Calculadora de Valor Crítico | Prueba Z, Prueba t, Chi-Cuadrado

Un valor crítico es el punto de corte en una distribución de probabilidad que marca el límite de la «región de rechazo» en una prueba de hipótesis. Si un estadístico de prueba cae más allá del valor crítico, el resultado se considera estadísticamente significativo y se rechaza la hipótesis nula. Esta calculadora encuentra valores críticos para las tres pruebas más comunes: la prueba Z, la prueba t y la prueba de chi-cuadrado.

¿Qué es un valor crítico?

En estadística, los investigadores suelen comenzar con una hipótesis nula, una suposición sencilla de que no ocurre nada inusual (por ejemplo, que un medicamento nuevo no tiene efecto). Se calcula un estadístico de prueba a partir de los datos de una muestra y se compara con un valor crítico para decidir si los datos proporcionan evidencia suficiente contra la hipótesis nula.

El valor crítico depende de tres factores: la prueba elegida, el nivel de significación (escrito como α, la letra griega alfa) y si la prueba es unilateral o bilateral. El nivel de significación es la probabilidad de rechazar por error una hipótesis nula verdadera. A menudo se establece en 0,05 (5 %) o 0,01 (1 %).

Una prueba unilateral busca un efecto en una sola dirección, como «mayor que». Tiene un valor crítico. Una prueba bilateral busca un efecto en cualquiera de las dos direcciones y tiene dos valores críticos, uno a cada lado de la distribución.

Cómo calcular un valor crítico

1. Elija la prueba: prueba Z (muestras grandes o varianza poblacional conocida), prueba t (muestras pequeñas con varianza desconocida) o prueba de chi-cuadrado (datos categóricos o bondad de ajuste).
2. Elija el tipo de cola: unilateral o bilateral.
3. Seleccione el nivel de significación α, un número entre 0 y 1. Las opciones habituales son 0,10, 0,05 y 0,01.
4. Para una prueba t o de chi-cuadrado, introduzca los grados de libertad (df). En una prueba t, df equivale al tamaño de la muestra menos 1. En una prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, df equivale al número de categorías menos 1.
5. Busque (o calcule) el valor que delimita el área de cola elegida bajo la curva de distribución. Ese es el valor crítico.

Fórmulas de los valores críticos

Cada fórmula utiliza la inversa de una función de distribución acumulada: el valor de x para el que el área bajo la curva hasta x es igual a una probabilidad objetivo p.

Fórmula de la prueba Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilateral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilateral)}$

Φ⁻¹ es la inversa de la función de distribución acumulada normal estándar.

Fórmula de la prueba t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilateral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilateral)}$

t⁻¹(p, df) es la inversa de la función de distribución acumulada de la distribución t con df grados de libertad.

Fórmula de la prueba de chi-cuadrado

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilateral)}$ $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilateral)}$

La distribución de chi-cuadrado solo toma valores positivos, por lo que ambos valores críticos son positivos y el inferior es menor que el superior.

Ejemplo: valor crítico de una prueba Z

Un equipo de control de calidad necesita un valor crítico para una prueba Z unilateral con α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Cualquier estadístico de prueba superior a 1,6449 se encuentra en la región de rechazo.

Ejemplo: valor crítico de una prueba t

Un investigador realiza un experimento con 20 participantes, por lo que df = 19. Necesita un valor crítico bilateral con α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Las regiones de rechazo son t < -2,8609 y t > 2,8609.

Ejemplo: valores críticos de chi-cuadrado

Un analista compara los recuentos observados y esperados en 5 categorías, por lo que df = 4. Necesita valores críticos bilaterales con α = 0,05.

$\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Un estadístico de chi-cuadrado inferior a 0,4844 o superior a 11,1433 se encontraría en la región de rechazo.

Valores críticos habituales

A medida que aumentan los grados de libertad, los valores críticos de la distribución t se aproximan a los valores correspondientes de la prueba Z, porque la distribución t se acerca a la distribución normal.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se utiliza un valor crítico?
Establece el límite para decidir si un estadístico de prueba es lo bastante extremo como para rechazar la hipótesis nula. Si el estadístico cae más allá de los valores críticos, el resultado es estadísticamente significativo al nivel de significación α elegido.

¿Cuál es la diferencia entre un valor crítico unilateral y uno bilateral?
Una prueba unilateral busca un efecto en una dirección y tiene un único valor crítico. Una prueba bilateral busca un efecto en cualquiera de las dos direcciones y tiene dos valores críticos, situados simétricamente alrededor del centro en las pruebas Z y t. Con el mismo α, un valor crítico bilateral tiene un valor absoluto mayor que uno unilateral, porque la misma probabilidad total se divide entre dos colas en lugar de una.

¿Cuándo debe utilizarse una prueba Z en lugar de una prueba t?
La prueba Z se utiliza cuando la varianza poblacional es conocida o cuando la muestra es grande, normalmente con 30 observaciones o más. La prueba t se utiliza con muestras más pequeñas cuando se desconoce la varianza poblacional. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, los valores críticos de la prueba t convergen hacia los valores críticos de la prueba Z.

¿Puede ser negativo un valor crítico?
Sí. Las distribuciones de las pruebas Z y t son simétricas alrededor de cero, por lo que una prueba bilateral tiene un valor crítico negativo y otro positivo. Los valores críticos de chi-cuadrado siempre son positivos, porque la distribución de chi-cuadrado solo está definida para valores iguales o superiores a cero.

¿Cómo afectan los grados de libertad a un valor crítico?
Los grados de libertad indican cuánta información independiente contienen los datos. Por lo general, equivalen al tamaño de la muestra menos el número de parámetros ya estimados. Un número menor de grados de libertad produce distribuciones más anchas y con colas más pesadas, así como valores críticos mayores. Un número mayor de grados de libertad hace que las distribuciones t y de chi-cuadrado se acerquen más a la distribución normal.

¿Qué valor crítico corresponde a un nivel de confianza del 95 %?
Un nivel de confianza del 95 % utiliza α = 0,05. En una prueba Z bilateral, los valores críticos son ±1,9600. En una prueba Z unilateral, el valor crítico es 1,6449.

Historia

Karl Pearson introdujo la prueba de chi-cuadrado en 1900. William Sealy Gosset, que publicaba con el seudónimo «Student», desarrolló la distribución t en 1908 para trabajar con muestras pequeñas en la cervecería Guinness. Ronald Fisher formalizó las pruebas de significación y los valores críticos en la década de 1920, en su libro Statistical Methods for Research Workers. Antes de la aparición de los ordenadores, los investigadores consultaban valores críticos en tablas impresas; actualmente, las calculadoras y los programas informáticos los calculan directamente a partir de las fórmulas de las distribuciones.

Referencias

1. Pearson, K. (1900). «On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, serie 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). «The probable error of a mean». Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edimburgo: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, «Critical Values».