Kaare Kalkulaator - Arvuta Raadius, Ulatus & Tõus

Mis on kaare kalkulaator?

Kaare kalkulaator leiab ringikujulise kaare mõõtmed — raadiuse, ava ja tõusu — nende kolme väärtuse hulgast mis tahes kahe põhjal. Samuti arvutab see kaare pikkuse ja kaare pindala. Arhitektid, ehitajad ja harrastajad kasutavad seda kõverakujuliste ukseavade, akende, sildade ja aiadetailide kavandamisel.

Kaare põhimõõtmed

Ringikujuline kaar on ringi servast lõigatud osa. Selle kuju kirjeldavad viis mõõtu:

• Raadius: kaugus selle ringi keskpunktist kaare kõveral asuva mis tahes punktini.
• Ava: kaare kahe alumise otsa vaheline sirge horisontaalne kaugus, mida nimetatakse ka laiuseks.
• Tõus: vertikaalne kaugus tugijoone ehk kaare kahte otsa ühendava horisontaalse joone ja kaare kõrgeima punkti vahel.
• Kaarepikkus: kaugus mööda kaare kõverjoont ühest otsast teiseni.
• Kaare pindala: kaare ja tugijoone vahele jääva kõvera piirkonna pindala.

Kaare mõõtmete valemid

Need valemid kehtivad ringikujulise kaare puhul, mis on moodustatud ühe ringi kaarest. Need kehtivad mis tahes tõusu korral kuni kahekordse raadiuseni. See vahemik hõlmab enamikku ukse-, akna- ja sillakaari, mida tavaliselt arvutatakse, ning ka hobuserauakujulisi kaari, mille kõverus ulatub üle poolringi.

Tõusu valem (raadiuse ja ava põhjal)

$\text{Tõus} = \text{Raadius} - \sqrt{\text{Raadius}^2 - \left(\frac{\text{Ava}}{2}\right)^2}$

Kehtib juhul, kui raadius ja ava on positiivsed ning ava ≤ 2 × raadius.

Raadiuse valem (ava ja tõusu põhjal)

$\text{Raadius} = \frac{\text{Ava}^2}{8 \times \text{Tõus}} + \frac{\text{Tõus}}{2}$

Kehtib juhul, kui ava ja tõus on positiivsed.

Ava valem (raadiuse ja tõusu põhjal)

$\text{Ava} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Raadius} \times \text{Tõus} - \text{Tõus}^2}$

Kehtib juhul, kui raadius ja tõus on positiivsed ning tõus ≤ 2 × raadius.

Kaarepikkuse valem

$\text{Kaarepikkus} = \text{Raadius} \times \theta$

Siin on θ (teeta) radiaanides väljendatud kesknurk, mille moodustab kaar ringi keskpunktis. Kui tõus ei ole raadiusest suurem, on kaar kõige rohkem poolring ja θ on:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Kui tõus on raadiusest suurem, moodustab kaar rohkem kui poolringi ja θ saadakse ülejäänud ringi ulatuse järgi:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Kalkulaator käsitleb mõlemat juhtu ühe sammuga: θ = 2 × atan2(ava ÷ 2, raadius − tõus), mis jääb täpseks ka poolringi korral.

Kaare pindala valem

$\text{Kaare pindala} = \frac{1}{2} \times \text{Raadius}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Ava} \times (\text{Raadius} - \text{Tõus})$

Kuidas kasutada kaare kalkulaatorit

Kalkulaatoril on kolm režiimi, üks iga mõõtme jaoks, mis võib olla puudu.

Arvuta tõus, kui raadius ja ava on teada: sisestage raadius ja ava. Tööriist tagastab tõusu, kaarepikkuse ja kaare pindala.

Arvuta raadius, kui ava ja tõus on teada: sisestage ava ja tõus. Tööriist tagastab raadiuse, kaarepikkuse ja kaare pindala.

Arvuta ava, kui raadius ja tõus on teada: sisestage raadius ja tõus. Tööriist tagastab ava, kaarepikkuse ja kaare pindala.

Kalkulaator lükkab tagasi sisendid, millest ei saa moodustada tegelikku kaart. Ava ei tohi ületada raadiuse kahekordset väärtust, tõus ei tohi ületada raadiuse kahekordset väärtust ning iga mõõt peab olema positiivne arv. Kui väärtus rikub üht neist reeglitest, kuvatakse veateade.

Näidisarvutus

Näide 1: ukseava kaar

Ukseava kaare ava on 36 tolli (91,4 cm) ja tõus 12 tolli (30,5 cm).

Raadius = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 tolli (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radiaani

Kaarepikkus = 19,5 × 2,352 = 45,86 tolli (116 cm)

Kaare pindala = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 ruuttolli (2010 cm²)

Näide 2: aiakaar

Aiakaare raadius on 4 jalga (1,2 m) ja ava 6 jalga (1,8 m).

Tõus = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 jalga (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radiaani

Kaarepikkus = 4 × 1,696 = 6,78 jalga (2,07 m)

Kaare pindala = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 ruutjalga (0,523 m²)

Näide 3: sillakaar

Sillakaare ava on 50 jalga (15 m) ja tõus 15 jalga (4,57 m).

Raadius = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 jalga (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radiaani

Kaarepikkus = 28,33 × 2,162 = 61,25 jalga (18,7 m)

Kaare pindala = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 ruutjalga (49,6 m²)

Kaarearvutuste levinud kasutusalad

Ehitajad kasutavad kaare mõõtmeid betoonkaarte raketiste lõikamiseks, müüritiskaarte jaoks tellis- või kivimallide paika märkimiseks ning võlvlagede kõveruse kavandamiseks. Sillaprojekteerijad kasutavad ava, tõusu ja raadiust koormuse jaotuse ning vaba kõrguse tasakaalustamiseks. Restaureerimisel kasutatakse samu valemeid ajaloolise kaare täpse geomeetria järgimiseks selle parandamisel või ülesehitamisel. Aednikud ja isetegijad kasutavad neid kaarjate toestike, väravate ja dekoratiivsete avade kavandamisel.

See kalkulaator hõlmab ainult ringikujulisi kaari, mis on moodustatud ühe ringi kaarest. Elliptilised, paraboolsed, gooti ja aheljoonkaared järgivad teistsuguseid kõveraid ning vajavad teistsuguseid valemeid.

Kaare lühike ajalugu

Vana-Mesopotaamia ehitajad kasutasid varaseid kaaretaolisi vorme juba 2500 eKr, kuigi enamik neist ehitati konsoolmüüritisena — kive laoti nii, et iga kiht ulatus alumisest üle — mitte tõelise kõverkaarena. Roomlased arendasid poolringkaare tavapäraseks ehitusviisiks ning kasutasid seda akveduktides, sildades ja sellistes hoonetes nagu Colosseum. Euroopa keskaja ehitajad arendasid teravkaarelise gooti kaare, mis võimaldas ehitada kõrgemaid ja kergemaid konstruktsioone. Hiljem pöördusid arhitektid täpsetel proportsioonidel põhinevate poolringvormide juurde ning tänapäevased materjalid, näiteks teras ja raudbetoon, võimaldavad kaartel nüüd katta palju suuremaid avasid.

Korduma kippuvad küsimused

Mis vahe on kaare tõusul ja kõrgusel?

Tõus on vertikaalne kaugus tugijoonest kaare kõvera kõrgeima punktini. Kõrgus võib tähendada kogu ava kõrgust, sealhulgas tugijoonest allpool asuvat sirget seinaosa.

Kas see kalkulaator töötab kõigi kaaretüüpidega?

Ei. See töötab ainult ringikujuliste kaartega, mille kuju on ühe ringi kaare osa. Elliptilised, paraboolsed, gooti ja aheljoonkaared järgivad teistsuguseid kõveraid ning vajavad eraldi valemeid.

Milline on poolringkaare ava ja raadiuse seos?

Poolringkaare puhul võrdub raadius poole avaga ning tõus võrdub raadiusega. Kaar moodustab täpselt poole ringist.

Miks ei tohi ava olla suurem kui raadiuse kahekordne väärtus?

Raadiuse kahekordse väärtusega ava moodustab juba poolringi, mis on selle raadiuse korral kõige laiem võimalik kaar. Laiem ava ei mahuks üldse ringile.

Miks ei tohi tõus olla suurem kui raadiuse kahekordne väärtus (ava arvutamise režiimis)?

Tõusu mõõdetakse tugijoonest sama ringi kaare kõrgeima punktini. Raadiuse kahekordne väärtus on selle ringi täiskõrgus, seega viiks suurem tõus kaare tipu ringist täielikult välja. Raadiuse ja selle kahekordse väärtuse vaheline tõus on lubatud. Sel juhul on kaar suurem kui poolring — sellist kuju kasutatakse hobuserauakaarte puhul.

Milliseid ühikuid kalkulaator kasutab?

Sobib mis tahes ühtne ühik — tollid, jalad, meetrid või sentimeetrid. Sisestage kõik väärtused samas ühikus ning tulemused esitatakse sellesama ühikuga; pindala ühik on ruudus.