Calculadora de Distribución de Poisson - Calcular Probabilidades de Eventos

¿Qué es una calculadora de distribución de Poisson?

Una calculadora de distribución de Poisson determina la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un periodo de tiempo o espacio fijo, dado el promedio con el que ocurren. Se utiliza cuando los eventos suceden uno a la vez, de forma independiente entre sí y a una tasa media constante. Algunos ejemplos habituales son el número de llamadas que recibe un centro de atención telefónica en una hora o el número de errores tipográficos de una página.

Fórmula de la distribución de Poisson

La distribución de Poisson proporciona la probabilidad de que ocurran exactamente k eventos cuando la tasa media es λ, la letra griega lambda:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Cada símbolo significa lo siguiente:

• λ (lambda): número medio de eventos por intervalo. Es el único parámetro de la distribución.
• k: número exacto de eventos cuya probabilidad se calcula. Debe ser un número entero igual o mayor que 0.
• e: número de Euler, una constante fija igual aproximadamente a 2,71828.
• k factorial: producto de todos los números enteros desde 1 hasta k. Por ejemplo, el factorial de 4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Por convención, el factorial de 0 = 1.

La fórmula solo necesita λ y k. A diferencia de la distribución binomial, no necesita un número total de ensayos.

Cómo calcular una probabilidad de Poisson

1. Elegir λ, el número medio de eventos en el intervalo estudiado.
2. Elegir k, el número exacto de eventos cuya probabilidad se desea calcular.
3. Elevar e a la potencia de −λ: esto da e^(−λ).
4. Elevar λ a la potencia de k: esto da λ^k.
5. Calcular el factorial de k.
6. Multiplicar los resultados de los pasos 3 y 4 y dividirlos por el resultado del paso 5.

El número obtenido es una probabilidad entre 0 y 1. Para expresarla como porcentaje, se multiplica por 100.

Ejemplo resuelto

Un centro de atención telefónica recibe un promedio de 5 llamadas por hora (λ = 5). ¿Cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 3 llamadas en una hora determinada (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. Factorial de 3 = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplicar: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Dividir entre 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

La probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en esa hora es aproximadamente 0,140, es decir, 14 %.

Más ejemplos

Dónde se utiliza la distribución de Poisson

La distribución de Poisson modela recuentos de eventos raros e independientes. Entre sus usos habituales se incluyen los siguientes:

• Centros de atención telefónica y servicio al cliente: predecir cuántas llamadas o conversaciones llegan por hora.
• Fabricación: estimar el número de defectos de un lote de productos.
• Seguros: estimar cuántas reclamaciones llegarán en un periodo determinado.
• Biología y medicina: modelar el número de mutaciones o la propagación de enfermedades raras.
• Física: describir la desintegración radiactiva, en la que cada átomo se desintegra de forma independiente a una tasa media constante.
• Tráfico e ingeniería de redes: estimar la llegada de vehículos a una intersección o el número de solicitudes que recibe un servidor.

Condiciones para utilizar la distribución de Poisson

La distribución de Poisson solo se ajusta a una situación cuando se cumplen todas estas condiciones:

• Los eventos ocurren uno a la vez; dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.
• Los eventos ocurren de forma independiente: un evento no hace que el siguiente sea más o menos probable.
• La tasa media, λ, permanece constante durante el intervalo estudiado.

Si la tasa cambia con el tiempo o los eventos tienden a agruparse, la distribución de Poisson simple no describirá bien los datos.

Poisson frente a distribuciones relacionadas

• Distribución binomial: se utiliza cuando hay un número fijo de ensayos y una probabilidad conocida de éxito en cada uno, como lanzar una moneda 20 veces. La distribución de Poisson es en lo que se convierte la distribución binomial cuando el número de ensayos crece mucho y la probabilidad de éxito por ensayo disminuye hacia cero, mientras su producto permanece alrededor de λ.
• Distribución normal: para valores grandes de λ, aproximadamente por encima de 20, la distribución de Poisson se parece a una distribución normal con forma de campana, media λ y varianza λ.
• Distribución exponencial: mientras que la distribución de Poisson cuenta cuántos eventos ocurren en un intervalo fijo, la distribución exponencial describe el tiempo de espera entre esos eventos.

Nota histórica

El matemático francés Siméon Denis Poisson presentó la distribución en 1837, en un libro sobre la probabilidad aplicada a veredictos judiciales. Al principio recibió poca atención. Su uso aumentó a comienzos del siglo XX, después de que estadísticos como Ladislaus Bortkiewicz y Ronald Fisher la aplicaran a datos reales de recuento, incluido un estudio famoso sobre soldados prusianos muertos por coces de caballos.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa lambda (λ) en una distribución de Poisson?

Lambda es el número medio de eventos que se espera que ocurran en el intervalo estudiado. También es la varianza de la distribución, por lo que un λ mayor implica tanto un recuento medio más alto como una mayor dispersión de los posibles resultados.

¿Pueden k o λ ser negativos o fraccionarios?

λ debe ser mayor que 0, pero puede ser un número decimal, como 2,5 eventos por hora. k debe ser un número entero igual o mayor que 0, ya que cuenta eventos reales; no puede ser negativo ni fraccionario.

¿En qué se diferencia la distribución de Poisson de la distribución binomial?

La distribución binomial necesita un número fijo de ensayos y una probabilidad fija de éxito por ensayo. La distribución de Poisson solo necesita una tasa media y funciona con eventos que, en principio, podrían ocurrir cualquier número de veces.

¿Cuándo debe utilizarse la distribución normal en su lugar?

Para valores grandes de λ, por lo general por encima de aproximadamente 20, una distribución normal con la misma media y varianza se aproxima mucho a la distribución de Poisson y suele ser más fácil de calcular manualmente.

¿Por qué la calculadora muestra a veces un número en notación científica?

Normalmente, los resultados se muestran con seis decimales. Cuando una probabilidad es menor que 0,0001, mostrar seis decimales la redondearía a 0,000000 y ocultaría lo pequeña que es realmente, por lo que la calculadora cambia a la notación científica. Para λ = 20 y k = 1, muestra 4,122307e-8, que significa 0,00000004122307.

¿Hay límites para los valores que acepta la calculadora?

Sí. λ debe ser mayor que 0 y no superar 700, y k debe ser un número entero entre 0 y 1000. Fuera de esos límites, la calculadora muestra un error. Estos límites mantienen el resultado dentro del intervalo de números que puede almacenar un ordenador y conservan el gráfico en un número de barras que se pueda leer.

¿La distribución de Poisson permite más de un evento a la vez?

No. El modelo supone que los eventos ocurren uno a la vez. Si dos eventos suelen ocurrir juntos, otra distribución se ajustará mejor a los datos.

Referencias

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. París, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Nueva York: John Wiley & Sons, 1967.
3. «Poisson Distribution». NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sección 1.3.6.6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp y Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.