Calculadora de Distribución de Laplace - Herramienta Gratuita de PDF y Visualización

¿Qué es la distribución de Laplace?

La distribución de Laplace, también llamada distribución doble exponencial, es una distribución de probabilidad continua cuya forma recuerda a dos curvas exponenciales adosadas por el extremo en su punto máximo. Es simétrica alrededor de un valor central y tiene colas más pesadas que la distribución normal, por lo que asigna más probabilidad a los valores extremos. La calculadora de la distribución de Laplace de esta página encuentra la densidad de probabilidad máxima de la distribución a partir de un parámetro de localización y un parámetro de escala, y dibuja la curva de densidad completa.

La distribución recibe el nombre de Pierre-Simon Laplace, el matemático francés que la describió por primera vez en 1774 como una ley de errores.

Fórmula de la distribución de Laplace

La función de densidad de probabilidad (FDP) de la distribución de Laplace es:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x es cualquier punto de la recta numérica.
• μ (mu), el parámetro de localización, es el centro de la distribución. También es la media y la mediana.
• b, el parámetro de escala, controla cuán dispersa es la distribución. Debe ser mayor que 0. La calculadora acepta valores de b superiores a 0,0001.
• |x − μ| es la distancia entre x y el centro, sin tener en cuenta la dirección.

La curva alcanza su punto máximo exactamente en x = μ. En ese punto, la fórmula se simplifica, porque |μ − μ| = 0 y exp(0) = 1, por lo que queda:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Este valor máximo, 1/(2b), es el número que muestra la calculadora.

Cómo usar la calculadora de la distribución de Laplace

1. Introduzca el parámetro de localización (μ). Esto establece dónde se centra la distribución.
2. Introduzca el parámetro de escala (b). Debe ser mayor que 0,0001; cuanto mayor es el valor, más plana y dispersa resulta la curva.
3. La calculadora muestra la densidad máxima, 1/(2b), y traza la curva de densidad f(x) en un intervalo alrededor de μ.

La calculadora no acepta un valor de x independiente. Siempre muestra la densidad en el punto máximo de la propia distribución, x = μ, porque es el valor de resumen más útil para comparar distribuciones con distintas escalas. Para encontrar la densidad en otro punto, use la fórmula anterior con el valor de x que le interese o lea la altura en el gráfico.

Ejemplo práctico

Tome un parámetro de ubicación de μ = 4 y un parámetro de escala de b = 2.

1. Compruebe que b supera el mínimo de la calculadora: 2 > 0,0001, por lo que los datos son válidos.
2. El máximo se produce en x = μ = 4, donde |x − μ| = 0.
3. Calcule la densidad máxima: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

La calculadora muestra 0,250000. La curva representada alcanza su máximo en (4, 0,25) y desciende simétricamente a ambos lados, extendiéndose desde μ − 4b hasta μ + 4b; es decir, desde −4 hasta 12 en este caso.

Como la fórmula de la densidad máxima, 1/(2b), no incluye μ, cambiar la localización solo desplaza la curva hacia la izquierda o hacia la derecha. No cambia su altura. Solo el parámetro de escala cambia la altura.

Más ejemplos.

Media, varianza y desviación estándar

Para una distribución de Laplace con parámetro de localización μ y escala b, el manual del NIST indica que la media, la mediana y la moda son μ, y que la desviación estándar es √2 veces la escala; la varianza es el cuadrado de la desviación estándar:

• Media = μ
• Mediana = μ
• Varianza = 2b²
• Desviación estándar = b√2

Distribución de Laplace frente a distribución normal

Ambas distribuciones son simétricas y con forma de campana, y ambas quedan descritas por completo por un parámetro de centro y otro de dispersión. La diferencia está en las colas. La densidad de la distribución normal decae en proporción al cuadrado de la distancia a la media, de modo que los valores extremos se vuelven muy raros enseguida. La densidad de la distribución de Laplace decae en proporción a la distancia simple a la media, de modo que los valores extremos siguen siendo comparativamente más probables. Por eso la distribución de Laplace resulta útil siempre que los datos reales tengan más valores atípicos de los que predeciría una distribución normal.

Usos habituales

• Procesamiento de señales e imágenes: para modelar el ruido y comprimir imágenes, ya que las diferencias entre píxeles o señales suelen agruparse cerca de cero, con saltos grandes ocasionales.
• Privacidad diferencial: el mecanismo de Laplace añade ruido con distribución de Laplace a los resultados de las consultas para proteger los datos individuales sin perder la exactitud global.
• Estadística robusta y regresión: la regresión Lasso utiliza una distribución a priori con forma de Laplace, que favorece soluciones en las que muchos coeficientes son exactamente cero.
• Finanzas: para modelar los rendimientos de los activos, que tienden a tener colas más pesadas de lo que sugiere una distribución normal.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa el resultado de la calculadora?

Es el valor máximo de la función de densidad de probabilidad, igual a 1/(2b). Es la altura de la curva en su centro, x = μ.

¿Por qué la calculadora no solicita un valor de x?

La densidad máxima, 1/(2b), es la misma para cualquier valor de x igual a μ, por lo que no se necesita introducir un valor de x independiente para encontrarla. Es el número único estándar que se utiliza para comparar cuán altas y estrechas, o bajas y anchas, son dos distribuciones de Laplace. La curva completa, que muestra la densidad en cada x, está disponible en el gráfico.

¿Cómo encuentro la densidad en un punto distinto del máximo?

Use la fórmula f(x) = (1/2b) × exp(−|x − μ|/b) con el valor de x que le interese, o lea la altura directamente en la curva trazada.

¿En qué se diferencia la distribución de Laplace de la distribución exponencial?

La distribución de Laplace puede construirse a partir de dos distribuciones exponenciales. Si X e Y son variables aleatorias exponenciales independientes con la misma tasa, entonces X − Y sigue una distribución de Laplace centrada en 0.

¿Cuáles son los usos habituales de la distribución de Laplace?

Se usa en procesamiento de señales, compresión de imágenes, privacidad diferencial, estadística robusta, regresión Lasso y modelado de rendimientos financieros, siempre que los datos reales muestren más valores extremos de los que predice una distribución normal.

¿La distribución de Laplace puede tener valores negativos o solo se aplica a valores positivos?

Está definida para todos los números reales, tanto positivos como negativos, a diferencia de la distribución exponencial, que solo admite valores no negativos.

Referencias

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Double Exponential Distribution. NIST e-Handbook, distribución exponencial doble — FDP con localización μ y escala β; media, mediana y moda μ; desviación estándar √2β; rango de −∞ a ∞; también llamada distribución de Laplace.
2. Kotz, S., Kozubowski, T. J. & Podgórski, K. The Laplace Distribution and Generalizations, capítulo 1, "Historical Background" (Springer, 2001). Resumen del capítulo en RePEc — Laplace presentó esta "first law of error" en 1774.
3. National Institute of Standards and Technology. Glossary: Laplace mechanism (de NIST SP 800-226). Glosario del NIST CSRC, mecanismo de Laplace — el mecanismo de Laplace añade ruido de la distribución de Laplace a la salida de una consulta.