حل‌گر معادله درجه دوم - محاسبه ریشه‌های ax² + bx + c = 0

معادلهٔ درجهٔ دوم چیست؟

معادلهٔ درجهٔ دوم معادله‌ای به شکل $ax^2 + bx + c = 0$ است که در آن $a$، $b$ و $c$ عدد هستند و $a$ صفر نیست. حل‌کنندهٔ معادلهٔ درجهٔ دوم در این صفحه، با استفاده از ضرایب $a$، $b$ و $c$ که کاربر وارد می‌کند، مقدار یا مقادیر $x$ را می‌یابد که معادله را درست می‌کنند.

اگر $a$ صفر بود، جملهٔ $x^2$ حذف می‌شد و معادله به‌جای درجهٔ دوم، خطی می‌شد. به همین دلیل، ماشین‌حساب $a \neq 0$ را لازم می‌داند و اگر $a = 0$ باشد، خطا نشان می‌دهد.

فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم

هر معادلهٔ درجهٔ دومی به شکل $ax^2 + bx + c = 0$ را می‌توان با فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم حل کرد:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

علامت $\pm$ نشان‌دهندهٔ دو محاسبهٔ جداگانه است: یکی با علامت جمع و دیگری با علامت تفریق. به همین دلیل، یک معادلهٔ درجهٔ دوم می‌تواند دو جواب متفاوت داشته باشد.

عبارت زیر ریشهٔ دوم، یعنی $b^2 - 4ac$، ممیّز نامیده می‌شود. این عبارت معمولاً به‌صورت $\Delta$ نوشته می‌شود؛ یعنی حرف دلتا در الفبای یونانی. ممیّز به‌تنهایی، پیش از انجام بقیهٔ محاسبات، مشخص می‌کند که معادله چند جواب حقیقی دارد.

چگونه ریشه‌ها را محاسبه کنیم

1. معادله را به شکل استاندارد $ax^2 + bx + c = 0$ بنویسید.
2. ضرایب $a$، $b$ و $c$ را مشخص کنید.
3. دترمینان را محاسبه کنید: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. اگر $\Delta$ مثبت باشد، هر دو ریشه را با استفاده از $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ محاسبه کنید.
5. اگر $\Delta$ صفر باشد، ریشهٔ یکتا را با استفاده از $x = \dfrac{-b}{2a}$ محاسبه کنید.
6. اگر $\Delta$ منفی باشد، معادله هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد، زیرا عدد منفی ریشهٔ دوم حقیقی ندارد.

ماشین‌حساب این صفحه این مراحل را به‌طور خودکار انجام می‌دهد. این ماشین‌حساب ضرایب بین $-10^{10}$ و $10^{10}$ را می‌پذیرد و نتایج را تا تعداد رقم اعشار انتخاب‌شده، از ۰ تا ۱۰، گرد می‌کند.

ممیّز چه معنایی دارد

این ماشین‌حساب وقتی $\Delta$ منفی باشد، عبارت «هیچ ریشهٔ حقیقی وجود ندارد» را گزارش می‌کند. ریشه‌های مختلط، یعنی عددهایی شامل $i = \sqrt{-1}$، محاسبه نمی‌شوند.

مثال حل‌شده

$x^2 + 5x + 6 = 0$ را حل کنید.

در اینجا $a = 1$، $b = 5$ و $c = 6$ است.

ابتدا دترمینان را به‌دست آورید:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

چون $\Delta$ مثبت است، معادله دو ریشهٔ حقیقی دارد:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

این نتیجه را می‌توان با تجزیه بررسی کرد: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$، که وقتی $x = -2$ یا $x = -3$ باشد، برابر صفر است.

مثال دوم، ممیّز منفی را نشان می‌دهد. برای $x^2 + x + 1 = 0$، $a = 1$، $b = 1$ و $c = 1$ است، بنابراین $\Delta = 1 - 4 = -3$. چون $\Delta$ منفی است، معادله هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد.

سهمی، رأس و محور تقارن

نمودار $f(x) = ax^2 + bx + c$ منحنی‌ای به نام سهمی است. اگر $a$ مثبت باشد، سهمی رو به بالا باز می‌شود و پایین‌ترین نقطه را دارد. اگر $a$ منفی باشد، سهمی رو به پایین باز می‌شود و بالاترین نقطه را دارد. آن پایین‌ترین یا بالاترین نقطه، رأس نامیده می‌شود.

رأس در نقطهٔ زیر قرار دارد:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

خط عمودی گذرنده از رأس، یعنی $x = -\dfrac{b}{2a}$، محور تقارن نامیده می‌شود، زیرا دو نیمهٔ سهمی نسبت به آن تصویر آینه‌ای یکدیگرند. ریشه‌های حقیقی معادله نقاطی هستند که سهمی در آن‌ها محور x را قطع می‌کند؛ بنابراین در دو سوی محور تقارن و در فاصله‌ای برابر از آن قرار دارند.

ماشین‌حساب این سهمی را در کنار نتیجه رسم می‌کند. رأس و هر ریشهٔ حقیقی را روی منحنی مشخص می‌کند و در صورت نیاز دامنهٔ رسم‌شده را گسترده‌تر می‌کند تا همهٔ ریشه‌ها در محدودهٔ دید باقی بمانند.

کاربردهای معادلات درجهٔ دوم

معادلات درجهٔ دوم بسیاری از موقعیت‌های واقعی را توصیف می‌کنند. در فیزیک، ارتفاع جسم پرتاب‌شده در طول زمان از معادلهٔ $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ پیروی می‌کند و حل آن برای $t$ زمان فرود جسم را به‌دست می‌دهد. در مهندسی، شکل‌های سهموی در دیش‌های ماهواره و کابل‌های پل دیده می‌شوند، زیرا این شکل‌ها نیرو را متمرکز یا توزیع می‌کنند. در گرافیک رایانه‌ای، برنامه‌های ردیابی پرتو برای یافتن محل برخورد یک خط با یک کره، معادلات درجهٔ دوم را حل می‌کنند.

تاریخچه‌ای کوتاه

ریاضی‌دانان بابلی تا حدود ۲۰۰۰ پیش از میلاد، مسائل مشخصی از معادلات درجهٔ دوم را با روش‌های هندسی، نه جبری، حل می‌کردند. ریاضی‌دانان یونانی، مانند اقلیدس، نیز معادلات درجهٔ دوم را به‌صورت هندسی بررسی می‌کردند. حدود ۶۰۰ میلادی، ریاضی‌دان هندی، برهماگوپتا، فرمولی صریح برای ریشه‌ها، از جمله جواب‌های منفی، ارائه کرد. حدود ۸۰۰ میلادی، ریاضی‌دان ایرانی، خوارزمی، روش‌های نظام‌مندی برای حل معادلات درجهٔ دوم در کتابی شرح داد که عنوان آن منشأ واژهٔ «جبر» شد. شکل نمادین امروزی فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم بعدها، هم‌زمان با گسترش نمادگذاری جبری در دورهٔ رنسانس، استاندارد شد.

پرسش‌های متداول

اگر برای ضریب a مقدار ۰ را وارد کنم، چه اتفاقی می‌افتد؟ ماشین‌حساب خطا نشان می‌دهد، زیرا $a = 0$ معادله را به معادله‌ای خطی، یعنی $bx + c = 0$، تبدیل می‌کند که به روش دیگری حل می‌شود.

چرا یک معادله گاهی ریشهٔ حقیقی ندارد؟ این حالت زمانی رخ می‌دهد که ممیّز، یعنی $b^2 - 4ac$، منفی باشد. عدد منفی ریشهٔ دوم حقیقی ندارد؛ بنابراین فرمول نمی‌تواند مقدار حقیقی $x$ را تولید کند. معادله همچنان دو ریشهٔ مختلط دارد، اما این ماشین‌حساب آن‌ها را محاسبه نمی‌کند.

تفاوت بین ریشه و جواب چیست؟ هیچ تفاوتی ندارد. هر دو واژه به مقداری از $x$ اشاره می‌کنند که معادله را برابر صفر می‌کند. «ریشه» به نقطه‌ای اشاره دارد که نمودار محور x را قطع می‌کند؛ «جواب» به مفهوم جبری اشاره دارد.

چند رقم اعشار را می‌توانم انتخاب کنم؟ بین ۰ و ۱۰ رقم اعشار. برای مسائل روزمره، معمولاً دو یا سه رقم اعشار کافی است.

آیا می‌توانم ضرایب بسیار بزرگ وارد کنم؟ ضرایب باید بین $-10^{10}$ و $10^{10}$ باشند. مقادیر خارج از این محدوده ممکن است باعث خطای گرد کردن شوند و پذیرفته نمی‌شوند.

آیا این ماشین‌حساب می‌تواند ریشه‌های مختلط را پیدا کند؟ خیر. وقتی دترمینان منفی باشد، به‌جای محاسبهٔ اعداد مختلط، عبارت «هیچ ریشهٔ حقیقی وجود ندارد» را گزارش می‌کند.

منابع

1. معادلهٔ درجهٔ دوم – MathWorld
2. کتابخانهٔ دیجیتال توابع ریاضی NIST، §1.11، جبر: معادلهٔ درجهٔ دوم