Calculadora de Valor Crítico | Prueba Z, Prueba t, Chi-Cuadrado

Un valor crítico es el punto de corte de una distribución de probabilidad que marca el borde de la «región de rechazo» en un contraste de hipótesis. Si el estadístico de prueba cae más allá del valor crítico, el resultado se considera estadísticamente significativo y se rechaza la hipótesis nula. Esta calculadora halla valores críticos para las tres pruebas más habituales: la prueba Z, la prueba t y la prueba de chi cuadrado.

¿Qué es un valor crítico?

En estadística, los investigadores suelen partir de una hipótesis nula, una suposición sencilla de que no ocurre nada fuera de lo normal (por ejemplo, que un medicamento nuevo no tiene efecto). Se calcula un estadístico de prueba a partir de los datos de la muestra y se compara con un valor crítico para decidir si los datos aportan pruebas suficientes contra la hipótesis nula.

El valor crítico depende de tres factores: la prueba elegida, el nivel de significación (que se escribe α, la letra griega alfa) y si la prueba es unilateral o bilateral. El nivel de significación es la probabilidad de rechazar por error una hipótesis nula verdadera, y suele fijarse en 0,05 (5 %) o 0,01 (1 %).

Una prueba unilateral busca un efecto en una sola dirección, como «mayor que». Tiene un valor crítico. Una prueba bilateral busca un efecto en cualquiera de las dos direcciones y tiene dos valores críticos, uno a cada lado de la distribución.

Cómo calcular un valor crítico

1. Elegir la prueba: prueba Z (muestras grandes o varianza poblacional conocida), prueba t (muestras pequeñas con varianza desconocida) o prueba de chi cuadrado (datos categóricos o bondad de ajuste).
2. Elegir el tipo de cola: unilateral o bilateral.
3. Elegir el nivel de significación α, un número entre 0 y 1. Las opciones habituales son 0,10, 0,05 y 0,01.
4. Para una prueba t o de chi cuadrado, introducir los grados de libertad (gl). En una prueba t, gl es igual al tamaño de la muestra menos 1. En una prueba de bondad de ajuste de chi cuadrado, gl es igual al número de categorías menos 1.
5. Buscar (o calcular) el valor que delimita el área de cola elegida bajo la curva de la distribución. Ese es el valor crítico.

Fórmulas del valor crítico

Cada fórmula usa la inversa de una función de distribución acumulada: el valor de x para el cual el área bajo la curva hasta x es igual a una probabilidad objetivo p.

Fórmula de la prueba Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilateral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilateral)}$

Φ⁻¹ es la inversa de la función de distribución acumulada normal estándar.

Fórmula de la prueba t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilateral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilateral)}$

t⁻¹(p, gl) es la inversa de la función de distribución acumulada de la distribución t con gl grados de libertad.

Fórmula de la prueba de chi cuadrado

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilateral)}$ $\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilateral)}$

La distribución de chi cuadrado solo toma valores positivos, por lo que ambos valores críticos son positivos y el inferior es menor que el superior.

Ejemplo: valor crítico de la prueba Z

Un equipo de control de calidad quiere el valor crítico unilateral de una prueba Z con α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Cualquier estadístico de prueba por encima de 1,6449 cae en la región de rechazo.

Ejemplo: valor crítico de la prueba t

Un investigador realiza un experimento con 20 participantes, de modo que gl = 19. Quiere el valor crítico bilateral con α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Las regiones de rechazo son t < -2,8609 y t > 2,8609.

Ejemplo: valores críticos de chi cuadrado

Un analista compara los recuentos observados y esperados en 5 categorías, de modo que gl = 4. Quiere los valores críticos bilaterales con α = 0,05.

$\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Un estadístico de chi cuadrado inferior a 0,4844 o superior a 11,1433 caería en la región de rechazo.

Valores críticos habituales

A medida que aumentan los grados de libertad, los valores críticos de la distribución t se acercan a los valores correspondientes de la prueba Z, porque la distribución t tiende a la distribución normal.

Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve un valor crítico? Fija el límite para decidir si un estadístico de prueba es lo bastante extremo como para rechazar la hipótesis nula. Si el estadístico supera el valor crítico, el resultado es estadísticamente significativo al nivel α elegido.

¿Cuál es la diferencia entre un valor crítico unilateral y uno bilateral? Una prueba unilateral busca un efecto en una sola dirección y tiene un único valor crítico. Una prueba bilateral busca un efecto en cualquiera de las dos direcciones y tiene dos valores críticos, situados simétricamente respecto del centro en la prueba Z y en la prueba t. Con el mismo α, un valor crítico bilateral es mayor en valor absoluto que uno unilateral, porque la misma probabilidad total se reparte entre dos colas en lugar de una.

¿Cuándo debe usarse una prueba Z en lugar de una prueba t? Se usa una prueba Z cuando la varianza poblacional es conocida o la muestra es grande, normalmente de 30 observaciones o más. Se usa una prueba t con muestras más pequeñas y varianza poblacional desconocida. A medida que crece el tamaño de la muestra, los valores críticos de la prueba t convergen hacia los de la prueba Z.

¿Puede un valor crítico ser negativo? Sí. Las distribuciones de la prueba Z y de la prueba t son simétricas respecto de cero, por lo que una prueba bilateral tiene un valor crítico negativo y otro positivo. Los valores críticos de chi cuadrado son siempre positivos, porque la distribución de chi cuadrado solo está definida para valores iguales o mayores que cero.

¿Cómo afectan los grados de libertad a un valor crítico? Los grados de libertad miden cuánta información independiente hay en los datos, normalmente el tamaño de la muestra menos el número de parámetros ya estimados. Menos grados de libertad producen distribuciones más anchas, de colas más pesadas, y valores críticos mayores. Más grados de libertad acercan la distribución t y la de chi cuadrado a la distribución normal.

¿Qué valor crítico corresponde a un nivel de confianza del 95 %? Un nivel de confianza del 95 % usa α = 0,05. En una prueba Z bilateral, los valores críticos son ±1,9600. En una prueba Z unilateral, el valor crítico es 1,6449.

Historia

Karl Pearson introdujo la prueba de chi cuadrado en 1900. William Sealy Gosset, que publicaba con el seudónimo «Student», desarrolló la distribución t en 1908 para trabajar con muestras pequeñas en la cervecería Guinness. Ronald Fisher formalizó el contraste de significación y los valores críticos en la década de 1920 en su libro Statistical Methods for Research Workers. Antes de los ordenadores, los investigadores consultaban los valores críticos en tablas impresas; hoy las calculadoras y el software los calculan directamente a partir de las fórmulas de las distribuciones.

Referencias

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.1: Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabla normal estándar del NIST — valores críticos ±1,282, ±1,645, ±1,960, ±2,326, ±2,576.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.2: Critical Values of the Student's t Distribution. Tabla de la distribución t del NIST — gl 10: 1,812 y 2,228; gl 19: 2,861 con 0,995; gl 30: 1,697 y 2,042.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.4: Critical Values of the Chi-Square Distribution. Tabla de chi cuadrado del NIST — gl 4: 0,484 y 11,143; gl 9: 2,700 y 19,023.
4. MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews. Karl Pearson. Biografía de Karl Pearson — la prueba de chi cuadrado de significación estadística (1900).
5. MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews. William Gosset. Biografía de William Gosset — escribía con el seudónimo "Student"; inventó la prueba t para trabajar con muestras pequeñas en el control de calidad de la elaboración de cerveza en Guinness.
6. MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews. R A Fisher. Biografía de R. A. Fisher — Statistical Methods for Research Workers (1925).