Υπολογιστής t-test για στατιστική ανάλυση και υποθέσεις

Υπολογιστής T-Test

Εισαγωγή

Ο t-test είναι ένα θεμελιώδες στατιστικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει αν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων όρων ομάδων. Εφαρμόζεται ευρέως σε διάφορους τομείς όπως η ψυχολογία, η ιατρική και οι επιχειρήσεις για τη δοκιμή υποθέσεων. Αυτός ο υπολογιστής σας επιτρέπει να εκτελείτε όλους τους τύπους t-tests:

T-Test Μίας Δείγματος: Δοκιμάζει αν ο μέσος όρος μιας μόνο ομάδας διαφέρει από μια γνωστή τιμή.
T-Test Δύο Δειγμάτων (Ανεξάρτητα Δείγματα): Συγκρίνει τους μέσους όρους δύο ανεξάρτητων ομάδων.
Ζευγαρωμένος T-Test: Συγκρίνει τους μέσους όρους από την ίδια ομάδα σε διαφορετικές χρονικές στιγμές (π.χ. πριν και μετά τη θεραπεία).

Τύποι T-Tests

Πώς να Χρησιμοποιήσετε Αυτόν τον Υπολογιστή

Επιλέξτε τον Τύπο T-Test:
- T-Test Μίας Δείγματος
- T-Test Δύο Δειγμάτων
- Ζευγαρωμένος T-Test
Εισάγετε τα Απαραίτητα Στοιχεία:
- Για T-Test Μίας Δείγματος:
  - Μέσο Δείγματος ( $\bar{x}$ )
  - Τυπική Απόκλιση Δείγματος ( $s$ )
  - Μέγεθος Δείγματος ( $n$ )
  - Μέσο Πληθυσμού ( $\mu_0$ )
- Για T-Test Δύο Δειγμάτων:
  - Μέσο Δείγματος 1 ( $\bar{x}_1$ )
  - Τυπική Απόκλιση Δείγματος 1 ( $s_1$ )
  - Μέγεθος Δείγματος 1 ( $n_1$ )
  - Μέσο Δείγματος 2 ( $\bar{x}_2$ )
  - Τυπική Απόκλιση Δείγματος 2 ( $s_2$ )
  - Μέγεθος Δείγματος 2 ( $n_2$ )
  - Υπόθεση Διακύμανσης: Επιλέξτε αν οι διακυμάνσεις θεωρούνται ίσες ή ανίσες.
- Για Ζευγαρωμένο T-Test:
  - Δεδομένα Διαφορών: Εισάγετε τις ζευγαρωμένες διαφορές.
  - Εναλλακτικά, εισάγετε τον Μέσο των Διαφορών ( $\bar{d}$ ), Τυπική Απόκλιση Διαφορών ( $s_d$ ) και Μέγεθος Δείγματος ( $n$ ).
Ορίστε το Επίπεδο Σημαντικότητας ( $\alpha$ ):
- Συνήθεις επιλογές είναι το 0.05 για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% ή το 0.01 για επίπεδο εμπιστοσύνης 99%.
Επιλέξτε την Κατεύθυνση της Δοκιμής:
- Δοκιμή Δύο Κατευθύνσεων: Δοκιμάζει για οποιαδήποτε διαφορά.
- Δοκιμή Μίας Κατεύθυνσης: Δοκιμάζει για μια κατευθυντική διαφορά (καθορίστε αν δοκιμάζετε για μεγαλύτερη ή μικρότερη).
Κάντε Κλικ στο Κουμπί "Υπολογισμός":
- Ο υπολογιστής θα εμφανίσει:
  - T-Στατιστικό
  - Βαθμοί Ελευθερίας
  - P-Τιμή
  - Συμπέρασμα: Αν θα απορρίψετε ή όχι την μηδενική υπόθεση.

Υποθέσεις

Πριν χρησιμοποιήσετε τον t-test, βεβαιωθείτε ότι πληρούνται οι εξής υποθέσεις:

Κανονικότητα: Τα δεδομένα θα πρέπει να είναι περίπου κανονικά κατανεμημένα.
Ανεξαρτησία: Οι παρατηρήσεις πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.
- Για T-Test Δύο Δειγμάτων, οι δύο ομάδες θα πρέπει να είναι ανεξάρτητες.
- Για Ζευγαρωμένο T-Test, οι διαφορές θα πρέπει να είναι ανεξάρτητες.
Ισοτιμία Διακυμάνσεων:
- Για T-Test Δύο Δειγμάτων με Ίσες Διακυμάνσεις, οι διακυμάνσεις των δύο πληθυσμών θα πρέπει να είναι ίσες (ομοσκεδαστικότητα).
- Αν αυτή η υπόθεση δεν πληρούται, χρησιμοποιήστε τον Welch's T-Test (ανίσες διακυμάνσεις).

Τύπος

T-Test Μίας Δείγματος

Ο t-στατιστικός υπολογίζεται ως:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$\bar{x}$ : Μέσο δείγματος
$\mu_0$ : Μέσος πληθυσμού σύμφωνα με τη μηδενική υπόθεση
$s$ : Τυπική απόκλιση δείγματος
$n$ : Μέγεθος δείγματος

T-Test Δύο Δειγμάτων (Ανεξάρτητα Δείγματα)

Υποθέτοντας Ίσες Διακυμάνσεις

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

Συγκεντρωμένη τυπική απόκλιση ( $s_p$ ):

s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}

Ανίσες Διακυμάνσεις (Welch's T-Test)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

Ζευγαρωμένος T-Test

t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

$\bar{d}$ : Μέσο των διαφορών
$s_d$ : Τυπική απόκλιση των διαφορών
$n$ : Αριθμός ζευγών

Βαθμοί Ελευθερίας

T-Test Μίας Δείγματος και Ζευγαρωμένος T-Test:

df = n - 1

T-Test Δύο Δειγμάτων με Ίσες Διακυμάνσεις:

df = n_1 + n_2 - 2

Welch's T-Test:

df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

Υπολογισμός

Ο υπολογιστής εκτελεί τα εξής βήματα:

Υπολογίστε το T-Στατιστικό χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο με βάση την επιλεγμένη δοκιμή.
Προσδιορίστε τους Βαθμούς Ελευθερίας (df).
Υπολογίστε την P-Τιμή που αντιστοιχεί στο t-στατιστικό και df:
- Χρησιμοποιεί την t-κατανομή για να βρει την πιθανότητα.
Συγκρίνετε την P-Τιμή με το Επίπεδο Σημαντικότητας ( $\alpha$ ):
- Αν $p \leq \alpha$ , απορρίψτε τη μηδενική υπόθεση.
- Αν $p > \alpha$ , μην απορρίψετε τη μηδενική υπόθεση.
Ερμηνεύστε τα Αποτελέσματα:
- Παρέχετε ένα συμπέρασμα στο πλαίσιο της δοκιμής.

Χρήσεις

T-Test Μίας Δείγματος

Δοκιμή Αποτελεσματικότητας Νέας Φαρμακευτικής Αγωγής:
- Προσδιορίστε αν ο μέσος χρόνος ανάρρωσης με μια νέα φαρμακευτική αγωγή διαφέρει από τον γνωστό μέσο χρόνο ανάρρωσης.
Ποιοτικός Έλεγχος:
- Ελέγξτε αν ο μέσος όρος μήκους παραγόμενων εξαρτημάτων αποκλίνει από το καθορισμένο πρότυπο.

T-Test Δύο Δειγμάτων

Δοκιμή A/B στο Μάρκετινγκ:
- Συγκρίνετε τα ποσοστά μετατροπής μεταξύ δύο διαφορετικών σχεδίων ιστοσελίδων.
Εκπαιδευτική Έρευνα:
- Αξιολογήστε αν υπάρχει διαφορά στις βαθμολογίες μεταξύ δύο μεθόδων διδασκαλίας.

Ζευγαρωμένος T-Test

Μελέτες Πριν και Μετά:
- Αξιολογήστε την απώλεια βάρους πριν και μετά από ένα πρόγραμμα διατροφής.
Αντίστοιχες Υποκείμενες:
- Συγκρίνετε τις μετρήσεις της πίεσης του αίματος πριν και μετά τη χορήγηση φαρμάκου στους ίδιους υποκείμενους.

Εναλλακτικές

Ενώ οι t-tests είναι ισχυροί, έχουν υποθέσεις που μπορεί να μην πληρούνται πάντα. Εναλλακτικές περιλαμβάνουν:

Δοκιμή Mann-Whitney U:
- Μη παραμετρική εναλλακτική για το t-test δύο δειγμάτων όταν τα δεδομένα δεν ακολουθούν κανονική κατανομή.
Δοκιμή Wilcoxon Signed-Rank:
- Μη παραμετρική ισοδύναμη του ζευγαρωμένου t-test.
ANOVA (Ανάλυση Διακύμανσης):
- Χρησιμοποιείται όταν συγκρίνετε μέσους όρους σε περισσότερες από δύο ομάδες.

Ιστορία

Ο t-test αναπτύχθηκε από τον William Sealy Gosset το 1908, ο οποίος δημοσίευσε υπό το ψευδώνυμο "Student" ενώ εργαζόταν στην μπύρα Guinness στο Δουβλίνο. Η δοκιμή σχεδιάστηκε για να παρακολουθεί την ποιότητα της stout προσδιορίζοντας αν οι δείγματα παρτίδες ήταν συνεπείς με τα πρότυπα της ζυθοποιίας. Λόγω συμφωνιών εμπιστευτικότητας, ο Gosset χρησιμοποίησε το ψευδώνυμο "Student", οδηγώντας στον όρο "t-test του Student."

Με την πάροδο του χρόνου, ο t-test έχει γίνει ακρογωνιαίος λίθος στην στατιστική ανάλυση, διδάσκεται ευρέως και εφαρμόζεται σε διάφορες επιστημονικές πειθαρχίες. Έχει ανοίξει το δρόμο για την ανάπτυξη πιο σύνθετων στατιστικών μεθόδων και είναι θεμελιώδης στον τομέα της επαγωγικής στατιστικής.

Παραδείγματα

Ακολουθούν παραδείγματα κώδικα για την εκτέλεση ενός T-Test Μίας Δείγματος σε διάφορες γλώσσες προγραμματισμού:

Excel

1' T-Test Μίας Δείγματος σε Excel VBA
2Sub OneSampleTTest()
3    Dim sampleData As Range
4    Set sampleData = Range("A1:A9") ' Αντικαταστήστε με την περιοχή δεδομένων σας
5    Dim hypothesizedMean As Double
6    hypothesizedMean = 50 ' Αντικαταστήστε με τον υποθετικό μέσο σας
7
8    Dim sampleMean As Double
9    Dim sampleStdDev As Double
10    Dim sampleSize As Integer
11    Dim tStat As Double
12
13    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
14    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
15    sampleSize = sampleData.Count
16
17    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))
18
19    MsgBox "T-Στατιστικό: " & Format(tStat, "0.00")
20End Sub
21

R

1## T-Test Μίας Δείγματος σε R
2sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
3t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
4print(t_test_result)
5

Python

1import numpy as np
2from scipy import stats
3
4## T-Test Μίας Δείγματος σε Python
5sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
6t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
7print(f"T-Στατιστικό: {t_statistic:.2f}, P-Τιμή: {p_value:.4f}")
8

JavaScript

1// T-Test Μίας Δείγματος σε JavaScript
2function oneSampleTTest(sample, mu0) {
3  const n = sample.length;
4  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
5  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
6  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
7  return t;
8}
9
10// Παράδειγμα χρήσης:
11const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
12const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
13console.log(`T-Στατιστικό: ${tStatistic.toFixed(2)}`);
14

MATLAB

1% T-Test Μίας Δείγματος σε MATLAB
2sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
3[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
4disp(['T-Στατιστικό: ', num2str(stats.tstat)]);
5disp(['P-Τιμή: ', num2str(p)]);
6

Java

1import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;
2
3public class OneSampleTTest {
4    public static void main(String[] args) {
5        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
6        TTest tTest = new TTest();
7        double mu = 50;
8        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
9        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
10        System.out.printf("T-Στατιστικό: %.2f%n", tStatistic);
11        System.out.printf("P-Τιμή: %.4f%n", pValue);
12    }
13}
14

C#

1using System;
2using MathNet.Numerics.Statistics;
3
4class OneSampleTTest
5{
6    static void Main()
7    {
8        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
9        double mu0 = 50;
10        int n = sampleData.Length;
11        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
12        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
13        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
14        Console.WriteLine($"T-Στατιστικό: {tStatistic:F2}");
15    }
16}
17

Go

1package main
2
3import (
4    "fmt"
5    "math"
6)
7
8func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
9    n := float64(len(sample))
10    var sum, mean, sd float64
11
12    for _, v := range sample {
13        sum += v
14    }
15    mean = sum / n
16
17    for _, v := range sample {
18        sd += math.Pow(v - mean, 2)
19    }
20    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))
21
22    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
23    return t
24}
25
26func main() {
27    sample_data := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
28    tStatistic := oneSampleTTest(sample_data, 50.0)
29    fmt.Printf("T-Στατιστικό: %.2f\n", tStatistic)
30}
31

Swift

1import Foundation
2
3func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
4    let n = Double(sample.count)
5    let mean = sample.reduce(0, +) / n
6    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
7    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
8    return t
9}
10
11let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
12let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
13print(String(format: "T-Στατιστικό: %.2f", tStatistic))
14

PHP

1<?php
2function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
3    $n = count($sample);
4    $mean = array_sum($sample) / $n;
5    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
6        return pow($x - $mean, 2);
7    }, $sample)) / ($n - 1));
8    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
9    return $t;
10}
11
12$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
13$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
14echo "T-Στατιστικό: " . number_format($tStatistic, 2);
15?>
16

Ruby

1## T-Test Μίας Δείγματος σε Ruby
2def one_sample_t_test(sample, mu0)
3  n = sample.size
4  mean = sample.sum(0.0) / n
5  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
6  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
7  t
8end
9
10sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
11t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
12puts format("T-Στατιστικό: %.2f", t_statistic)
13

Rust

1// T-Test Μίας Δείγματος σε Rust
2fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
3    let n = sample.len() as f64;
4    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
5    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
6    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
7    t
8}
9
10fn main() {
11    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
12    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
13    println!("T-Στατιστικό: {:.2}", t_statistic);
14}
15

Αριθμητικό Παράδειγμα

Πρόβλημα: Ένας κατασκευαστής ισχυρίζεται ότι ο μέσος χρόνος ζωής μιας μπαταρίας είναι 50 ώρες. Μια ομάδα καταναλωτών δοκιμάζει 9 μπαταρίες και καταγράφει τους εξής χρόνους ζωής (σε ώρες):

51,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

Υπάρχει αποδεικτικό στοιχείο στο επίπεδο σημαντικότητας 0.05 που να υποδηλώνει ότι ο μέσος χρόνος ζωής της μπαταρίας διαφέρει από 50 ώρες;

Λύση:

Δηλώστε τις Υποθέσεις:
- Μηδενική Υπόθεση ( $H_0$ ): $\mu = 50$
- Εναλλακτική Υπόθεση ( $H_a$ ): $\mu \neq 50$
Υπολογίστε τον Μέσο Όρο Δείγματος ( $\bar{x}$ ):
$\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00$
Υπολογίστε την Τυπική Απόκλιση Δείγματος ( $s$ ):
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0$
Υπολογίστε το T-Στατιστικό:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00$
Βαθμοί Ελευθερίας:
$df = n - 1 = 8$
Καθορίστε την P-Τιμή:
- Για $t = 0.00$ και $df = 8$ , η p-τιμή είναι 1.00.
Συμπέρασμα:
- Δεδομένου ότι p-τιμή (1.00) > $\alpha$ (0.05), δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση.
- Ερμηνεία: Δεν υπάρχει αρκετό αποδεικτικό στοιχείο για να υποστηρίξει ότι ο μέσος χρόνος ζωής της μπαταρίας διαφέρει από 50 ώρες.

Αναφορές

Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean". Biometrika, 6(1), 1–25. JSTOR.
t-test του Student. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
Οδηγός Στατιστικής GraphPad: Κατανόηση t-tests. Σύνδεσμος
Laerd Statistics: Ανεξάρτητο t-test. Σύνδεσμος

Πρόσθετοι Πόροι

Έλεγχοι Υποθέσεων:
- Χρησιμοποιήστε τη Δοκιμή Shapiro-Wilk για κανονικότητα.
- Χρησιμοποιήστε τη Δοκιμή Levene για ισότητα διακυμάνσεων.
Λογισμικά Εργαλεία:
- SPSS, SAS, Stata και R για προχωρημένη στατιστική ανάλυση.
Περαιτέρω Ανάγνωση:
- "Introduction to Statistical Learning" από τους Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie και Robert Tibshirani.
- "Statistical Methods" από τους George W. Snedecor και William G. Cochran.

Υπολογιστής t-test για στατιστική ανάλυση και υποθέσεις

Υπολογιστής T-Test

Τεκμηρίωση