Generador y Calculadora de Secuencia Aritmética - Herramienta Gratuita
Genere secuencias aritméticas al instante. Introduzca el primer término, la diferencia común y el número de términos para crear patrones numéricos para matemáticas, finanzas y programación.
Generador de Secuencia Aritmética
Documentación
¿Qué es una sucesión aritmética?
Una sucesión aritmética es una lista de números en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior. Esa cantidad fija se llama diferencia común. En la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, cada término es 3 mayor que el anterior, por lo que la diferencia común es 3. Las sucesiones aritméticas también se llaman progresiones aritméticas.
Un generador de sucesiones aritméticas construye este tipo de lista a partir de tres valores:
- Primer término (a₁): el número inicial.
- Diferencia común (d): la cantidad fija que se suma a cada término para obtener el siguiente. Un valor positivo hace que la sucesión aumente. Un valor negativo hace que disminuya.
- Número de términos (n): cuántos números aparecen en la sucesión.
Escrita por completo, una sucesión aritmética tiene esta forma: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, y así sucesivamente, hasta a₁ + (n − 1)d.
Fórmula de la sucesión aritmética
La fórmula del término n-ésimo de una sucesión aritmética es:
aₙ = a₁ + (n − 1) × d
- aₙ es el valor del término en la posición n.
- a₁ es el primer término.
- n es la posición del término, contando desde 1.
- d es la diferencia común.
El término (n − 1) aparece porque al primer término todavía no se le ha sumado la diferencia común. Al segundo término se le ha sumado una vez, al tercero dos veces, y así sucesivamente. Al término n-ésimo, la diferencia común se ha sumado (n − 1) veces.
Fórmula de la suma de una sucesión aritmética
La suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética es:
Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)
Sₙ es la suma de los primeros n términos, y aₙ es el último término incluido en esa suma. Esta fórmula funciona porque al emparejar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, la suma de cada pareja siempre es la misma. Al multiplicar esa suma por la mitad del número de términos se obtiene el total.
Una forma equivalente que no requiere conocer de antemano el último término es:
Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)
Esta fórmula se atribuye al matemático Carl Friedrich Gauss, quien, según se dice, utilizó el método de emparejamiento de niño para sumar los números del 1 al 100 en cuestión de segundos: 50 parejas, cada una con una suma de 101, para un total de 5.050.
Ejemplo resuelto
Consideremos un primer término de 5, una diferencia común de 3 y 6 términos.
| Posición (n) | Cálculo | Término |
|---|---|---|
| 1 | 5 + (1 − 1) × 3 | 5 |
| 2 | 5 + (2 − 1) × 3 | 8 |
| 3 | 5 + (3 − 1) × 3 | 11 |
| 4 | 5 + (4 − 1) × 3 | 14 |
| 5 | 5 + (5 − 1) × 3 | 17 |
| 6 | 5 + (6 − 1) × 3 | 20 |
La sucesión es 5, 8, 11, 14, 17, 20. Su suma es (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.
Cómo usar la calculadora de sucesiones aritméticas
- Introduce el primer término (a₁). Puede ser positivo, negativo o cero, y puede incluir decimales.
- Introduce la diferencia común (d). También puede ser positiva, negativa, cero o decimal.
- Introduce el número de términos (n). Debe ser un número entero entre 1 y 10.000. Un decimal se redondea al número entero más cercano.
- La sucesión, el número de términos y su suma aparecen en cuanto se completan los tres campos. No hay ningún botón independiente que pulsar.
- Selecciona Copiar sucesión para copiar la lista completa de términos.
- Selecciona Borrar para vaciar los tres campos y empezar de nuevo.
Reglas de entrada
El primer término y la diferencia común aceptan cualquier número real, incluidos los decimales y los números negativos. El número de términos cuenta elementos completos, por lo que una sucesión no puede tener medio término. El campo redondea una entrada decimal al número entero más cercano: escribir 10,5 da 11 términos. El número debe quedar entre 1 y 10.000. Cero, un número negativo o un número superior a 10.000 muestra un error en lugar de una sucesión. El límite de 10.000 existe porque construir y mostrar una lista más larga puede ralentizar el navegador web.
Usos de las sucesiones aritméticas
Las sucesiones aritméticas describen cualquier cosa que cambia en una cantidad fija a intervalos regulares. Un plan de ahorro que comienza con 100 US$ y añade 25 US$ cada mes sigue una sucesión aritmética: 100, 125, 150, 175, y así sucesivamente. Un temporizador de cuenta atrás, un conjunto de horas de reunión espaciadas uniformemente y los índices de filas y columnas utilizados en los programas informáticos siguen el mismo patrón. Los estudiantes suelen utilizar sucesiones aritméticas para estudiar patrones en los primeros cursos de álgebra, ya que la diferencia constante facilita ver y comprobar la regla que subyace a la lista.
Un patrón relacionado es la sucesión geométrica, en la que cada término se obtiene multiplicando por una razón fija en lugar de sumar una cantidad fija, como 2, 6, 18, 54. Las sucesiones geométricas modelan un crecimiento que se acelera con el tiempo, como el interés compuesto, en lugar del cambio constante y lineal de una sucesión aritmética.
Historia
Las sucesiones aritméticas se encuentran entre los patrones matemáticos estudiados desde hace más tiempo. El papiro matemático de Rhind, un documento egipcio de alrededor de 1650 a. C., contiene problemas que utilizan progresiones aritméticas para repartir bienes. Los textos babilónicos antiguos muestran patrones similares incluso anteriores. Posteriormente, los matemáticos griegos, incluido Euclides, hacia el año 300 a. C., proporcionaron demostraciones formales sobre estas sucesiones que todavía se enseñan hoy.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una sucesión aritmética en términos sencillos?
Es una lista de números en la que se suma la misma cantidad cada vez para obtener el número siguiente. En 2, 5, 8, 11, esa cantidad es 3.
¿Cómo se puede encontrar el término n-ésimo sin enumerar todos los términos anteriores?
La fórmula aₙ = a₁ + (n − 1) × d proporciona directamente cualquier término. Para una sucesión que comienza en 3 con una diferencia común de 7, el término número 50 es 3 + (49 × 7) = 346.
¿Cuál es la diferencia entre una sucesión aritmética y una sucesión geométrica?
Una sucesión aritmética suma el mismo valor cada vez, como 2, 5, 8, 11. Una sucesión geométrica multiplica por el mismo valor cada vez, como 2, 6, 18, 54.
¿Puede una sucesión aritmética utilizar números negativos?
Sí. El primer término, la diferencia común o ambos pueden ser negativos. La sucesión -10, -6, -2, 2, 6 tiene una diferencia común de 4. Una cuenta regresiva como 100, 90, 80, 70 tiene una diferencia común de -10.
¿Cómo se obtiene la diferencia común a partir de una lista de números?
Resta cualquier término del término que le sigue: d = a₂ − a₁. En 7, 12, 17, 22, eso es 12 − 7 = 5, y 17 − 12 también es igual a 5, lo que confirma que la sucesión es aritmética.
¿Cuál es el número máximo de términos que puede generar esta calculadora?
Hasta 10.000 términos. El límite existe porque mostrar una lista mucho más larga puede ralentizar el navegador web.