Calculador de Ecuaciones Cuadráticas - Calcular Raíces de ax² + bx + c = 0

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a$, $b$ y $c$ son números, y $a$ no es cero. El solucionador de ecuaciones cuadráticas de esta página encuentra el valor o los valores de $x$ que hacen verdadera la ecuación, utilizando los coeficientes $a$, $b$ y $c$ que introduce el usuario.

Si $a$ fuera cero, el término $x^2$ desaparecería y la ecuación sería lineal en lugar de cuadrática. Por esa razón, la calculadora requiere que $a \neq 0$ y muestra un error si $a = 0$.

La fórmula cuadrática

Toda ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ puede resolverse con la fórmula cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El signo $\pm$ representa dos cálculos independientes: uno con el signo más y otro con el signo menos. Por eso una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones diferentes.

La expresión bajo la raíz cuadrada, $b^2 - 4ac$, se llama discriminante. Por lo general se escribe como $\Delta$ (la letra griega delta). El discriminante por sí solo indica cuántas soluciones reales tiene la ecuación, antes de realizar el resto del cálculo.

Cómo calcular las raíces

1. Escriba la ecuación en forma estándar, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifique los coeficientes $a$, $b$ y $c$.
3. Calcule el discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Si $\Delta$ es positivo, calcule ambas raíces con $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Si $\Delta$ es cero, calcule la única raíz con $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Si $\Delta$ es negativo, la ecuación no tiene raíces reales, porque un número negativo no tiene raíz cuadrada real.

La calculadora de esta página realiza estos pasos automáticamente. Acepta coeficientes entre $-10^{10}$ y $10^{10}$, y redondea los resultados a un número elegido de cifras decimales, de 0 a 10.

Qué significa el discriminante

Esta calculadora indica «no hay raíces reales» cuando $\Delta$ es negativo. No calcula raíces complejas (números que incluyen $i = \sqrt{-1}$).

Ejemplo práctico

Resuelva $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Aquí $a = 1$, $b = 5$ y $c = 6$.

Primero, encuentre el discriminante:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Como $\Delta$ es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Esto puede comprobarse mediante factorización: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, que es igual a cero cuando $x = -2$ o $x = -3$.

Un segundo ejemplo muestra un discriminante negativo. Para $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$ y $c = 1$, por lo que $\Delta = 1 - 4 = -3$. Como $\Delta$ es negativo, la ecuación no tiene raíces reales.

La parábola, el vértice y el eje de simetría

La gráfica de $f(x) = ax^2 + bx + c$ es una curva llamada parábola. Si $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba y tiene un punto mínimo. Si $a$ es negativo, se abre hacia abajo y tiene un punto máximo. Ese punto mínimo o máximo es el vértice.

El vértice se encuentra en:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Una recta vertical que pasa por el vértice, $x = -\dfrac{b}{2a}$, se llama eje de simetría, porque las dos mitades de la parábola son imágenes especulares una de la otra respecto de él. Las raíces reales de la ecuación son los puntos donde la parábola cruza el eje x, por lo que se encuentran a ambos lados del eje de simetría, a la misma distancia.

La calculadora dibuja esta parábola junto al resultado. Marca el vértice y las raíces reales en la curva, y amplía el intervalo representado cuando es necesario para que todas las raíces permanezcan visibles.

Dónde se utilizan las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas describen muchas situaciones reales. En física, la altura de un objeto lanzado a lo largo del tiempo sigue la ecuación $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, y resolverla para $t$ da el instante en que el objeto aterriza. En ingeniería, las formas parabólicas aparecen en antenas parabólicas y cables de puentes debido a la manera en que enfocan o distribuyen la fuerza. En gráficos por computadora, los programas de trazado de rayos resuelven ecuaciones cuadráticas para encontrar dónde una línea intersecta una esfera.

Breve historia

Los matemáticos babilonios resolvían problemas cuadráticos específicos alrededor de 2000 a. C., utilizando métodos geométricos en lugar de álgebra. Matemáticos griegos como Euclides también trataban las ecuaciones cuadráticas geométricamente. Alrededor de 600 d. C., el matemático indio Brahmagupta presentó una fórmula explícita para las raíces, incluidas las soluciones negativas. Alrededor de 800 d. C., el matemático persa al-Juarismi describió métodos sistemáticos para resolver ecuaciones cuadráticas en un libro cuyo título dio origen a la palabra «álgebra». La forma simbólica moderna de la fórmula cuadrática se estandarizó más tarde, a medida que la notación algebraica se desarrollaba durante el Renacimiento.

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre si introduzco 0 como coeficiente a? La calculadora muestra un error, porque $a = 0$ convierte la ecuación en una ecuación lineal, $bx + c = 0$, que se resuelve de otra manera.

¿Por qué una ecuación a veces no tiene raíces reales? Esto ocurre cuando el discriminante, $b^2 - 4ac$, es negativo. Un número negativo no tiene raíz cuadrada real, por lo que la fórmula no puede producir un valor real de $x$. La ecuación sigue teniendo dos raíces complejas, pero esta calculadora no las calcula.

¿Cuál es la diferencia entre una raíz y una solución? Ninguna. Ambas palabras se refieren a un valor de $x$ que hace que la ecuación sea igual a cero. «Raíz» se refiere al punto donde la gráfica se encuentra con el eje x; «solución» se refiere al álgebra.

¿Cuántas cifras decimales puedo elegir? Entre 0 y 10. Dos o tres cifras decimales suelen ser suficientes para los problemas cotidianos.

¿Puedo introducir coeficientes muy grandes? Los coeficientes deben estar entre $-10^{10}$ y $10^{10}$. Los valores fuera de ese intervalo pueden causar errores de redondeo y se rechazan.

¿Puede esta calculadora encontrar raíces complejas? No. Cuando el discriminante es negativo, indica «no hay raíces reales» en lugar de calcular números complejos.

Referencias

1. Ecuación cuadrática – MathWorld
2. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST, §1.11, Álgebra: ecuación cuadrática