Calculador de la Ecuación de Young-Laplace | Presión de Interfase

¿Qué es la ecuación de Young-Laplace?

La ecuación de Young-Laplace es una fórmula de la mecánica de fluidos que proporciona la diferencia de presión a través de una interfaz curva entre dos fluidos, como la superficie de una gota de agua o una burbuja de jabón. Muestra que esta diferencia de presión depende de la tensión superficial del fluido y de lo pronunciada que sea la curvatura de la interfaz. La ecuación explica por qué aumenta la presión dentro de las gotas y las burbujas, y por qué las más pequeñas tienen una presión interna mayor que las grandes.

Recibe su nombre de Thomas Young y Pierre-Simon Laplace, quienes describieron por separado esta relación a principios de la década de 1800.

Fórmula de la ecuación de Young-Laplace

La forma general de la ecuación es:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ es la diferencia de presión a través de la interfaz, en pascales (Pa)
• $\gamma$ (gamma) es la tensión superficial del fluido, en newtons por metro (N/m)
• $R_1$ y $R_2$ son los dos radios principales de curvatura de la superficie, en metros (m)

Una superficie se curva de forma diferente en distintas direcciones. $R_1$ y $R_2$ describen la curvatura a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí. En una esfera, como una gota o una burbuja, $R_1$ es igual a $R_2$, por lo que la fórmula se simplifica a:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convención de signos

La presión siempre es mayor en el lado cóncavo de una interfaz curva, el lado opuesto al que se abomba la superficie. En una gota o una burbuja, esto significa que la presión interior es mayor que la presión exterior. Un radio se considera positivo cuando su centro de curvatura se encuentra en el lado de mayor presión. Si la superficie se curva en sentido contrario en una dirección, ese radio se considera negativo. Una interfaz con forma de silla de montar, como el cuello de líquido entre dos granos en contacto, tiene un radio positivo y otro negativo, por lo que los dos términos se cancelan parcialmente.

Esta calculadora solo utiliza radios positivos.

Casos especiales

• Superficie plana: a medida que un radio crece hacia el infinito, su término en la fórmula se reduce hacia cero. Una interfaz perfectamente plana no presenta ninguna diferencia de presión.
• Cilindro: una superficie cilíndrica larga, como un chorro de líquido que sale de una boquilla, se curva en una sola dirección. Un radio es el radio del cilindro y el otro es infinito a lo largo de su longitud, por lo que la fórmula se reduce a $\Delta P = \gamma / R$. Esa es la mitad de la diferencia de presión de una esfera con el mismo radio.
• Escalas muy pequeñas: por debajo de aproximadamente 10 a 20 nanómetros, otros efectos, como la tensión lineal, adquieren importancia y la ecuación simple pierde precisión.

Cómo calcular la diferencia de presión con la ecuación de Young-Laplace

1. Determine la tensión superficial del fluido, en N/m, a la temperatura que corresponda. La tensión superficial disminuye al aumentar la temperatura.
2. Mida o estime el primer radio principal de curvatura, $R_1$, en metros.
3. Mida o estime el segundo radio principal de curvatura, $R_2$, en metros. Para una esfera, use el mismo valor que $R_1$. Para un cilindro, use un número muy grande para representar el infinito.
4. Multiplique la tensión superficial por la suma de $1/R_1$ y $1/R_2$. El resultado es la diferencia de presión en pascales.

Mantenga todos los valores en unidades del SI. Mezclar milímetros con metros, por ejemplo, altera el resultado por un factor de mil.

Ejemplo práctico

Considere una gota esférica de agua con un radio de 1 milímetro (0,001 m) y una tensión superficial de 0,072 N/m, un valor típico para el agua cerca de la temperatura ambiente.

Como la gota es una esfera, $R_1 = R_2 = R$, por lo que:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

La presión dentro de la gota es 144 Pa mayor que la presión del aire circundante. Es pequeña comparada con la presión atmosférica normal, de aproximadamente 101.325 Pa, pero el efecto aumenta rápidamente a medida que la gota se encoge. Una gota de una décima parte del tamaño, con un radio de 0,1 mm, tiene una diferencia de presión diez veces mayor: 1.440 Pa. Una gota con un radio de 0,01 mm alcanza 14.400 Pa, más del 14 % de la presión atmosférica.

Aplicaciones de la ecuación

• Gotas y burbujas: la mayor presión dentro de las gotas pequeñas impulsa la maduración de Ostwald, el proceso por el que las gotas pequeñas de una emulsión se encogen mientras las grandes crecen, porque su contenido se difunde desde las zonas de alta presión hacia las de baja presión.
• Acción capilar: la superficie curva dentro de un tubo estrecho hace subir el líquido. Por eso el agua asciende por las toallas de papel y los tubos de vidrio estrechos.
• Respiración: los diminutos sacos de aire de los pulmones, llamados alvéolos, se comportan como pequeñas burbujas. Un recubrimiento llamado surfactante pulmonar reduce la tensión superficial para que los alvéolos pequeños no colapsen bajo la presión que predice la ecuación. Los bebés prematuros que no tienen suficiente surfactante pueden desarrollar problemas respiratorios por este motivo.
• Impresión por inyección de tinta: las boquillas de las impresoras forman gotas de unas decenas de micrómetros de diámetro, donde la presión debida a la curvatura es suficientemente grande para determinar cómo sale la tinta de la boquilla.
• Ciencia de materiales: los instrumentos que miden cómo los líquidos mojan una superficie y cómo se comportan los recubrimientos delgados utilizan la ecuación para relacionar la forma de una gota con su energía superficial.

Historia

Mucho antes de que se explicara la razón, se observó que los líquidos ascendían por tubos estrechos. A principios de la década de 1700, Francis Hauksbee demostró experimentalmente que los tubos más estrechos provocan un ascenso capilar mayor, y en 1718 James Jurin describió que el ascenso era inversamente proporcional al diámetro del tubo.

Thomas Young explicó la física subyacente en un artículo de 1805, en el que introdujo la tensión superficial como una propiedad de los fluidos y la relacionó con la presión a través de superficies curvas, aunque su tratamiento fue principalmente descriptivo. En 1806, Pierre-Simon Laplace desarrolló la forma matemática mediante el cálculo, llegando de forma independiente a la misma relación. Su trabajo conjunto dio lugar a la ecuación de Young-Laplace. Posteriormente, científicos como Carl Friedrich Gauss y Joseph Plateau comprobaron y ampliaron la teoría durante la década de 1800.

Preguntas frecuentes

¿Qué calcula la ecuación de Young-Laplace? Calcula la diferencia de presión a través de una interfaz curva entre dos fluidos, basándose en la tensión superficial del fluido y la curvatura de la interfaz.

¿Por qué es mayor la presión dentro de una gota más pequeña? La tensión superficial tira a lo largo del borde de la gota, y esa fuerza de tracción aumenta proporcionalmente al radio. El área sobre la que debe actuar la presión aumenta con el cuadrado del radio. Al equilibrar ambas magnitudes se obtiene $\Delta P = 2\gamma/R$, por lo que la diferencia de presión es inversamente proporcional al radio: si el radio se reduce a la mitad, la diferencia de presión se duplica.

¿Cómo afecta la temperatura a la ecuación? La temperatura cambia el valor de la tensión superficial, que disminuye al aumentar la temperatura. En el caso del agua, la tensión superficial baja de aproximadamente 0,073 N/m a 20 °C hasta unos 0,063 N/m a 80 °C, una disminución de aproximadamente 0,17 mN/m por cada grado Celsius. La tensión superficial a temperatura ambiente es mayor que la del agua caliente, por lo que utilizar un valor correspondiente a la temperatura ambiente para un sistema caliente sobreestima la diferencia de presión.

¿Funciona la ecuación para formas distintas de las esferas? Sí. La forma general, con dos radios separados $R_1$ y $R_2$, abarca cualquier superficie curva, incluidos los elipsoides y las interfaces con forma de silla de montar. Solo la versión simplificada $2\gamma/R$ está limitada a las esferas.

¿En qué se diferencia la ecuación de Young-Laplace de la ecuación de Young? La ecuación de Young-Laplace proporciona la diferencia de presión causada por una interfaz curva. La ecuación de Young, otra relación independiente que también procede de Thomas Young, proporciona el ángulo de contacto que forma una gota cuando se encuentra con una superficie sólida, basándose en las energías superficiales de los tres materiales implicados. Describen fenómenos distintos y a veces se utilizan conjuntamente para analizar una gota depositada sobre una superficie.

¿Qué tamaño mínimo puede tener una gota antes de que la ecuación deje de funcionar? La ecuación sigue siendo precisa hasta aproximadamente 1 micrómetro. Por debajo de unos 10 a 20 nanómetros, fuerzas adicionales que la ecuación no considera, como la tensión lineal y las fuerzas entre superficies a escala molecular, adquieren suficiente magnitud para ser relevantes, por lo que se necesitan modelos más detallados.

Referencias

1. Young, T. (1805). «An Essay on the Cohesion of Fluids». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P. S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, suplemento del libro 10.
3. de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F. y Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A. W. y Gast, A. P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6.ª edición). Wiley-Interscience.