Calculadora de Distribución de Laplace

Introducción

La distribución de Laplace, también conocida como la distribución doble exponencial, es una distribución de probabilidad continua nombrada en honor a Pierre-Simon Laplace. Es simétrica alrededor de su media (parámetro de ubicación) y tiene colas más pesadas en comparación con la distribución normal. Esta calculadora te permite calcular la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución de Laplace para parámetros dados y visualizar su forma.

Cómo Usar Esta Calculadora

1. Ingresa el parámetro de ubicación (μ), que representa la media de la distribución.
2. Ingresa el parámetro de escala (b), que determina la dispersión de la distribución (b > 0).
3. La calculadora mostrará el valor de la función de densidad de probabilidad (PDF) en x = 0 y mostrará un gráfico de la distribución.

Nota: El parámetro de escala debe ser estrictamente positivo (b > 0).

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución de Laplace se da por:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Donde:

• x es la variable
• μ (mu) es el parámetro de ubicación
• b es el parámetro de escala (b > 0)

Cálculo

La calculadora utiliza esta fórmula para calcular el valor de PDF en x = 0 basado en la entrada del usuario. Aquí hay una explicación paso a paso:

1. Validar entradas: Asegurarse de que el parámetro de escala b sea positivo.
2. Calcular |x - μ|: En este caso, es simplemente |0 - μ| = |μ|.
3. Calcular el término exponencial: $\exp(-|μ| / b)$
4. Calcular el resultado final: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Casos límite a considerar:

• Si b ≤ 0, mostrar un mensaje de error.
• Para |μ| muy grandes o b muy pequeños, el resultado puede estar extremadamente cerca de cero.
• Para μ = 0, la PDF alcanzará su valor máximo de 1/(2b) en x = 0.

Casos de Uso

La distribución de Laplace tiene diversas aplicaciones en diferentes campos:

1. Procesamiento de Señales: Utilizada en la modelización y análisis de señales de audio e imagen.

2. Finanzas: Aplicada en la modelización de retornos financieros y evaluación de riesgos.

3. Aprendizaje Automático: Utilizada en el mecanismo de Laplace para la privacidad diferencial y en algunos modelos de inferencia bayesiana.

4. Procesamiento de Lenguaje Natural: Aplicada en modelos de lenguaje y tareas de clasificación de texto.

5. Geología: Utilizada en la modelización de la distribución de magnitudes de terremotos (ley de Gutenberg-Richter).

Alternativas

Si bien la distribución de Laplace es útil en muchos escenarios, hay otras distribuciones de probabilidad que podrían ser más apropiadas en ciertas situaciones:

1. Distribución Normal (Gaussiana): Más comúnmente utilizada para modelar fenómenos naturales y errores de medición.

2. Distribución de Cauchy: Tiene colas aún más pesadas que la distribución de Laplace, útil para modelar datos propensos a outliers.

3. Distribución Exponencial: Utilizada para modelar el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson.

4. Distribución t de Student: A menudo utilizada en pruebas de hipótesis y modelización de retornos financieros.

5. Distribución Logística: Similar en forma a la distribución normal pero con colas más pesadas.

Historia

La distribución de Laplace fue introducida por Pierre-Simon Laplace en su memoria de 1774 "Sobre la Probabilidad de las Causas de los Eventos". Sin embargo, la distribución ganó más prominencia a principios del siglo XX con el desarrollo de la estadística matemática.

Hitos clave en la historia de la distribución de Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace introduce la distribución en su trabajo sobre teoría de probabilidades.
2. Década de 1930: La distribución es redescubierta y aplicada en varios campos, incluyendo economía e ingeniería.
3. Década de 1960: La distribución de Laplace gana importancia en la estadística robusta como una alternativa a la distribución normal.
4. 1990-presente: Uso incrementado en aprendizaje automático, procesamiento de señales y modelización financiera.

Ejemplos

Aquí hay algunos ejemplos de código para calcular la PDF de la distribución de Laplace:

1' Función VBA de Excel para la PDF de la Distribución de Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Uso:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("El parámetro de escala debe ser positivo")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Ejemplo de uso:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Valor de PDF en x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("El parámetro de escala debe ser positivo");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Ejemplo de uso:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Valor de PDF en x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("El parámetro de escala debe ser positivo");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Valor de PDF en x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Estos ejemplos demuestran cómo calcular la PDF de la distribución de Laplace para parámetros dados. Puedes adaptar estas funciones a tus necesidades específicas o integrarlas en sistemas de análisis estadístico más grandes.

Ejemplos Numéricos

1. Distribución de Laplace Estándar:

   • Ubicación (μ) = 0
   • Escala (b) = 1
   • PDF en x = 0: 0.500000

2. Distribución de Laplace Desplazada:

   • Ubicación (μ) = 2
   • Escala (b) = 1
   • PDF en x = 0: 0.183940

3. Distribución de Laplace Escalada:

   • Ubicación (μ) = 0
   • Escala (b) = 3
   • PDF en x = 0: 0.166667

4. Distribución de Laplace Desplazada y Escalada:

   • Ubicación (μ) = -1
   • Escala (b) = 0.5
   • PDF en x = 0: 0.367879

Referencias

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). La Distribución de Laplace y Generalizaciones. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). Los Promedios Principales y las Leyes de Error que Conducen a Ellos. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). El Mecanismo de Laplace en Privacidad Diferencial. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentos del Análisis de Ruido y Vibración para Ingenieros. Cambridge University Press.
5. "Distribución de Laplace." Wikipedia, Fundación Wikimedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Laplace. Accedido el 2 de agosto de 2024.