Calculadora de Curva Vertical - Herramienta de Diseño de Carreteras y Autopistas

¿Qué es una calculadora de curvas verticales?

Una calculadora de curvas verticales determina las elevaciones, el valor K y los puntos principales de una curva vertical, la curva parabólica que usan los ingenieros para unir suavemente dos rasantes. En lugar de que la carretera se encuentre en un ángulo brusco donde cambia la pendiente, una curva vertical combina ambas pendientes en una sola curva continua. Esto hace que la conducción sea más suave, permite que los conductores vean a suficiente distancia para detenerse con seguridad y facilita el drenaje adecuado del agua.

Los ingenieros utilizan curvas verticales al diseñar autopistas, calles, vías férreas, pistas de aeropuertos y terrenos nivelados, como estacionamientos. Siempre que una carretera o vía necesite cambiar de pendiente, una curva vertical realiza esa transición.

Curvas convexas y curvas cóncavas

Una curva vertical es de uno de dos tipos, según cómo se comparen las rasantes (pendientes) antes y después de la curva. Una rasante se expresa como porcentaje: una rasante de 3 % asciende 3 metros por cada 100 metros recorridos.

• Curva convexa: la rasante inicial es mayor que la rasante final (g₁ > g₂). La carretera asciende, pasa por un punto alto y luego desciende, como la cima de una colina.
• Curva cóncava: la rasante inicial es menor que la rasante final (g₁ < g₂). La carretera desciende, pasa por un punto bajo y luego asciende, como el fondo de una depresión.
• Si las dos rasantes son iguales, no se necesita ninguna curva. La carretera ya es una línea recta.

Las curvas convexas son especialmente importantes para la distancia de visibilidad de parada: el conductor debe ver suficientemente lejos para detenerse antes de chocar con un obstáculo. Las curvas cóncavas son especialmente importantes para la distancia de visibilidad nocturna con los faros y para el drenaje, ya que el agua se acumula en el punto bajo.

Términos clave

• PVI (punto de intersección vertical): punto donde se encontrarían las dos líneas rectas de rasante si no hubiera una curva.
• PVC (punto de curvatura vertical): punto donde comienza la curva.
• PVT (punto de tangencia vertical): punto donde termina la curva.
• Valor K: longitud de la curva dividida por el cambio de rasante. Mide la suavidad de la curva.
• Estación: medida de distancia a lo largo del eje de la carretera, utilizada en lugar de coordenadas simples. En esta calculadora, tanto la estación como la elevación se introducen en metros.

Normalmente, una curva es simétrica: el PVC se encuentra a la mitad de la longitud de la curva antes del PVI, y el PVT, a la mitad de la longitud de la curva después de este.

Fórmula de la curva vertical

La elevación en cualquier punto de la curva sigue una ecuación cuadrática (parabólica):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = elevación a una distancia $x$ del PVC
• $y_{PVC}$ = elevación en el PVC
• $g_1$ = rasante inicial, expresada como decimal (una rasante de 3 % es 0,03)
• $A$ = diferencia algebraica entre las rasantes, $g_2 - g_1$ (en forma decimal)
• $L$ = longitud de la curva

Fórmula del valor K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Aquí, $g_1$ y $g_2$ son porcentajes. Un K mayor significa una curva más tendida y gradual. Los manuales de diseño, como «A Policy on Geometric Design of Highways and Streets» de AASHTO, establecen valores K mínimos para las carreteras según la velocidad de diseño y según se trate de una curva convexa o cóncava.

Si $g_1$ es igual a $g_2$, el cambio de rasante es cero y K no está definido. La calculadora muestra entonces un guion en lugar de un valor K. Las rasantes que difieren en menos de 0,0001 % se consideran iguales.

PVC y PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ y $g_2$ son porcentajes aquí; dividir entre 200 convierte el porcentaje a decimal y lo aplica a la mitad de la longitud de la curva).

Punto alto o punto bajo

Un punto alto (curva convexa) o un punto bajo (curva cóncava) se encuentra en la curva cuando las dos rasantes tienen signos opuestos o cuando una de ellas es exactamente cero. Su distancia desde el PVC es:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Sume $x$ a la estación del PVC para obtener la estación del punto alto o bajo; después, use la fórmula de elevación anterior para determinar su elevación. Cuando ambas rasantes tienen el mismo signo, este punto queda fuera del intervalo entre el PVC y el PVT, por lo que la carretera sigue ascendiendo o sigue descendiendo a lo largo de toda la curva y la calculadora indica que no hay punto alto ni bajo. Cuando una rasante es cero, el punto se encuentra exactamente en el PVC o en el PVT.

Cómo calcular una curva vertical

1. Introduzca la rasante inicial y la rasante final, como porcentajes. Use un número positivo para una pendiente ascendente y uno negativo para una pendiente descendente.
2. Introduzca la longitud de la curva, en metros.
3. Introduzca la estación del PVI y la elevación del PVI, ambas en metros.
4. Consulte el tipo de curva (convexa, cóncava o ninguna), el valor K y las estaciones y elevaciones del PVC y el PVT.
5. Si las rasantes tienen signos opuestos o una de ellas es cero, la calculadora también indica el punto alto o bajo.
6. Para determinar la elevación en cualquier otro punto, introduzca una estación de consulta. Si esa estación queda fuera de la curva, la calculadora lo indica en lugar de proporcionar un número, porque la fórmula solo se aplica entre el PVC y el PVT.

Ejemplo resuelto: curva convexa

Una carretera asciende con una rasante de 3 % y luego desciende con una rasante de -2 %. El PVI se encuentra en la estación 1000,00 m, con una elevación de 150,00 m. La longitud de la curva es 400 m.

Valor K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: estación $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; elevación $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: estación $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; elevación $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Punto alto: como 3 y −2 tienen signos opuestos, existe un punto alto. Se encuentra a $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m del PVC, por lo que su estación es $800 + 240 = 1040.00$ m. Su elevación es $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Ejemplo resuelto: curva cóncava

Una carretera desciende con una rasante de -3 % y luego asciende con una rasante de 2 %. El PVI se encuentra en la estación 500,00 m, con una elevación de 85,00 m. La longitud de la curva es 200 m.

Valor K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: estación $= 400.00$ m; elevación $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: estación $= 600.00$ m; elevación $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Punto bajo: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m desde el PVC, por lo que su estación es $400 + 120 = 520.00$ m. Su elevación es $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Este punto bajo es donde se acumula el agua superficial, por lo que allí se coloca una entrada de drenaje, no en el PVI.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un valor K en el diseño de curvas verticales? El valor K es la longitud de la curva dividida por la diferencia absoluta entre las dos rasantes. Indica cuántos metros de curva producen un cambio de rasante de 1 %. Un valor K más alto significa una curva más tendida y gradual.

¿Cómo sé si necesito una curva convexa o cóncava? Compare las dos rasantes. Si la rasante inicial es mayor que la final, se trata de una curva convexa. Si la rasante inicial es menor que la final, se trata de una curva cóncava. Las rasantes iguales no necesitan ninguna curva.

¿Qué ocurre si las rasantes inicial y final son iguales? No se necesita una curva vertical, porque la carretera ya es recta. El valor K no está definido porque requeriría dividir entre un cambio de rasante igual a cero, por lo que la calculadora muestra un guion en lugar de un número.

¿Cómo se encuentra el punto alto o bajo de una curva? Existe cuando las dos rasantes tienen signos opuestos o cuando una de ellas es cero. Su distancia desde el PVC es $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Sume esa distancia a la estación del PVC para determinar su ubicación y después use la fórmula de elevación de la curva para calcular su altura. Si las rasantes tienen el mismo signo, el punto queda fuera de la curva, por lo que no existe.

¿Por qué es importante el punto bajo de una curva cóncava para el drenaje? El agua que baja por ambos lados de la curva cóncava se acumula en el punto bajo. Si se coloca una entrada de drenaje en el PVI en lugar de hacerlo en el punto bajo real, el agua puede acumularse en la carretera, ya que ambos puntos rara vez coinciden.

¿Puede una estación de consulta quedar fuera de la curva? Sí. La fórmula de elevación solo se aplica entre el PVC y el PVT. Una estación fuera de ese intervalo no tiene una elevación definida en la curva, por lo que la calculadora indica que está fuera de la curva.