Calculadora de Puntuación Z - Herramienta de Puntuación Estándar y Probabilidad

¿Qué es una puntuación z?

Una puntuación z, también llamada puntuación estándar, mide a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra un dato de un conjunto de datos. Una puntuación z de 0 significa que el valor es igual a la media. Una puntuación z positiva significa que el valor está por encima de la media, y una negativa, que está por debajo.

Fórmula de la puntuación z

La puntuación z de un dato se calcula con esta fórmula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Donde:

• $z$ es la puntuación z
• $x$ es el dato
• $\mu$ es la media del conjunto de datos
• $\sigma$ es la desviación estándar del conjunto de datos

La desviación estándar no puede ser cero, porque la división entre cero no tiene un resultado definido. Tampoco puede ser negativa, ya que por definición una desviación estándar es siempre cero o positiva.

Cómo calcular una puntuación z

1. Hallar la media del conjunto de datos sumando todos los valores y dividiendo entre el número de valores, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Hallar la desviación estándar. Primero se calcula la varianza, que es el promedio de las diferencias al cuadrado respecto de la media, y luego se extrae su raíz cuadrada.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. Restar la media al dato y dividir entre la desviación estándar.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Ejemplo resuelto

Un estudiante obtiene 85 puntos en un examen. La media de la clase es 75 y la desviación estándar de las notas de la clase es 10.

• Dato: $x = 85$
• Media: $\mu = 75$
• Desviación estándar: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

La puntuación z del estudiante es 1,0. Su nota está una desviación estándar por encima del promedio de la clase.

Puntuación z y probabilidad acumulada

Una puntuación z puede convertirse en una probabilidad acumulada, es decir, la probabilidad de que un valor elegido al azar de una distribución normal sea menor o igual que ese punto. Es el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Para la puntuación z del estudiante, de 1,0, la probabilidad acumulada es de unos 0,8413, es decir, 84,1 %. La calculadora muestra la puntuación z con cuatro decimales y la probabilidad como porcentaje con dos decimales, así que este ejemplo muestra 1,0000 y 84,13 %. Esto significa que el estudiante obtuvo una nota mejor que aproximadamente el 84 % de la clase, suponiendo que las notas siguen una distribución normal.

Algunos puntos de referencia:

Cómo interpretar una puntuación z

En una distribución normal, alrededor del 95 % de los valores se sitúa a menos de 2 desviaciones estándar de la media, y alrededor del 99,7 %, a menos de 3. Esto se conoce como regla empírica o regla 68-95-99,7. Por eso, las puntuaciones z superiores a +3 o inferiores a -3 son raras y a menudo se revisan como posibles valores atípicos, es decir, valores que difieren mucho del resto de los datos.

Las puntuaciones z también permiten comparar valores medidos en escalas distintas. Una nota de examen y una medida de estatura no se pueden comparar directamente, pero sus puntuaciones z sí, porque ambas describen la distancia a una media en las mismas unidades de desviación estándar.

Puntuación z frente a puntuación t

Una puntuación z usa la desviación estándar poblacional, por lo que supone que ese valor se conoce. La puntuación t se usa cuando se desconoce la desviación estándar poblacional y en su lugar se emplea la desviación estándar muestral. Una regla práctica antigua aplicaba la distribución t solo a muestras de 30 elementos o menos, pero la práctica actual es usarla siempre que la desviación estándar muestral estime el valor poblacional. La distribución t tiene colas más pesadas que la curva normal, lo que refleja la incertidumbre adicional.

Usos habituales de las puntuaciones z

• Pruebas estandarizadas. Comparar la nota bruta de un estudiante con la distribución general de las notas.
• Detección de valores atípicos. Señalar los datos que están lejos de la media en un conjunto de datos.
• Control de calidad. Comprobar si un artículo fabricado se encuentra dentro de un intervalo aceptable.
• Contraste de hipótesis. Las pruebas z usan puntuaciones z para juzgar si la media de una muestra difiere de forma significativa de una media poblacional conocida.

Historia

La puntuación z se basa en la distribución normal. Abraham de Moivre dedujo la curva normal en 1733 como una aproximación a la distribución binomial. Carl Friedrich Gauss y Pierre-Simon Laplace la desarrollaron más.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una puntuación z en estadística? Una puntuación z es el número de desviaciones estándar a las que se encuentra un dato de la media de su conjunto de datos. Se obtiene con la fórmula z = (x − μ) / σ.

¿Cómo se interpreta el resultado de una puntuación z? Una puntuación z de 0 significa que el valor es igual a la media. Un valor positivo está por encima de la media y uno negativo, por debajo. Los valores superiores a +3 o inferiores a -3 son poco habituales.

¿Puede una puntuación z ser negativa? Sí. Una puntuación z negativa solo significa que el dato está por debajo de la media. Una puntuación z de -2 significa que el valor está 2 desviaciones estándar por debajo de la media.

¿Cuál es la diferencia entre una puntuación z y una puntuación t? La puntuación z se usa cuando se conoce la desviación estándar poblacional. La puntuación t se usa cuando no se conoce y en su lugar se emplea la desviación estándar muestral, sea cual sea el tamaño de la muestra.

¿Qué significa la probabilidad acumulada de una puntuación z? Es la probabilidad de que un valor elegido al azar de una distribución normal sea menor o igual que la puntuación z dada. Equivale al área bajo la curva normal a la izquierda de ese punto.

¿Qué ocurre si la desviación estándar es cero? La puntuación z queda indefinida, porque la fórmula exigiría dividir entre cero. Una desviación estándar de cero significa que todos los valores del conjunto de datos son idénticos.

Referencias

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. La distribución normal estándar — la fórmula de la puntuación z, z = (x − μ)/σ, y la regla empírica 68-95-99,7.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabla de la normal estándar — área bajo la curva normal de 0 a z (0,34134 para z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. Distribución t de Student — cuándo usar t en lugar de z, y sus colas más pesadas.
4. MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews. Abraham de Moivre. Biografía de Abraham de Moivre — la deducción de la curva normal por de Moivre en 1733.