ماشینحساب دایرهٔ واحد: سینوس، کسینوس و تانژانت دقیق
زاویه را بر حسب درجه یا رادیان وارد کنید تا نقطهٔ آن روی دایرهٔ واحد، سینوس، کسینوس، تانژانت، زاویهٔ مرجع و ربع آن را بهدست آورید. زاویههای استاندارد بهصورت دقیق.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
ماشین حساب بارگذاری...
📚
مستندات
ماشینحساب دایرهٔ واحد
دایرهٔ واحد، دایرهای با شعاع ۱ است که پیرامون مبدأ یک نمودار رسم میشود. ماشینحساب دایرهٔ واحد یک زاویه میگیرد و مشخص میکند آن زاویه در کجا با دایره برخورد میکند: نقطهٔ (x, y)، سینوس، کسینوس و تانژانت، زاویهٔ مرجع و ربع. این صفحه زاویه را برحسب درجه یا رادیان میخواند و در شانزده زاویهٔ استاندارد، مقادیر دقیقی مانند √3/2 را ارائه میدهد.
کارکرد ماشینحساب
کاربر یک زاویه وارد میکند و درجه یا رادیان را برمیگزیند. صفحه این موارد را برمیگرداند:
- نقطهٔ (x, y) که زاویه در آن با دایره تقاطع پیدا میکند
- cos θ، sin θ و tan θ
- زاویهٔ مرجع، برحسب درجه و رادیان
- ربع، یا در صورت قرارگرفتن زاویه روی یک محور، نام محور
- زاویه در هر دو واحد، و همان زاویه پس از تا زدن در یک دور کامل
در شانزده زاویهٔ استاندارد، پاسخها بهصورت فرمهای بستهٔ دقیق چاپ میشوند و اعداد اعشاری زیر آنها نمایش داده میشوند. هر زاویهٔ دیگر با هشت رقم معنادار نمایش داده میشود. فقط نمایشگر گرد میکند.
فرمول دایرهٔ واحد
زاویهها از محور مثبت x در جهت پادساعتگرد اندازهگیری میشوند. نیمخطی که با زاویهٔ θ رسم شده است در یک نقطه با دایره تقاطع دارد و دو مختصات آن نقطه، کسینوس و سینوس هستند:
که در آن مختصات افقی، مختصات عمودی و زاویه است.
شعاع ۱ است؛ بنابراین مختصات و دو مقدار تابع، یک جفت عدد یکسان با دو نام هستند. به همین دلیل دایره با شعاع ۱، نه اندازهای دیگر، رسم میشود. تانژانت نیز از همین جفت ساخته میشود:
هر نقطه روی دایره همچنین قضیهٔ فیثاغورس را، که بر مثلث قائمالزاویهای با ضلعهای و و وتر ۱ اعمال شده است، برآورده میکند:
درجه و رادیان
صفحه هر دو واحد را میپذیرد و هر دو را گزارش میکند. این دو واحد با رابطهٔ برابر بودن نیمدور با π رادیان به هم مرتبطاند:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ در اینجا $\theta_{\mathrm{deg}}$ زاویه برحسب درجه و $\theta_{\mathrm{rad}}$ همان زاویه برحسب رادیان است. ### تا زدن در یک دور کامل زاویه میتواند منفی باشد و از یک دور کامل عبور کند. نقطه روی دایره هر ۳۶۰° تکرار میشود؛ بنابراین صفحه ابتدا زاویه را به بازهٔ ۰° تا، بدون احتساب، ۳۶۰° تا میزند: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ که در آن $\theta$ زاویهٔ واردشده برحسب درجه و $\theta_0$ همان جهت، نوشتهشده درون یک دور، است. ۷۵۰° به ۳۰° و −۳۰° به ۳۳۰° تا زده میشود. این تا زدن برحسب درجه انجام میشود و باقیماندهای دقیق دارد. ### زاویهٔ مرجع و ربع زاویهٔ مرجع، زاویهٔ حادهٔ بین نیمخط و محور x است. این زاویه هرگز از ۹۰° بیشتر نیست: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{در غیر این صورت} \end{cases}$$ که در آن $\theta_0$ زاویهٔ تاخورده برحسب درجه است. اندازهٔ سینوس، کسینوس و تانژانت فقط به زاویهٔ مرجع بستگی دارد. ربع علامتها را تعیین میکند. | ربع | زاویهٔ تاخورده | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | از ۰° تا ۹۰° | + | + | + | | II | از ۹۰° تا ۱۸۰° | − | + | − | | III | از ۱۸۰° تا ۲۷۰° | − | − | + | | IV | از ۲۷۰° تا ۳۶۰° | + | − | − | زاویههای ۰°، ۹۰°، ۱۸۰° و ۲۷۰° روی یک محور قرار دارند. ربع، ناحیهٔ باز بین دو محور است؛ بنابراین هیچیک از این چهار زاویه درون یک ربع نیست و صفحه بهجای انتخاب ربع مجاور، نام محور را نمایش میدهد. ### شانزده زاویهٔ استاندارد پنج زاویهٔ مرجع، فرمهای بستهٔ دقیق دارند. | زاویهٔ مرجع | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | ۰° (۰) | ۱ | ۰ | ۰ | | ۳۰° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | ۴۵° (π/4) | √2/2 | √2/2 | ۱ | | ۶۰° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √۳ | | ۹۰° (π/2) | ۰ | ۱ | تعریفنشده | با قرینه کردن این ردیفها در سه ربع دیگر، شانزده زاویه به دست میآید: ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰، ۹۰، ۱۲۰، ۱۳۵، ۱۵۰، ۱۸۰، ۲۱۰، ۲۲۵، ۲۴۰، ۲۷۰، ۳۰۰، ۳۱۵ و ۳۳۰ درجه. صفحه آنها را با چرخاندن نقاط ربع اول به اندازهٔ یکچهارم دور در هر مرحله تولید میکند، نه با رونویسی چهاربارهٔ جدول؛ زیرا هنگام رونویسی است که علامت نادرست وارد میشود. ۱۵°، ۷۵° و ۱۰۵° نیز فرمهای بسته دارند، اما این فرمها دو جملهای هستند؛ مانند ۲ − √۳. آنها خارج از این خانواده قرار میگیرند و بهصورت اعشاری پاسخ داده میشوند. برای ۱۵°، مقدار cos برابر ۰٫۹۶۵۹۲۵۸۳، مقدار sin برابر ۰٫۲۵۸۸۱۹۰۵ و مقدار tan برابر ۰٫۲۶۷۹۴۹۱۹ است. ### مثال: ۲۱۰ درجه ۲۱۰° از ۱۸۰° بیشتر و از ۲۷۰° کمتر است؛ بنابراین در ربع III قرار میگیرد. با کم کردن ۱۸۰، زاویهٔ مرجع ۳۰° به دست میآید. در زاویهٔ مرجع ۳۰°، این سه اندازه عبارتاند از √3/2، 1/2 و √3/3. ربع III هر دو مختصات را منفی میکند؛ بنابراین نقطه برابر است با (−√3/2, −1/2). تانژانت حاصل تقسیم یک مقدار منفی بر مقدار منفی دیگر است و در نتیجه در √3/3 مثبت میماند. زاویه برحسب رادیان برابر ۷π/6 و زاویهٔ مرجع برابر π/۶ است. صفحه بهصورت اعشاری cos را −۰٫۸۶۶۰۲۵۴، sin را −۰٫۵ و tan را ۰٫۵۷۷۳۵۰۲۷ نمایش میدهد. ۵۷۰° و −۱۵۰° پاسخهای یکسانی دارند، زیرا هر دو به ۲۱۰° تا میخورند. ### کدام ثابتها دقیق هستند | ثابت | مقدار | دقیق؟ | منبع | |---|---|---|---| | درجه در یک دور کامل | ۳۶۰ | طبق تعریف دقیق است | ISO ۸۰۰۰۰-۳ | | رادیان در یک دور کامل | ۲π | طبق تعریف دقیق است | ISO ۸۰۰۰۰-۳؛ بروشور SI | | cos ۳۰°، sin ۶۰° | √3/2 | دقیق | NIST DLMF §۴٫۱۴ | | cos ۴۵°، sin ۴۵° | √2/2 | دقیق | NIST DLMF §۴٫۱۴ | | cos ۶۰°، sin ۳۰° | 1/2 | دقیق | NIST DLMF §۴٫۱۴ | | tan ۹۰°، tan ۲۷۰° | فاقد مقدار | دقیق، یک قطب | NIST DLMF §۴٫۱۵ | π گنگ است؛ بنابراین فرم اعشاری یا دودویی دقیقی ندارد و هر مقدار ذخیرهشدهٔ آن گرد شده است. صفحه برای جلوگیری از ورود این گردکردن به پاسخها، دو کار انجام میدهد. تا زدن برحسب درجه انجام میشود و ۳۶۰ بدون باقیمانده تقسیم میشود. همچنین زاویههای استاندارد از جدول فرمهای بستهٔ بالا خوانده میشوند، نه از سینوس ممیز شناور. ### خواندن زاویهای که برحسب رادیان وارد شده است یک ورودی رادیانی از پیش یک عدد اعشاری گرد شده است. π/2 بهصورت ۱٫۵۷۰۷۹۶۳۲۶۷۹۴۸۹۶۶ وارد میشود و تبدیل معکوس آن زاویهای به دست میدهد که حدود یک دهتریلیونم درجه با ۹۰ فاصله دارد، نه دقیقاً ۹۰. بنابراین صفحه هر زاویهای را که در فاصلهٔ یکمیلیونم درجهای از یک زاویهٔ استاندارد باشد، همان زاویه در نظر میگیرد. این تلورانس تعیین میکند کدام جدول به کار رود؛ اما پاسخ را گستردهتر نمیکند. ۳۰٫۰۰۱° به ۳۰° تبدیل نمیشود. زاویههای بیشتر از یک میلیارد درجه پذیرفته نمیشوند. این محدودیتِ محاسبات است، نه هندسه: فاصلهٔ میان عددهایی که رایانه میتواند ذخیره کند با بزرگتر شدن اندازهٔ آنها افزایش مییابد و پس از حدود چهارونیم میلیارد درجه، این فاصله از تلورانس یکمیلیونمدرجهای بیشتر میشود؛ در نتیجه تا زدن جزئیات کافی برای نامگذاری زاویه را حفظ نمیکند. حد یک میلیارد درجه حاشیهای پایینتر از آن نقطه نگه میدارد. ### سؤالات رایج **دایرهٔ واحد برای چه کاری استفاده میشود؟** این دایره سینوس و کسینوس را به مختصات تبدیل میکند. خواندن یک نقطه از روی دایره هر دو مقدار را همزمان به دست میدهد و شکل نشان میدهد چرا آنها در هر دور کامل تکرار میشوند و چرا علامتشان از ربعی به ربع دیگر تغییر میکند. **مقدار دقیق sin ۳۰° چیست؟** یکدوم است. cos ۳۰° برابر √3/2، تقریباً ۰٫۸۶۶۰۲۵۴، و tan ۳۰° برابر √3/3، تقریباً ۰٫۵۷۷۳۵۰۲۷ است. **چرا tan ۹۰° تعریفنشده است؟** تانژانت حاصل تقسیم سینوس بر کسینوس است و cos ۹۰° برابر ۰ است. تقسیم بر صفر پاسخی ندارد. صفحه قطب را با نامگذاری زاویه پیدا میکند، نه با بررسی بزرگ بودن تانژانت محاسبهشده؛ زیرا تانژانت بسیار شیبدار، درست پیش از ۹۰°، یک عدد معمولی است. **زاویهٔ مرجع چیست؟** زاویهٔ حادهٔ بین نیمخط و محور x است؛ بنابراین همیشه بین ۰° و ۹۰° قرار دارد. زاویههای ۱۵۰°، ۲۱۰° و ۳۳۰° همگی زاویهٔ مرجع ۳۰° دارند؛ به همین دلیل سینوس و کسینوس آنها همان سه اندازه را دارند و فقط علامتشان متفاوت است. **آیا زاویهٔ منفی کار میکند؟** بله. زاویهٔ منفی در جهت ساعتگرد میچرخد. −۳۰° در همان جهتی است که ۳۳۰°، بنابراین صفحه نقطهٔ (√3/2, −1/2) و ربع IV را برمیگرداند. **چرا صفحه زاویه را دو بار نمایش میدهد؟** ۷۵۰° و ۳۰° در یک نقطه با دایره تقاطع پیدا میکنند، اما یک چرخش یکسان نیستند. صفحه زاویهٔ واردشده را همانطور که وارد شده تکرار میکند، آن را به واحد دیگر تبدیل میکند و زاویهٔ تاخورده را در کنار آن نشان میدهد.