομπές

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Παρίσι, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Νέα Υόρκη: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, ενότητα 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp και Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.