Υπολογιστής Κατανομής Laplace - Δωρεάν Εργαλείο PDF & Απεικόνισης

Τι είναι η κατανομή Laplace;

Η κατανομή Laplace, που ονομάζεται επίσης διπλή εκθετική κατανομή, είναι μια συνεχής κατανομή πιθανότητας με σχήμα δύο εκθετικών καμπυλών ενωμένων πλάτη με πλάτη στην κορυφή τους. Είναι συμμετρική γύρω από μια κεντρική τιμή και έχει βαρύτερες ουρές από την κανονική κατανομή, επομένως αποδίδει μεγαλύτερη πιθανότητα σε ακραίες τιμές. Ο υπολογιστής κατανομής Laplace σε αυτή τη σελίδα βρίσκει την κορυφαία πυκνότητα πιθανότητας της κατανομής από μια παράμετρο θέσης και μια παράμετρο κλίμακας και σχεδιάζει ολόκληρη την καμπύλη πυκνότητας.

Η κατανομή πήρε το όνομά της από τον Pierre-Simon Laplace, τον Γάλλο μαθηματικό που την περιέγραψε για πρώτη φορά το 1774.

Τύπος της κατανομής Laplace

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) της κατανομής Laplace είναι:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• Το x είναι οποιοδήποτε σημείο στην αριθμητική ευθεία.
• Το μ (μιού), η παράμετρος θέσης, είναι το κέντρο της κατανομής. Είναι επίσης ο μέσος όρος και η διάμεσος.
• Το b, η παράμετρος κλίμακας, καθορίζει πόσο διασπαρμένη είναι η κατανομή. Πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0.
• Το |x − μ| είναι η απόσταση μεταξύ του x και του κέντρου, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η κατεύθυνση.

Η καμπύλη φτάνει στο υψηλότερο σημείο της ακριβώς στο x = μ. Σε αυτό το σημείο ο τύπος απλοποιείται, επειδή |μ − μ| = 0 και exp(0) = 1, οπότε απομένει:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Αυτή η κορυφαία τιμή, 1/(2b), είναι ο αριθμός που αναφέρει ο υπολογιστής.

Πώς χρησιμοποιείται ο υπολογιστής κατανομής Laplace

1. Εισαγάγετε την παράμετρο θέσης (μ). Αυτό καθορίζει το σημείο γύρω από το οποίο κεντράρεται η κατανομή.
2. Εισαγάγετε την παράμετρο κλίμακας (b). Πρέπει να είναι θετικός αριθμός· όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή, τόσο πιο επίπεδη και διασπαρμένη είναι η καμπύλη.
3. Ο υπολογιστής εμφανίζει την κορυφαία πυκνότητα, 1/(2b), και σχεδιάζει την καμπύλη πυκνότητας f(x) από μ − 4b έως μ + 4b. Ο κατακόρυφος άξονας του γραφήματος είναι η πυκνότητα πιθανότητας και η καμπύλη μπορεί να ληφθεί ως πίνακας τιμών x και f(x).

Ο υπολογιστής δεν δέχεται ξεχωριστή τιμή x. Αναφέρει πάντα την πυκνότητα στην ίδια την κορυφή της κατανομής, x = μ, επειδή αυτός είναι ο πιο χρήσιμος μεμονωμένος συνοπτικός αριθμός για τη σύγκριση κατανομών με διαφορετικές κλίμακες. Για να βρείτε την πυκνότητα σε κάποιο άλλο σημείο, χρησιμοποιήστε τον παραπάνω τύπο με την τιμή x που σας ενδιαφέρει ή διαβάστε το ύψος από το γράφημα.

Λυμένο παράδειγμα

Έστω θέση μ = 4 και κλίμακα b = 2.

1. Ελέγξτε ότι το b είναι θετικό: 2 > 0, επομένως οι τιμές εισόδου είναι έγκυρες.
2. Η κορυφή βρίσκεται στο x = μ = 4, όπου |x − μ| = 0.
3. Υπολογίστε την κορυφαία πυκνότητα: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Ο υπολογιστής εμφανίζει 0,250000. Η σχεδιασμένη καμπύλη κορυφώνεται στο (4, 0,25) και μειώνεται συμμετρικά και στις δύο πλευρές, εκτεινόμενη από μ − 4b έως μ + 4b, δηλαδή από −4 έως 12 σε αυτή την περίπτωση.

Επειδή ο τύπος της κορυφαίας πυκνότητας, 1/(2b), δεν περιλαμβάνει το μ, η αλλαγή της θέσης μετατοπίζει απλώς την καμπύλη προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. Δεν αλλάζει το ύψος της. Μόνο η παράμετρος κλίμακας αλλάζει το ύψος.

Περισσότερα παραδείγματα

Μέσος όρος, διακύμανση και τυπική απόκλιση

Για μια κατανομή Laplace με θέση μ και κλίμακα b:

• Μέσος όρος = μ
• Διάμεσος = μ
• Διακύμανση = 2b²
• Τυπική απόκλιση = b√2

Η κατανομή Laplace σε σύγκριση με την κανονική κατανομή

Και οι δύο κατανομές είναι συμμετρικές και έχουν σχήμα καμπάνας, ενώ περιγράφονται πλήρως από ένα κέντρο και μια παράμετρο διασποράς. Η διαφορά βρίσκεται στις ουρές. Στην κανονική κατανομή η πυκνότητα μειώνεται ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από τον μέσο όρο, επομένως οι ακραίες τιμές γίνονται πολύ γρήγορα εξαιρετικά σπάνιες. Στην κατανομή Laplace μειώνεται ανάλογα με την απλή απόσταση, επομένως οι ακραίες τιμές παραμένουν συγκριτικά πιθανότερες. Αυτό καθιστά την κατανομή Laplace χρήσιμη κάθε φορά που τα πραγματικά δεδομένα περιέχουν περισσότερες ακραίες παρατηρήσεις από όσες θα προέβλεπε μια κανονική κατανομή.

Συνήθεις χρήσεις

• Επεξεργασία σημάτων και εικόνων: μοντελοποίηση θορύβου και συμπίεση εικόνων, καθώς οι διαφορές μεταξύ εικονοστοιχείων ή σημάτων συχνά συγκεντρώνονται κοντά στο μηδέν, με περιστασιακά μεγάλα άλματα.
• Διαφορική ιδιωτικότητα: ο μηχανισμός Laplace προσθέτει θόρυβο κατανεμημένο σύμφωνα με την κατανομή Laplace στα αποτελέσματα ερωτημάτων, για να προστατεύει τα ατομικά δεδομένα διατηρώντας παράλληλα τη συνολική ακρίβεια.
• Εύρωστη στατιστική και παλινδρόμηση: η παλινδρόμηση Lasso χρησιμοποιεί εκ των προτέρων κατανομή με σχήμα Laplace, η οποία ευνοεί λύσεις όπου πολλοί συντελεστές είναι ακριβώς μηδενικοί.
• Χρηματοοικονομικά: μοντελοποίηση αποδόσεων περιουσιακών στοιχείων, οι οποίες τείνουν να έχουν βαρύτερες ουρές από ό,τι υποδεικνύει μια κανονική κατανομή.
• Σεισμολογία: εμφανίζεται σε μοντέλα προτύπων μεγέθους σεισμών που σχετίζονται με τον νόμο Gutenberg-Richter.

Συχνές ερωτήσεις

Τι σημαίνει το αποτέλεσμα του υπολογιστή;

Είναι η κορυφαία, ή μέγιστη, τιμή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, ίση με 1/(2b). Αυτό είναι το ύψος της καμπύλης στο κέντρο της, x = μ.

Γιατί ο υπολογιστής δεν ζητά τιμή x;

Η κορυφαία πυκνότητα, 1/(2b), είναι ίδια σε κάθε τιμή x ίση με μ, επομένως δεν χρειάζεται ξεχωριστή τιμή x για να βρεθεί. Είναι ο καθιερωμένος μεμονωμένος αριθμός που χρησιμοποιείται για τη σύγκριση του πόσο ψηλές και στενές ή χαμηλές και πλατιές είναι δύο κατανομές Laplace. Η πλήρης καμπύλη, που δείχνει την πυκνότητα για κάθε x, είναι διαθέσιμη στο γράφημα.

Πώς βρίσκω την πυκνότητα σε σημείο διαφορετικό από την κορυφή;

Χρησιμοποιήστε τον τύπο $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ με την τιμή x που σας ενδιαφέρει ή διαβάστε απευθείας το ύψος από τη σχεδιασμένη καμπύλη.

Σε τι διαφέρει η κατανομή Laplace από την εκθετική κατανομή;

Η κατανομή Laplace μπορεί να κατασκευαστεί από δύο εκθετικές κατανομές. Αν τα X και Y είναι ανεξάρτητες εκθετικές τυχαίες μεταβλητές με τον ίδιο ρυθμό, τότε το X − Y ακολουθεί κατανομή Laplace με κέντρο στο 0.

Ποιες είναι οι συνήθεις χρήσεις της κατανομής Laplace;

Χρησιμοποιείται στην επεξεργασία σημάτων, στη συμπίεση εικόνων, στη διαφορική ιδιωτικότητα, στην εύρωστη στατιστική, στην παλινδρόμηση Lasso και στη μοντελοποίηση χρηματοοικονομικών αποδόσεων και μεγεθών σεισμών, όπου τα πραγματικά δεδομένα εμφανίζουν περισσότερες ακραίες τιμές από όσες προβλέπει μια κανονική κατανομή.

Μπορεί η κατανομή Laplace να είναι αρνητική ή αφορά μόνο θετικές τιμές;

Ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, θετικούς και αρνητικούς, σε αντίθεση με την εκθετική κατανομή, η οποία λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές.

Παραπομπές

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). Η κατανομή Laplace και οι γενικεύσεις της. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution