ماشین‌حساب اعداد هم‌اول

اعداد هم‌اول دو یا چند عدد صحیح هستند که تنها مقسوم‌علیه مثبت مشترک آن‌ها 1 است. این ماشین‌حساب با یافتن بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) اعدادی که وارد می‌کنید، بررسی می‌کند که آیا آن‌ها هم‌اول هستند یا نه. اگر ب.م.م برابر با 1 باشد، اعداد هم‌اول‌اند.

به اعداد هم‌اول، اعداد نسبتاً اول یا اعداد متقابلاً اول نیز گفته می‌شود.

هم‌اول یعنی چه؟

دو عدد صحیح زمانی هم‌اول هستند که هیچ عدد صحیح بزرگ‌تر از 1 هر دوی آن‌ها را عاد نکند. خود اعداد لازم نیست اول باشند. برای مثال، 8 و 15 هم‌اول هستند: مقسوم‌علیه‌های 8 عبارت‌اند از 1، 2، 4 و 8، در حالی که مقسوم‌علیه‌های 15 عبارت‌اند از 1، 3، 5 و 15. تنها مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها 1 است، پس هم‌اول‌اند.

در مقابل، 12 و 18 هم‌اول نیستند. هر دو بر 2، 3 و 6 بخش‌پذیرند، پس بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها 6 است.

چگونه بررسی کنیم اعداد هم‌اول هستند یا نه

1. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) همه اعداد را بیابید. ب.م.م بزرگ‌ترین عدد صحیحی است که هر یک از اعداد را بدون باقی‌مانده عاد می‌کند.
2. ب.م.م را با 1 مقایسه کنید. اگر ب.م.م برابر با 1 باشد، اعداد هم‌اول‌اند. اگر ب.م.م بزرگ‌تر از 1 باشد، هم‌اول نیستند.

ب.م.م یک گروه از اعداد با اعمال الگوریتم اقلیدسی روی دو عدد در هر مرحله به دست می‌آید: ب.م.م سه عدد a، b و c برابر است با GCD(GCD(a, b), c).

فرمول هم‌اول بودن

اعداد a₁، a₂، …، aₙ زمانی هم‌اول‌اند که:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

مثال

بررسی کنید که آیا 6، 10 و 15 هم‌اول هستند یا نه.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک هر سه عدد برابر با 1 است، پس 6، 10 و 15 به‌عنوان یک مجموعه هم‌اول‌اند.

توجه کنید که این سه عدد دوبه‌دو هم‌اول نیستند. 6 و 10 در عامل 2 مشترک‌اند، 6 و 15 در عامل 3 مشترک‌اند و 10 و 15 در عامل 5 مشترک‌اند. هم‌اول بودن مجموعه‌ای (ب.م.م همه اعداد با هم برابر 1 باشد) شرطی ضعیف‌تر از هم‌اول بودن دوبه‌دویی (ب.م.م هر جفت برابر 1 باشد) است. این ماشین‌حساب هر دو را گزارش می‌دهد.

هم‌اول دوبه‌دو در برابر هم‌اول مجموعه‌ای

یک گروه از اعداد زمانی هم‌اول مجموعه‌ای است که ب.م.م کل گروه برابر با 1 باشد. این گروه زمانی هم‌اول دوبه‌دو است که هر جفت ممکن در آن ب.م.م برابر با 1 داشته باشد. اعداد هم‌اول دوبه‌دو همیشه هم‌اول مجموعه‌ای نیز هستند، اما عکس آن همیشه درست نیست، چنان‌که مثال بالا نشان داد.

پرسش‌های پرتکرار

آیا 1 با هر عددی هم‌اول است؟

بله. عدد 1 با هیچ عدد صحیحی عاملی بزرگ‌تر از 1 مشترک ندارد، پس 1 با هر عدد صحیحی، از جمله خودش، هم‌اول است.

آیا اعداد هم‌اول باید اول باشند؟

خیر. اعداد هم‌اول می‌توانند مرکب باشند. 8 و 15 هر دو مرکب‌اند، با این حال هم‌اول‌اند زیرا هیچ عامل مشترکی جز 1 ندارند.

آیا دو عدد اول متفاوت همیشه هم‌اول‌اند؟

بله. دو عدد اول متمایز هیچ عامل مشترکی جز 1 ندارند، پس هر دو عدد اول متفاوت هم‌اول‌اند.

آیا اعداد منفی می‌توانند هم‌اول باشند؟

هم‌اول بودن معمولاً برای اعداد صحیح مثبت تعریف می‌شود. این ماشین‌حساب فقط اعداد صحیح مثبت 1 یا بزرگ‌تر را می‌پذیرد.

تفاوت ب.م.م و هم‌اول بودن چیست؟

ب.م.م بزرگ‌ترین عددی است که همه ورودی‌ها را عاد می‌کند. «هم‌اول» حالت خاصی است که در آن این ب.م.م برابر با 1 می‌شود.