Calculadora de Distribución de Poisson - Calcular Probabilidades de Eventos

¿Qué es una calculadora de distribución de Poisson?

Una calculadora de distribución de Poisson halla la probabilidad de que ocurra un cierto número de sucesos en un periodo de tiempo o un espacio fijos, dado el promedio con que ocurren. Se usa cuando los sucesos ocurren de uno en uno, de forma independiente entre sí y a una tasa media constante. Algunos ejemplos típicos son el número de llamadas que recibe un centro de atención telefónica en una hora o el número de erratas de una página.

Fórmula de la distribución de Poisson

La distribución de Poisson da la probabilidad de que ocurran exactamente k sucesos cuando el número medio de sucesos en el intervalo es λ (la letra griega lambda). Su función de masa de probabilidad es:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Cada símbolo significa:

• λ (lambda): el número medio de sucesos por intervalo. Es el único dato que necesita la distribución.
• k: el número exacto de sucesos cuya probabilidad se calcula. Debe ser un número entero, 0 o mayor.
• e: el número de Euler, una constante fija igual a aproximadamente 2,71828.
• k!: «k factorial», el producto de todos los números enteros desde 1 hasta k. Por ejemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Por convención, 0! = 1.

La fórmula solo necesita λ y k. No necesita un número total de ensayos, a diferencia de la distribución binomial.

Cómo calcular una probabilidad de Poisson

1. Elija λ, el número medio de sucesos en el intervalo que se estudia.
2. Elija k, el número exacto de sucesos cuya probabilidad se quiere hallar.
3. Eleve e a la potencia de −λ: esto da e^(−λ).
4. Eleve λ a la potencia k: esto da λ^k.
5. Halle k!, el factorial de k.
6. Multiplique los resultados de los pasos 3 y 4 y divida el producto entre el resultado del paso 5.

El número que se obtiene es una probabilidad entre 0 y 1. Multiplíquelo por 100 para expresarlo como porcentaje.

Ejemplo práctico

Un centro de atención telefónica recibe un promedio de 5 llamadas por hora (λ = 5). ¿Cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 3 llamadas en una hora determinada (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplique: 0,00673795 × 125 ≈ 0,842244
5. Divida entre 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

La probabilidad de que haya exactamente 3 llamadas en esa hora es de aproximadamente 0,140, o 14 %.

Más ejemplos.

Dónde se usa la distribución de Poisson

La distribución de Poisson modela recuentos de sucesos raros e independientes. Entre sus usos habituales están:

• Centros de llamadas y atención al cliente: predecir cuántas llamadas o chats llegan por hora.
• Fabricación: estimar el número de defectos en un lote de productos.
• Seguros: estimar cuántas reclamaciones llegarán en un periodo determinado.
• Biología y medicina: modelar el número de mutaciones o la propagación de enfermedades raras.
• Física: describir la desintegración radiactiva, en la que cada átomo se desintegra de forma independiente a una tasa media constante.
• Ingeniería de tráfico y de redes: estimar las llegadas de vehículos a una intersección o las solicitudes que llegan a un servidor.

Condiciones para usar la distribución de Poisson

La distribución de Poisson solo se ajusta a una situación cuando se cumplen todas estas condiciones:

• Los sucesos ocurren de uno en uno; dos sucesos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.
• Los sucesos ocurren de forma independiente: un suceso no hace más ni menos probable el siguiente.
• La tasa media, λ, se mantiene constante a lo largo del intervalo que se estudia.

Si la tasa cambia con el tiempo o los sucesos tienden a agruparse, la distribución de Poisson simple no describirá bien los datos.

La distribución de Poisson frente a otras distribuciones relacionadas

• Distribución binomial: se usa cuando hay un número fijo de ensayos y una probabilidad de éxito conocida en cada uno, como lanzar una moneda 20 veces. La distribución de Poisson se ajusta al caso en que la probabilidad del suceso en cada ensayo es muy pequeña, pero el número de ensayos es muy grande. El producto del número de ensayos por la probabilidad de cada ensayo hace entonces el papel de λ.
• Distribución normal: cuando λ es grande, la distribución de Poisson se parece mucho a una distribución normal en forma de campana, con media λ y varianza λ.
• Distribución exponencial: mientras que la distribución de Poisson cuenta cuántos sucesos ocurren en un intervalo fijo, la distribución exponencial describe el tiempo de espera entre esos sucesos.

Una nota sobre la historia

El matemático francés Siméon Denis Poisson presentó la distribución en 1837, en un libro sobre la probabilidad aplicada a los veredictos de los tribunales. La obra tuvo poca acogida en su momento. En 1898, Ladislaus Bortkiewicz publicó La ley de los pequeños números. Demostró que los sucesos raros en una población grande siguen una distribución de Poisson, usando el número de soldados prusianos muertos cada año por coces de caballo.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa lambda (λ) en una distribución de Poisson? Lambda es el número medio de sucesos que se esperan en el intervalo que se estudia. También es la varianza de la distribución, ya que la desviación estándar es √λ, de modo que una λ mayor significa tanto un recuento medio más alto como una mayor dispersión de los resultados posibles.

¿Pueden k o λ ser negativas o fraccionarias? λ debe ser mayor que 0, pero puede ser un decimal, como 2,5 sucesos por hora. k debe ser un número entero de 0 o más, ya que cuenta sucesos reales; no puede ser negativa ni fraccionaria. La calculadora también limita λ a 700 y k a 1.000 para mantener estables los resultados numéricos.

¿En qué se diferencia la distribución de Poisson de la distribución binomial? La distribución binomial necesita un número fijo de ensayos y una probabilidad de éxito fija por ensayo. La distribución de Poisson solo necesita una tasa media y sirve para sucesos que, en principio, podrían ocurrir cualquier número de veces.

¿Cuándo debe usarse en su lugar la distribución normal? Cuando λ es grande, una distribución normal con la misma media y varianza aproxima muy bien la distribución de Poisson y suele ser más fácil de manejar a mano.

¿Por qué la calculadora a veces muestra un número en notación científica? Cuando la probabilidad es menor que 0,0001, la calculadora pasa a la notación científica con seis decimales (por ejemplo, 1.000000e-7). Los resultados mayores se muestran con seis decimales. Una presentación fija de seis decimales mostraría los resultados diminutos como 0,000000 y ocultaría lo pequeños que son.

¿Admite la distribución de Poisson más de un suceso a la vez? No. El modelo supone que los sucesos ocurren de uno en uno. Si dos sucesos ocurren juntos con regularidad, se ajusta mejor otra distribución.

Referencias

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution. NIST: distribución de Poisson — función de masa de probabilidad, media λ y desviación estándar √λ.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Siméon-Denis Poisson. MacTutor: Poisson — la distribución aparece por primera vez en la obra de 1837 titulada Recherches; probabilidad pequeña, gran número de ensayos; poca acogida en su momento.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Ladislaus Bortkiewicz. MacTutor: Bortkiewicz — The Law of Small Numbers (1898) y los datos de las coces de caballo en el ejército prusiano.