Calculadora de Puntuación Z - Herramienta de Puntuación Estándar y Probabilidad

¿Qué es una puntuación z?

Una puntuación z, también llamada puntuación estándar, mide cuántas desviaciones estándar separan un dato de la media de un conjunto de datos. Una puntuación z de 0 significa que el valor es igual a la media. Una puntuación z positiva significa que el valor está por encima de la media, mientras que una puntuación z negativa indica que está por debajo.

Fórmula de la puntuación z

La puntuación z de un dato se calcula con esta fórmula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Donde:

• $z$ es la puntuación z
• $x$ es el dato
• $\mu$ es la media del conjunto de datos
• $\sigma$ es la desviación estándar del conjunto de datos

La desviación estándar no puede ser cero, porque dividir entre cero no produce un resultado definido. Tampoco puede ser negativa, ya que, por definición, una desviación estándar siempre es cero o positiva.

Cómo calcular una puntuación z

1. Calcular la media del conjunto de datos sumando todos los valores y dividiendo el resultado entre el número de valores, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Calcular la desviación estándar. Primero se calcula la varianza, que es la media de las diferencias al cuadrado respecto de la media, y después se obtiene su raíz cuadrada.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Esta es la desviación estándar poblacional, que divide entre $n$. Cuando los números son una muestra tomada de un grupo mayor, se divide entre $n - 1$.

3. Restar la media al dato y dividir el resultado entre la desviación estándar.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Ejemplo resuelto

Un estudiante obtiene 85 puntos en una prueba. La media de la clase es 75 y la desviación estándar de las calificaciones de la clase es 10.

• Dato: $x = 85$
• Media: $\mu = 75$
• Desviación estándar: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

La puntuación z del estudiante es 1,0. Su calificación está una desviación estándar por encima de la media de la clase.

Puntuación z y probabilidad acumulada

Una puntuación z puede convertirse en una probabilidad acumulada, es decir, la probabilidad de que un valor elegido al azar de una distribución normal sea igual o menor que ese punto. Esta probabilidad corresponde al área bajo la curva normal estándar situada a la izquierda de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Para la puntuación z del estudiante, que es 1,0, la probabilidad acumulada es aproximadamente 0,8413, o 84,13 %. Esto significa que el estudiante obtuvo una calificación superior a la de aproximadamente el 84 % de la clase, suponiendo que las calificaciones siguen una distribución normal. La calculadora muestra la puntuación z con cuatro decimales y la probabilidad acumulada como un porcentaje con dos decimales.

Algunos valores de referencia:

Interpretación de una puntuación z

La mayoría de los valores de una distribución normal se encuentran dentro de 2 desviaciones estándar de la media. Las puntuaciones z superiores a +3 o inferiores a -3 son poco frecuentes y a menudo se consideran valores atípicos, es decir, valores que difieren notablemente del resto de los datos.

Las puntuaciones z también permiten comparar valores medidos en escalas diferentes. Una calificación de una prueba y una medida de altura no se pueden comparar directamente, pero sí se pueden comparar sus puntuaciones z, porque ambas describen la distancia respecto de una media en las mismas unidades de desviación estándar.

Puntuación z frente a puntuación t

Una puntuación z supone que se conoce la desviación estándar de la población y funciona mejor con muestras grandes. En cambio, se utiliza una puntuación t cuando se desconoce la desviación estándar de la población y la muestra es pequeña, normalmente de menos de 30 observaciones. Ambas describen la distancia respecto de una media, pero la puntuación t procede de la distribución t, que tiene colas más pesadas para reflejar la incertidumbre adicional de una muestra pequeña.

Usos habituales de las puntuaciones z

• Pruebas estandarizadas. Comparar la puntuación bruta de un estudiante con la distribución general de las calificaciones.
• Detección de valores atípicos. Identificar datos que están muy alejados de la media de un conjunto.
• Control de calidad. Comprobar si un artículo fabricado se encuentra dentro de un intervalo aceptable.
• Contraste de hipótesis. Las pruebas z utilizan puntuaciones z para evaluar si la media de una muestra difiere de forma significativa de una media poblacional conocida.

Historia

La puntuación z se basa en la distribución normal, descrita por Abraham de Moivre en 1733 y desarrollada posteriormente por Carl Friedrich Gauss y Pierre-Simon Laplace a comienzos del siglo 19. La práctica de estandarizar los valores en unidades de desviación estándar se hizo habitual en las pruebas psicológicas y el control de calidad durante el siglo 20.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una puntuación z en estadística?
Una puntuación z es el número de desviaciones estándar que separa un dato de la media de su conjunto de datos. Se obtiene con la fórmula z = (x − μ) / σ.

¿Cómo se interpreta el resultado de una puntuación z?
Una puntuación z de 0 significa que el valor es igual a la media. Un valor positivo está por encima de la media y uno negativo está por debajo. Los valores superiores a +3 o inferiores a -3 son poco habituales.

¿Puede una puntuación z ser negativa?
Sí. Una puntuación z negativa simplemente significa que el dato está por debajo de la media. Una puntuación z de -2 significa que el valor está 2 desviaciones estándar por debajo de la media.

¿Cuál es la diferencia entre una puntuación z y una puntuación t?
La puntuación z se utiliza con muestras grandes cuando se conoce la desviación estándar de la población. La puntuación t se utiliza con muestras pequeñas, generalmente de menos de 30 observaciones, cuando dicha desviación no se conoce.

¿Qué significa la probabilidad acumulada para una puntuación z?
Es la probabilidad de que un valor seleccionado al azar de una distribución normal sea menor o igual que la puntuación z indicada. Equivale al área bajo la curva normal situada a la izquierda de ese punto.

¿Qué ocurre si la desviación estándar es cero?
La puntuación z no está definida, porque la fórmula exigiría dividir entre cero. Una desviación estándar de cero significa que todos los valores del conjunto de datos son idénticos.

Referencias

1. Puntuación estándar, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Distribución normal y puntuaciones z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review