Υπολογιστής Κουτιακών Διαγραμμάτων - Δωρεάν Εργαλείο Δημιουργίας Διαγραμμάτων Κουτιού και Απολήξεων

Τι είναι το διάγραμμα κουτιού;

Το διάγραμμα κουτιού, που ονομάζεται επίσης διάγραμμα κουτιού και μουστακιών, είναι ένα γράφημα που συνοψίζει ένα σύνολο αριθμών χρησιμοποιώντας πέντε τιμές: την ελάχιστη τιμή, το πρώτο τεταρτημόριο, τη διάμεσο, το τρίτο τεταρτημόριο και τη μέγιστη τιμή. Δείχνει πού συγκεντρώνεται το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων και επισημαίνει τυχόν ασυνήθιστες τιμές, που ονομάζονται ακραίες τιμές, χωρίς να παραθέτει κάθε σημείο δεδομένων.

Τα διαγράμματα κουτιού είναι συνηθισμένα στη στατιστική, την επιστήμη και τις επιχειρηματικές αναφορές, επειδή επιτρέπουν τη σύγκριση πολλών ομάδων αριθμών με μια ματιά.

Η σύνοψη πέντε αριθμών

Ένα διάγραμμα κουτιού κατασκευάζεται από πέντε αριθμούς, οι οποίοι υπολογίζονται αφού ταξινομηθούν τα δεδομένα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο.

• Ελάχιστη τιμή: η μικρότερη τιμή που δεν είναι ακραία. Η αριθμομηχανή αυτή την επισημαίνει ως «Ελάχιστη τιμή (χωρίς τις ακραίες τιμές)».
• Πρώτο τεταρτημόριο (Q1): η τιμή κάτω από την οποία βρίσκεται περίπου το ένα τέταρτο των δεδομένων.
• Διάμεσος (Q2): η μεσαία τιμή του συνόλου δεδομένων.
• Τρίτο τεταρτημόριο (Q3): η τιμή κάτω από την οποία βρίσκονται περίπου τα τρία τέταρτα των δεδομένων.
• Μέγιστη τιμή: η μεγαλύτερη τιμή που δεν είναι ακραία. Η αριθμομηχανή αυτή την επισημαίνει ως «Μέγιστη τιμή (χωρίς τις ακραίες τιμές)».

Όταν ένα σύνολο δεδομένων δεν έχει ακραίες τιμές, αυτές οι δύο τιμές είναι απλώς οι μικρότεροι και οι μεγαλύτεροι αριθμοί που εισήχθησαν. Όταν έχει ακραίες τιμές, αποτελούν τα άκρα των μουστακιών, οπότε ο απολύτως μικρότερος ή μεγαλύτερος αριθμός που εισήχθη εμφανίζεται ξεχωριστά στη λίστα ακραίων τιμών.

Το κουτί στο γράφημα εκτείνεται από το Q1 έως το Q3. Μια γραμμή μέσα στο κουτί υποδεικνύει τη διάμεσο. Λεπτές γραμμές, που ονομάζονται μουστάκια, εκτείνονται από το κουτί προς την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή. Τυχόν ακραίες τιμές σχεδιάζονται ως ξεχωριστές τελείες πέρα από τα μουστάκια.

Τύπος του διαγράμματος κουτιού

Για ένα σύνολο δεδομένων ταξινομημένο σε αύξουσα σειρά με n τιμές:

Διάμεσος. Όταν το πλήθος των τιμών είναι περιττό, η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή:

$M = x_{(n+1)/2}$

Όταν το πλήθος των τιμών είναι άρτιο, είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων τιμών:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

όπου M είναι η διάμεσος και x με έναν αριθμό θέσης είναι η τιμή σε εκείνη τη θέση στα ταξινομημένα δεδομένα.

Τεταρτημόρια. Χωρίστε τα ταξινομημένα δεδομένα σε ένα κάτω και ένα άνω μισό. Αν το n είναι περιττό, αφήστε τη διάμεσο εκτός και των δύο μισών. Έπειτα:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

όπου $M_l$ είναι η διάμεσος του κάτω μισού και $M_u$ η διάμεσος του άνω μισού.

Αυτή η μέθοδος ονομάζεται συχνά αποκλειστική μέθοδος. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι, οι οποίες μπορεί να δώσουν ελαφρώς διαφορετικές τιμές για τα Q1 και Q3 σε μικρά σύνολα δεδομένων, αλλά η αποκλειστική μέθοδος είναι αυτή που χρησιμοποιεί η συγκεκριμένη αριθμομηχανή.

Ενδοτεταρτημοριακό εύρος (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Όρια και μουστάκια. Τα όρια καθορίζουν το σύνορο για τις ακραίες τιμές:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

όπου $F_l$ είναι το κάτω φράγμα και $F_u$ το άνω φράγμα.

Ένα μουστάκι δεν σταματά ακριβώς σε ένα όριο. Σταματά στο πιο ακραίο σημείο δεδομένων που εξακολουθεί να βρίσκεται εντός των ορίων:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

όπου $W_l$ είναι το κάτω μουστάκι και $W_u$ το άνω μουστάκι.

Ακραίες τιμές. Κάθε τιμή κάτω από το κάτω όριο ή πάνω από το άνω όριο είναι ακραία και σχεδιάζεται ως μεμονωμένο σημείο, αντί να ενσωματώνεται στο μουστάκι.

Πώς υπολογίζεται ένα διάγραμμα κουτιού βήμα προς βήμα

1. Ταξινομήστε τα δεδομένα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο.
2. Βρείτε τη διάμεσο. Με περιττό πλήθος τιμών, είναι η μεσαία τιμή. Με άρτιο πλήθος, είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων τιμών.
3. Βρείτε το Q1: τη διάμεσο του κάτω μισού των δεδομένων (η ίδια η διάμεσος παραλείπεται όταν το πλήθος είναι περιττό).
4. Βρείτε το Q3: τη διάμεσο του άνω μισού των δεδομένων, με τον ίδιο κανόνα.
5. Υπολογίστε το IQR ως Q3 μείον Q1.
6. Υπολογίστε το κάτω και το άνω όριο χρησιμοποιώντας 1,5 φορές το IQR.
7. Επισημάνετε κάθε τιμή εκτός των ορίων ως ακραία.
8. Ορίστε τα μουστάκια ως τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές που παραμένουν εντός των ορίων.

Λυμένο παράδειγμα

Εξετάστε το σύνολο δεδομένων των 11 τιμών: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Είναι ήδη ταξινομημένο.

Με 11 τιμές (περιττό πλήθος), η διάμεσος είναι η τιμή με σειρά 6: 40.

Το κάτω μισό είναι 6, 7, 15, 36, 39 (πέντε τιμές, χωρίς τη διάμεσο). Η διάμεσός του είναι η μεσαία τιμή: Q1 = 15.

Το άνω μισό είναι 41, 42, 43, 47, 49. Η διάμεσός του είναι η μεσαία τιμή: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Κάτω όριο = 15 − 1,5 × 28 = −27. Άνω όριο = 43 + 1,5 × 28 = 85. Κάθε τιμή του συνόλου δεδομένων βρίσκεται μεταξύ των −27 και 85, επομένως δεν υπάρχουν ακραίες τιμές και τα μουστάκια φτάνουν στην πραγματική ελάχιστη και μέγιστη τιμή: ελάχιστη τιμή = 6, μέγιστη τιμή = 49.

Τώρα συγκρίνετε ένα σύνολο δεδομένων με μια ακραία τιμή: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Εδώ Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 και IQR = 6, οπότε το άνω όριο είναι 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Η τιμή 50 βρίσκεται πάνω από αυτό το όριο, επομένως σχεδιάζεται ως ακραία τιμή και το άνω μουστάκι σταματά στην 11, τη μεγαλύτερη τιμή που εξακολουθεί να βρίσκεται εντός του ορίου, αντί για την 50.

Πώς διαβάζεται ένα διάγραμμα κουτιού

Το κουτί καλύπτει το μεσαίο 50% των δεδομένων, επομένως ένα πλατύ κουτί σημαίνει ότι το κεντρικό μέρος των δεδομένων είναι διασκορπισμένο, ενώ ένα στενό κουτί σημαίνει ότι είναι συγκεντρωμένο. Αν η γραμμή της διαμέσου βρίσκεται πιο κοντά στη μία πλευρά του κουτιού, τα δεδομένα παρουσιάζουν κλίση προς τη μακρύτερη πλευρά. Ένα μουστάκι που είναι πολύ μακρύτερο από το άλλο υποδηλώνει ότι τα δεδομένα εκτείνονται περισσότερο προς εκείνη την πλευρά. Τα σημεία πέρα από τα μουστάκια είναι ακραίες τιμές και συχνά χρειάζονται πιο προσεκτική εξέταση, επειδή μπορεί να είναι πραγματικά ακραίες τιμές ή σφάλματα στα δεδομένα.

Συνήθεις χρήσεις

Τα διαγράμματα κουτιού χρησιμοποιούνται για τη σύγκριση ομάδων δίπλα-δίπλα, όπως οι βαθμολογίες διαγωνισμάτων σε πολλές τάξεις, οι χρόνοι παράδοσης από δύο προμηθευτές ή οι μετρήσεις ενός πειράματος σε σύγκριση με μια ομάδα ελέγχου. Επειδή ένα διάγραμμα κουτιού συμπυκνώνει ολόκληρη την κατανομή σε πέντε αριθμούς, πολλά διαγράμματα μπορούν να τοποθετηθούν στο ίδιο γράφημα, γεγονός που διευκολύνει τη σύγκριση της διασποράς και των τυπικών τιμών μεταξύ ομάδων περισσότερο από έναν πίνακα ακατέργαστων αριθμών.

Διαγράμματα κουτιού σε σύγκριση με άλλα γραφήματα

Ένα ιστόγραμμα δείχνει λεπτομερέστερα το πλήρες σχήμα μιας κατανομής, αλλά είναι δυσκολότερο στη χρήση όταν συγκρίνονται πολλές ομάδες ταυτόχρονα. Ένα διάγραμμα βιολιού προσθέτει μια καμπύλη πυκνότητας γύρω από το κουτί, δείχνοντας με μεγαλύτερη ακρίβεια πού συγκεντρώνονται οι τιμές. Ένα διάγραμμα διασποράς δείχνει τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, κάτι που δεν μπορεί να κάνει ένα διάγραμμα κουτιού. Η σωστή επιλογή εξαρτάται από το αν ο στόχος είναι η σύγκριση ομάδων (διάγραμμα κουτιού), η λεπτομερής εξέταση του σχήματος μιας κατανομής (ιστόγραμμα ή διάγραμμα βιολιού) ή η μελέτη μιας σχέσης (διάγραμμα διασποράς).

Ιστορία

Ο στατιστικολόγος John Tukey εισήγαγε το διάγραμμα κουτιού τη δεκαετία του 1970, περιγράφοντάς το στο βιβλίο του Exploratory Data Analysis του 1977. Η αρχική του εκδοχή, που αναφέρεται μερικές φορές ως σχηματική γραφική παράσταση, έδειχνε τη διάμεσο, τα τεταρτημόρια και τις ακραίες τιμές. Το έτος 1978, οι στατιστικολόγοι Robert McGill, Tukey και Wayne Larsen περιέγραψαν ένα διάγραμμα με εγκοπές, το οποίο προσθέτει διάστημα εμπιστοσύνης γύρω από τη διάμεσο. Ο κανόνας 1,5 × IQR για την επισήμανση ακραίων τιμών έγινε τυπική σύμβαση λίγο αργότερα.

Συχνές ερωτήσεις

Σε τι χρησιμοποιείται ένα διάγραμμα κουτιού; Δείχνει πώς κατανέμεται ένα σύνολο αριθμών και επισημαίνει πιθανές ακραίες τιμές, χρησιμοποιώντας την ελάχιστη τιμή, το Q1, τη διάμεσο, το Q3 και τη μέγιστη τιμή. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για τη σύγκριση πολλών ομάδων στο ίδιο γράφημα.

Πώς διαβάζεται ένα διάγραμμα κουτιού; Το κουτί εκτείνεται από το Q1 έως το Q3, καλύπτοντας το μεσαίο μισό των δεδομένων. Η γραμμή μέσα στο κουτί είναι η διάμεσος. Τα μουστάκια φτάνουν έως τις πιο ακραίες μη έκτροπες τιμές και όσες τιμές βρίσκονται πέρα από τα μουστάκια σχεδιάζονται ως ξεχωριστά σημεία.

Πώς εντοπίζονται οι ακραίες τιμές σε ένα διάγραμμα κουτιού; Μια τιμή είναι ακραία αν βρίσκεται κάτω από το Q1 − 1,5 × IQR ή πάνω από το Q3 + 1,5 × IQR.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός διαγράμματος κουτιού και ενός ιστογράμματος; Ένα διάγραμμα κουτιού συμπυκνώνει μια κατανομή σε πέντε αριθμούς και ακραίες τιμές, γεγονός που το καθιστά συνοπτικό και κατάλληλο για τη σύγκριση ομάδων. Ένα ιστόγραμμα δείχνει τη συχνότητα των τιμών σε διαφορετικά διαστήματα, παρέχοντας περισσότερες λεπτομέρειες για το σχήμα μιας μεμονωμένης κατανομής.

Μπορεί αυτή η αριθμομηχανή να χειριστεί μικρά σύνολα δεδομένων; Η αριθμομηχανή χρειάζεται τουλάχιστον πέντε αριθμούς για να δημιουργήσει σύνοψη πέντε αριθμών. Τα διαγράμματα κουτιού είναι πιο κατατοπιστικά με μεγαλύτερα σύνολα δεδομένων, επειδή λίγες τιμές παρέχουν ελάχιστη εικόνα για τη διασπορά ή τις ακραίες τιμές.

Τι είδους είσοδο δέχεται η αριθμομηχανή; Αριθμούς χωρισμένους με κόμματα, κενά ή αλλαγές γραμμής, επομένως λειτουργεί και μια στήλη που έχει επικολληθεί από υπολογιστικό φύλλο. Οτιδήποτε δεν είναι αριθμός απορρίπτεται αντί να παραλείπεται, ώστε ένα τυπογραφικό λάθος να μην αλλάξει απαρατήρητο το αποτέλεσμα.

Τι σημαίνει αν ένα διάγραμμα κουτιού φαίνεται ασύμμετρο; Αν η διάμεσος βρίσκεται πιο κοντά στο Q1, τα δεδομένα έχουν μακρύτερη ουρά προς τις υψηλές τιμές. Αν βρίσκεται πιο κοντά στο Q3, τα δεδομένα έχουν μακρύτερη ουρά προς τις χαμηλές τιμές.