Calculadora de Curva Vertical - Herramienta de Diseño de Carreteras y Autopistas

¿Qué es una calculadora de curvas verticales?

Una calculadora de curvas verticales determina las elevaciones, el valor K y los puntos principales de una curva vertical, la curva parabólica que usan los ingenieros para unir suavemente dos rasantes. En lugar de que la carretera se encuentre en un ángulo brusco donde cambia la pendiente, una curva vertical combina ambas pendientes en una sola curva continua. Esto hace que la conducción sea más suave, permite que los conductores vean a suficiente distancia para detenerse con seguridad y facilita el drenaje adecuado del agua.

Los ingenieros utilizan curvas verticales al diseñar autopistas, calles, vías férreas, pistas de aeropuertos y terrenos nivelados, como estacionamientos. Siempre que una carretera o vía necesite cambiar de pendiente, una curva vertical realiza esa transición.

Curvas convexas y curvas cóncavas

Una curva vertical es de uno de dos tipos, según cómo se comparen las rasantes (pendientes) antes y después de la curva. Una rasante se expresa como porcentaje: una rasante de 3 % asciende 3 metros por cada 100 metros recorridos.

• Curva convexa: la rasante inicial es mayor que la rasante final (g₁ > g₂). La carretera asciende, pasa por un punto alto y luego desciende, como la cima de una colina.
• Curva cóncava: la rasante inicial es menor que la rasante final (g₁ < g₂). La carretera desciende, pasa por un punto bajo y luego asciende, como el fondo de una depresión.
• Si las dos rasantes son iguales, no se necesita ninguna curva. La carretera ya es una línea recta.

Las curvas convexas son especialmente importantes para la distancia de visibilidad de parada: el conductor debe ver suficientemente lejos para detenerse antes de chocar con un obstáculo. Las curvas cóncavas son especialmente importantes para la distancia de visibilidad nocturna con los faros y para el drenaje, ya que el agua se acumula en el punto bajo.

Términos clave

• PVI (punto de intersección vertical): punto donde se encontrarían las dos líneas rectas de rasante si no hubiera una curva.
• PVC (punto de curva vertical): donde comienza la curva.
• PVT (punto de tangente vertical): donde termina la curva.
• Valor K: la longitud de la curva dividida entre el cambio de pendiente. Mide cuán gradual es la curva.
• Estación: medida de distancia a lo largo del eje de la carretera, utilizada en lugar de coordenadas simples. En esta calculadora, tanto la estación como la elevación se introducen en metros.

Normalmente, una curva es simétrica: el PVC se encuentra a la mitad de la longitud de la curva antes del PVI, y el PVT, a la mitad de la longitud de la curva después de este.

Fórmula de la curva vertical

La elevación en cualquier punto de la curva sigue una ecuación cuadrática (parabólica):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = elevación a una distancia $x$ del PVC
• $y_{PVC}$ = elevación en el PVC
• $g_1$ = rasante inicial, expresada como decimal (una rasante de 3 % es 0,03)
• $A$ = diferencia algebraica entre las rasantes, $g_2 - g_1$ (en forma decimal)
• $L$ = longitud de la curva

Fórmula del valor K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Aquí, $g_1$ y $g_2$ son porcentajes. Un K mayor significa una curva más tendida y gradual. Los manuales de diseño, como «A Policy on Geometric Design of Highways and Streets» de AASHTO, establecen valores K mínimos para las carreteras según la velocidad de diseño y según se trate de una curva convexa o cóncava.

Si $g_1$ es igual a $g_2$, el cambio de pendiente es cero y K queda indefinido (la calculadora lo indica como infinito).

PVC y PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ y $g_2$ son porcentajes aquí; dividir entre 200 convierte el porcentaje a decimal y lo aplica a la mitad de la longitud de la curva).

Punto alto o punto bajo

Hay un punto alto (curva en cresta) o un punto bajo (curva en columpio) dentro de la curva siempre que las dos pendientes tengan signos opuestos. Su distancia desde el PVC es:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Se suma $x$ a la estación del PVC para obtener la estación del punto alto o bajo, y luego se usa la fórmula de elevación anterior para hallar su elevación.

Cómo calcular una curva vertical

1. Introduzca la rasante inicial y la rasante final, como porcentajes. Use un número positivo para una pendiente ascendente y uno negativo para una pendiente descendente.
2. Introduzca la longitud de la curva, en metros.
3. Introduzca la estación del PVI y la elevación del PVI, ambas en metros.
4. Consulte el tipo de curva (convexa, cóncava o ninguna), el valor K y las estaciones y elevaciones del PVC y el PVT.
5. Si las pendientes tienen signos opuestos, la calculadora indica además el punto alto o bajo.
6. Para hallar la elevación en cualquier otro punto, se introduce una estación de consulta. Si esa estación queda fuera de la curva, la calculadora indica que está fuera de la curva en lugar de dar un número.

Ejemplo resuelto: curva convexa

Una carretera asciende con una rasante de 3 % y luego desciende con una rasante de −2 %. El PVI se encuentra en la estación 1000,00 m, con una elevación de 150,00 m. La longitud de la curva es 400 m.

Valor K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: estación $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; elevación $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: estación $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; elevación $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Punto alto: como 3 y −2 tienen signos opuestos, existe un punto alto. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m desde el PVC, por lo que su estación es $800 + 240 = 1040.00$ m. Su elevación es $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Ejemplo resuelto: curva cóncava

Una carretera desciende con una rasante de −3 % y luego asciende con una rasante de 2 %. El PVI se encuentra en la estación 500,00 m, con una elevación de 85,00 m. La longitud de la curva es 200 m.

Valor K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: estación $= 400.00$ m; elevación $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: estación $= 600.00$ m; elevación $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Punto bajo: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m desde el PVC, por lo que su estación es $400 + 120 = 520.00$ m. Su elevación es $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Este punto bajo es donde se acumula el agua superficial, por lo que allí se coloca una entrada de drenaje, no en el PVI.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el valor K en el diseño de curvas verticales? El valor K es la longitud de la curva dividida entre la diferencia absoluta entre las dos pendientes. Indica cuántos metros de curva producen un cambio de pendiente del 1 %. Un valor K más alto significa una curva más plana y gradual.

¿Cómo sé si necesito una curva en cresta o una curva en columpio? Se comparan las dos pendientes. Si la pendiente inicial es mayor que la final, es una curva en cresta. Si la pendiente inicial es menor que la final, es una curva en columpio. Si las pendientes son iguales, no se necesita ninguna curva.

¿Qué ocurre si las pendientes inicial y final son iguales? No se necesita una curva vertical, ya que la vía ya es recta. El valor K queda indefinido porque habría que dividir entre un cambio de pendiente de cero.

¿Cómo se halla el punto alto o bajo de una curva? Solo existe cuando las dos pendientes tienen signos opuestos. Su distancia desde el PVC es $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Se suma a la estación del PVC para obtener su ubicación y luego se usa la fórmula de elevación de la curva para obtener su altura.

¿Por qué importa el punto bajo de una curva en columpio para el drenaje? El agua que baja por ambos lados de la curva se acumula en el punto bajo. Si se coloca un sumidero en el PVI en lugar de en el verdadero punto bajo, el agua puede encharcarse en la calzada, ya que ambos puntos rara vez coinciden.

¿Puede una estación de consulta quedar fuera de la curva? Sí. La fórmula de elevación solo se aplica entre el PVC y el PVT. Una estación fuera de ese intervalo no tiene una elevación definida en la curva, por lo que la calculadora indica que está fuera de la curva.

Referencias

1. Texas Department of Transportation. Roadway Design Manual, 4.8.2 Vertical Curves. Manual de diseño de carreteras del TxDOT: curvas verticales: las curvas verticales son parábolas simples; longitud de la curva L = KA, donde A es la diferencia algebraica de pendientes en porcentaje.
2. Levinson, D., et al. Fundamentals of Transportation, 7,5 Vertical Curves (Engineering LibreTexts). Fundamentos del transporte: curvas verticales: elevación y = y_PVC + g₁x + (g₂ − g₁)x²/2 L; punto alto o bajo en x = g₁L/(g₁ − g₂); el PVC y el PVT están cada uno a L/2 del PVI.