Calculadora de Frecuencia por Semitonos - Transponer el Tono en Semitonos y Centésimas

¿Qué es una calculadora de frecuencia de semitonos?

Una calculadora de frecuencia de semitonos trabaja con intervalos musicales y frecuencias de sonido, medidas en hercios (Hz). Puede hallar el intervalo entre dos frecuencias en semitonos y cents. También puede hallar la frecuencia que queda a cierto número de semitonos por encima o por debajo de una frecuencia inicial. Músicos, ingenieros de audio y constructores de instrumentos la usan para comparar alturas de sonido, comprobar la exactitud de la afinación y convertir entre frecuencia y notación musical.

Un semitono es el intervalo más pequeño de la música occidental estándar, la distancia entre una tecla del piano y la siguiente, negra o blanca. Una octava contiene 12 semitonos. Un cent es una unidad aún menor: una centésima parte de un semitono de temperamento igual. Los cents permiten a los músicos medir diferencias de altura demasiado pequeñas para oírlas como un cambio de nota distinto, como una ligera desafinación.

Cómo calcular semitonos a partir de la frecuencia

La calculadora usa el sistema de afinación de temperamento igual, la afinación estándar de los pianos, las guitarras y la mayoría de los instrumentos occidentales modernos. En el temperamento igual, la octava se divide en 12 pasos iguales, de modo que cada semitono tiene exactamente el mismo tamaño que todos los demás.

La fórmula del número de semitonos ($n$) entre dos frecuencias es la relación estándar de temperamento igual $n = 12\log_2(f_n/440\ \text{Hz})$, con cualquier frecuencia inicial en lugar de 440 Hz:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Aquí $f_1$ es la frecuencia inicial en Hz, $f_2$ es la frecuencia final en Hz y $\log_2$ es el logaritmo en base 2.

La fórmula de los cents

Como un semitono equivale a 100 cents, la fórmula de los cents multiplica la misma razón por 1200 en lugar de por 12:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Por qué la fórmula utiliza un logaritmo

El oído humano juzga la altura del sonido por la razón entre frecuencias, no por la diferencia bruta en Hz. Duplicar una frecuencia siempre suena como el mismo salto: una octava, sin importar desde dónde se parta.

• De 110 Hz a 220 Hz hay una octava (12 semitonos)
• De 220 Hz a 440 Hz hay una octava (12 semitonos)
• De 440 Hz a 880 Hz hay una octava (12 semitonos)

Cada uno de esos pares tiene una diferencia distinta en Hz, pero la misma razón, por lo que hace falta un logaritmo para convertir esa razón en una escala lineal y uniforme de semitonos.

La proporción del temperamento igual

En el temperamento igual, cada paso de semitono multiplica la frecuencia por:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Multiplique una frecuencia por 1,059463 y subirá un semitono. Hágalo 12 veces seguidas y la frecuencia se duplica, lo que equivale a una octava:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

Cómo utilizar la calculadora

La calculadora tiene dos modos.

Intervalo entre dos frecuencias

1. Ingrese la primera frecuencia en Hz. Puede ser una altura de referencia, como el la de concierto a 440 Hz, o cualquier frecuencia que se esté midiendo.
2. Ingrese la segunda frecuencia en Hz, la que se compara con la primera.
3. La calculadora muestra el intervalo tanto en semitonos como en cents, redondeado a dos decimales.

Un resultado positivo significa que la segunda frecuencia es más alta que la primera. Un resultado negativo significa que es más baja.

Frecuencia a partir de semitonos

1. Ingrese una frecuencia base en Hz.
2. Ingrese un número de semitonos (los valores negativos bajan) y, si lo desea, un ajuste fino en cents.
3. La calculadora devuelve $f = f_\text{base} \times 2^{(n + c/100)/12}$ y el nombre de la nota de temperamento igual más cercana, como La4, con La4 fijado en 440 Hz.

Ejemplo práctico

El do central tiene una frecuencia de aproximadamente 261,63 Hz. El sol que está por encima es de aproximadamente 392,00 Hz. Al aplicar la fórmula:

• Semitonos = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00
• Cents = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99

La calculadora muestra 7,00 semitonos y 699,99 cents, porque las frecuencias de ambas notas están redondeadas. Siete semitonos son una quinta justa, uno de los intervalos más comunes de la música, por lo que el resultado coincide con lo que los músicos esperan para este par de notas.

Un segundo ejemplo: medir un pequeño error de afinación

Los cents sirven para medir desajustes diminutos. Supongamos que una sala tiene una resonancia no deseada a 147 Hz y un ingeniero trabaja en una pista construida en torno a la nota re, cuya frecuencia fundamental estándar es 146,83 Hz. ¿Cuánto se aleja la resonancia de esa nota?

• Cents = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,0 cents

La resonancia está aproximadamente 2 cents por encima del re, una diferencia demasiado pequeña para que la mayoría de los oyentes la perciba como otra altura, pero que sigue siendo medible y conviene tener en cuenta al acondicionar acústicamente una sala.

Intervalos musicales comunes

La tabla siguiente muestra los nombres estándar de los intervalos en temperamento igual, junto con su tamaño en semitonos, cents, razón de frecuencias y la altura resultante al partir de La 440 (440 Hz).

Estas cifras se aplican únicamente al temperamento igual. Otros sistemas de afinación sitúan los mismos intervalos en frecuencias ligeramente diferentes.

Sistemas de afinación alternativos

El temperamento igual es el estándar moderno, pero no es la única forma de afinar la música ni coincide perfectamente con la física del sonido.

La entonación justa construye los intervalos a partir de razones sencillas de números enteros, como 3:2 para una quinta justa o 5:4 para una tercera mayor. Estas razones producen intervalos que suenan suaves juntos, sin batidos audibles, pero difieren del temperamento igual en una cantidad que depende del intervalo. Una tercera mayor justa (5:4) es más estrecha que la tercera mayor de temperamento igual, en unos 14 cents.

La afinación pitagórica construye una escala por completo a partir de quintas justas apiladas (razón 3:2). Sus quintas son puras y sin batidos, pero el proceso deja sus terceras mayores unos 8 cents más agudas que las terceras mayores de temperamento igual. En comparación con la tercera mayor pura 5:4 de la entonación justa, la tercera pitagórica es aún más aguda, en casi 22 cents, una diferencia conocida como coma sintónica. La afinación pitagórica era común en la música medieval y del primer Renacimiento.

El temperamento mesotónico estrecha ligeramente las quintas justas para que las terceras mayores resulten puras. Se usó ampliamente desde el Renacimiento hasta principios del Barroco y funciona bien para la música que permanece en un pequeño conjunto de tonalidades muy próximas.

Los sistemas microtonales dividen la octava en más de 12 pasos. Se usan en la música experimental y en algunas músicas no occidentales.

Usos prácticos

• Producción musical: ajustar la altura de muestras, afinar los osciladores de sintetizadores y comprobar que los sonidos superpuestos estén afinados entre sí.
• Ingeniería de audio: relacionar las bandas del ecualizador o las resonancias de una sala con notas musicales, como en el ejemplo anterior sobre la resonancia de una sala.
• Construcción de instrumentos: los guitarreros colocan los trastes usando la constante 17,817, derivada de $2^{1/12}$, de modo que cada traste eleve el tono un semitono. Los constructores de órganos y los fundidores de campanas usan las mismas matemáticas para planificar la longitud de los tubos y afinar las campanas.
• Investigación y educación: estudiar cómo perciben los seres humanos la altura, analizar vocalizaciones animales o enseñar logaritmos y la física del sonido.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan los semitonos a partir de la frecuencia?

Divida la frecuencia mayor entre la menor, tome el logaritmo en base 2 de esa razón y multiplique por 12: semitonos = 12 × log₂(f₂/f₁). Multiplique el resultado por 100 para obtener cents en su lugar.

¿Cuál es la diferencia entre un semitono y un cent?

Un semitono es el intervalo estándar entre notas adyacentes de la música occidental, como las teclas contiguas de un piano. Un cent equivale a 1/100 de un semitono, por lo que una octava contiene 1200 cents. Los cents permiten medir con mayor precisión pequeñas diferencias de altura inferiores a un semitono.

¿Cuántos Hz tiene un semitono?

No hay un número fijo de Hz por semitono; depende de la altura inicial, porque un semitono es una razón (aproximadamente 1,059463), no una diferencia fija de frecuencia. Un semitono por encima de 440 Hz es 466,16 Hz, un aumento de 26,16 Hz. Un semitono por encima de 220 Hz es 233,08 Hz, un aumento de solo 13,08 Hz.

¿Qué frecuencia se encuentra 12 semitonos por encima de 440 Hz?

880 Hz. Doce semitonos forman una octava, y una octava siempre significa duplicar la frecuencia, sin importar la altura inicial.

¿Qué relación tienen los números de nota MIDI con los semitonos?

Cada número de nota MIDI dista un semitono de sus vecinas. La4 (440 Hz) es la nota MIDI 69, por lo que el do central, nueve semitonos más grave, es la nota MIDI 60. La frecuencia se puede hallar a partir del número de nota MIDI con: frecuencia = 440 × 2^((n − 69)/12).

¿Por qué algunos intervalos del temperamento igual suenan ligeramente desafinados?

El temperamento igual divide la octava en 12 pasos idénticos para que la música pueda moverse libremente entre tonalidades, pero este compromiso aleja ligeramente la mayoría de los intervalos de las razones puras de números enteros de la entonación justa. La tercera mayor de temperamento igual, por ejemplo, es unos 14 cents más aguda que la tercera mayor pura 5:4. Los oyentes entrenados a veces pueden percibirlo, aunque la mayoría de las personas no lo notan al escuchar con normalidad.

¿Qué precisión tiene el resultado de la calculadora?

La calculadora trabaja con precisión de punto flotante completa y muestra frecuencias, semitonos y cents con dos decimales. El resultado es tan preciso como las frecuencias ingresadas.

Referencias

1. University of New South Wales, School of Physics (Music Acoustics). Note names, MIDI numbers and frequencies. Notas y frecuencias — n = 12·log₂(f/440 Hz), cents = 1200·log₂(f/440 Hz), La4 = MIDI 69, f = 2^((m−69)/12) × 440 Hz.
2. University of New South Wales, School of Physics (Music Acoustics). Tartini tones and temperament: an introduction for musicians. Tonos de Tartini y temperamento — el semitono de temperamento igual se divide en 100 cents; una tercera mayor justa tiene la razón 5:4 y es más estrecha que la tercera de temperamento igual.