Υπολογιστής T-Test - Δωρεάν Διαδικτυακό Εργαλείο Στατιστικής Ανάλυσης

Τι είναι το t-test;

Το t-test είναι μια στατιστική μέθοδος που ελέγχει αν ο μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών διαφέρει ουσιαστικά από έναν άλλο μέσο όρο, ή από μια σταθερή τιμή. Ονομάζεται επίσης t-test του Student. Οι ερευνητές το χρησιμοποιούν για να συγκρίνουν δύο ομάδες, όπως μια ομάδα θεραπείας και μια ομάδα ελέγχου, ή για να συγκρίνουν μία ομάδα με ένα γνωστό πρότυπο.

Ο έλεγχος παράγει έναν αριθμό που ονομάζεται στατιστικό t. Ένα στατιστικό t μακριά από το μηδέν υποδηλώνει ότι οι μέσοι όροι πράγματι διαφέρουν. Ένα στατιστικό t κοντά στο μηδέν υποδηλώνει ότι κάθε διαφορά θα μπορούσε να είναι απλώς τυχαίος θόρυβος.

Τύποι t-test

Αυτός ο υπολογιστής υποστηρίζει τρία είδη t-test.

• T-test ενός δείγματος: συγκρίνει τον μέσο όρο ενός δείγματος με μια γνωστή ή υποτιθέμενη τιμή.
• T-test δύο δειγμάτων: συγκρίνει τους μέσους όρους δύο ανεξάρτητων δειγμάτων, όπως δύο ξεχωριστές ομάδες ανθρώπων. Αυτός ο υπολογιστής χρησιμοποιεί το t-test του Welch, το οποίο δεν προϋποθέτει ότι οι δύο ομάδες έχουν την ίδια διασπορά.
• T-test ζευγαρωτών δειγμάτων: συγκρίνει δύο σύνολα μετρήσεων που λαμβάνονται από τα ίδια άτομα, όπως βαθμολογίες πριν και μετά από μια θεραπεία.

Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον υπολογιστή t-test

1. Επιλέξτε έναν τύπο ελέγχου: ενός δείγματος, δύο δειγμάτων, ή ζευγαρωτών δειγμάτων.
2. Εισαγάγετε τα δεδομένα.
   • Ένα δείγμα: εισαγάγετε τις τιμές του δείγματος, χωρισμένες με κόμματα, και τον μέσο όρο πληθυσμού έναντι του οποίου θα γίνει ο έλεγχος.
   • Δύο δείγματα: εισαγάγετε και τα δύο δείγματα ως ξεχωριστές λίστες χωρισμένες με κόμματα.
   • Ζευγαρωτά: εισαγάγετε τα ζεύγη στη μορφή (x1,y1), (x2,y2), και ούτω καθεξής.
3. Ορίστε ένα επίπεδο σημαντικότητας, συνήθως 0,05. Ο υπολογιστής δεν χρησιμοποιεί αυτή την τιμή. Αναφέρει την τιμή p και αφήνει την απόφαση σε εσάς.
4. Το στατιστικό t, οι βαθμοί ελευθερίας και η τιμή p εμφανίζονται μόλις υπάρχουν αρκετά δεδομένα. Δεν υπάρχει κουμπί για να πατήσετε.

Για να κρίνετε τη σημαντικότητα, συγκρίνετε την τιμή p με το επίπεδο σημαντικότητας. Αν η τιμή p είναι μικρότερη ή ίση με το επίπεδο σημαντικότητας, η διαφορά θεωρείται στατιστικά σημαντική.

Τύπος t-test

Τύπος t-test ενός δείγματος

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

Το $\bar{x}$ είναι ο δειγματικός μέσος, το $\mu_0$ είναι η τιμή έναντι της οποίας γίνεται ο έλεγχος, το $s$ είναι η δειγματική τυπική απόκλιση, και το $n$ είναι το μέγεθος του δείγματος. Βαθμοί ελευθερίας: $df = n - 1$.

Τύπος t-test δύο δειγμάτων (έλεγχος Welch)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Οι βαθμοί ελευθερίας προκύπτουν από την εξίσωση Welch–Satterthwaite:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Αυτός ο τύπος συνήθως δίνει έναν βαθμό ελευθερίας που δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Τύπος t-test ζευγαρωτών δειγμάτων

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

Το $\bar{d}$ είναι ο μέσος όρος των διαφορών μεταξύ κάθε ζεύγους, το $s_d$ είναι η τυπική απόκλιση αυτών των διαφορών, και το $n$ είναι ο αριθμός των ζευγών. Βαθμοί ελευθερίας: $df = n - 1$.

Πώς να υπολογίσετε ένα t-test: παράδειγμα με λύση

Ένας κατασκευαστής ισχυρίζεται ότι μια μπαταρία διαρκεί κατά μέσο όρο 50 ώρες. Ένας ελεγκτής εξετάζει εννέα μπαταρίες και καταγράφει αυτές τις διάρκειες ζωής, σε ώρες:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Βήμα 1: Διατυπώστε τις υποθέσεις. Μηδενική υπόθεση: ο πραγματικός μέσος όρος είναι 50 ώρες. Εναλλακτική υπόθεση: ο πραγματικός μέσος όρος δεν είναι 50 ώρες.

Βήμα 2: Βρείτε τον δειγματικό μέσο όρο.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Βήμα 3: Βρείτε τη δειγματική τυπική απόκλιση. Οι αποκλίσεις από τον μέσο όρο είναι 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Στο τετράγωνο, είναι 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, που αθροίζουν σε 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Βήμα 4: Βρείτε το στατιστικό t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Βήμα 5: Βρείτε τους βαθμούς ελευθερίας.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Βήμα 6: Βρείτε την τιμή p. Με $t = 0$ και $df = 8$, η αμφίπλευρη τιμή p είναι 1,00.

Βήμα 7: Εξαγάγετε ένα συμπέρασμα. Εφόσον το 1,00 είναι μεγαλύτερο από το 0,05, δεν υπάρχουν αρκετά στοιχεία ότι η μέση διάρκεια ζωής της μπαταρίας διαφέρει από τις 50 ώρες.

Προϋποθέσεις του t-test

Ένα t-test δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα μόνο όταν ισχύουν κατά προσέγγιση λίγες συνθήκες.

• Κανονικότητα: τα δεδομένα θα πρέπει να έχουν περίπου καμπανοειδές σχήμα, ειδικά σε μικρά δείγματα.
• Ανεξαρτησία: κάθε παρατήρηση δεν θα πρέπει να επηρεάζει καμία άλλη παρατήρηση.
• Τυχαία δειγματοληψία: τα δεδομένα θα πρέπει να προέρχονται από τυχαίο δείγμα του πληθυσμού που μελετάται.

Για ένα t-test ζευγαρωτών δειγμάτων, αυτές οι συνθήκες ισχύουν για τις διαφορές μεταξύ των ζευγών, όχι για τις ακατέργαστες βαθμολογίες. Για μεγαλύτερα δείγματα, περίπου πάνω από 30, ένα t-test τείνει να παραμένει ακριβές ακόμη και όταν τα δεδομένα δεν έχουν τέλειο καμπανοειδές σχήμα, λόγω μιας στατιστικής ιδιότητας που ονομάζεται κεντρικό οριακό θεώρημα.

Εναλλακτικές του t-test

Όταν οι παραπάνω προϋποθέσεις δεν ισχύουν, μπορούν να χρησιμοποιηθούν άλλοι έλεγχοι.

• Δοκιμασία Mann-Whitney U: μια μη παραμετρική εναλλακτική στο t-test δύο δειγμάτων.
• Δοκιμασία προσημασμένων βαθμών Wilcoxon: μια μη παραμετρική εναλλακτική στο t-test ζευγαρωτών δειγμάτων.
• ANOVA: συγκρίνει τους μέσους όρους τριών ή περισσότερων ομάδων ταυτόχρονα, αντί μόνο δύο.

Ιστορία του t-test

Ο William Sealy Gosset ανέπτυξε το t-test το 1908, ενώ εργαζόταν ως χημικός στη ζυθοποιία Guinness στο Δουβλίνο. Η Guinness δεν επέτρεπε στο προσωπικό να δημοσιεύει έρευνα με το πραγματικό του όνομα, οπότε ο Gosset χρησιμοποίησε το ψευδώνυμο "Student". Γι' αυτόν τον λόγο η μέθοδος ονομάζεται συχνά t-test του Student. Το δημιούργησε για να κρίνει αν μικρές παρτίδες πρώτων υλών ζυθοποιίας πληρούσαν τα πρότυπα ποιότητας, χρησιμοποιώντας κάθε φορά μόνο μια χούφτα δειγμάτων.

Συχνές ερωτήσεις

Σε τι χρησιμεύει ένα t-test;

Ένα t-test ελέγχει αν ο μέσος όρος ενός δείγματος διαφέρει σημαντικά από έναν άλλο μέσο όρο ή από μια σταθερή τιμή. Είναι συνηθισμένο στην ιατρική, την ψυχολογία, την εκπαίδευση και την επιχειρηματική έρευνα.

Πότε πρέπει να χρησιμοποιήσω t-test ενός δείγματος, δύο δειγμάτων, ή ζευγαρωτών δειγμάτων;

Χρησιμοποιήστε t-test ενός δείγματος για να συγκρίνετε τον μέσο όρο ενός δείγματος με μια γνωστή τιμή. Χρησιμοποιήστε t-test δύο δειγμάτων για να συγκρίνετε δύο ξεχωριστές, άσχετες ομάδες. Χρησιμοποιήστε t-test ζευγαρωτών δειγμάτων όταν τα ίδια άτομα μετρώνται δύο φορές, όπως πριν και μετά από μια θεραπεία.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός t-test και ενός z-test;

Ένα t-test χρησιμοποιείται όταν το δείγμα είναι μικρό ή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη. Ένα z-test χρησιμοποιείται για μεγάλα δείγματα όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή. Στην πράξη, το t-test χρησιμοποιείται πολύ πιο συχνά, επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού σπάνια είναι γνωστή εκ των προτέρων.

Πώς ερμηνεύω μια τιμή p από ένα t-test;

Η τιμή p είναι η πιθανότητα να παρατηρηθεί μια τόσο μεγάλη ή μεγαλύτερη διαφορά, αν στην πραγματικότητα δεν υπήρχε καμία πραγματική διαφορά. Μια μικρή τιμή p, συνήθως στο ή κάτω από το 0,05, υποδηλώνει ότι η παρατηρούμενη διαφορά είναι απίθανο να οφείλεται μόνο στην τύχη.

Τι είναι το t-test του Welch;

Το t-test του Welch είναι μια εκδοχή του t-test δύο δειγμάτων που δεν απαιτεί οι δύο ομάδες να έχουν ίση διακύμανση. Αυτός ο υπολογιστής χρησιμοποιεί πάντα τη μέθοδο του Welch για ελέγχους δύο δειγμάτων, καθώς παραμένει ακριβής είτε οι δύο ομάδες έχουν την ίδια διασπορά είτε όχι.

Τι είναι οι βαθμοί ελευθερίας σε ένα t-test;

Οι βαθμοί ελευθερίας είναι ένας αριθμός, βασισμένος στο μέγεθος του δείγματος, που καθορίζει το ακριβές σχήμα της κατανομής t που χρησιμοποιείται για την εύρεση της τιμής p. Για ένα t-test ενός δείγματος ή ζευγαρωτών δειγμάτων, οι βαθμοί ελευθερίας ισούνται με το μέγεθος του δείγματος μείον 1. Το t-test δύο δειγμάτων του Welch χρησιμοποιεί έναν τύπο που συνήθως παράγει μια τιμή που δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αναφορές

1. Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.7.2, "Critical Values of the Student's t Distribution."