محاسبه‌گر توزیع پواسون - محاسبه احتمالات رویداد

ماشین‌حساب توزیع پواسون چیست؟

ماشین‌حساب توزیع پواسون احتمال رخ‌دادن تعداد معینی رویداد را در یک بازهٔ ثابت زمانی یا مکانی، با توجه به میانگین بسامد رخ‌دادن رویدادها، پیدا می‌کند. این توزیع زمانی به کار می‌رود که رویدادها مستقل از یکدیگر، یکی‌یکی و با نرخ متوسطی ثابت رخ دهند. نمونه‌های معمول آن شامل تعداد تماس‌هایی است که یک مرکز تماس در یک ساعت دریافت می‌کند یا تعداد غلط‌های تایپی در یک صفحه.

فرمول توزیع پواسون

توزیع پواسون احتمال رخ‌دادن دقیقاً k رویداد را، هنگامی که نرخ متوسط λ است (حرف یونانی لامبدا)، به دست می‌دهد:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

هر نماد به این معناست:

• λ (لامبدا) — میانگین تعداد رویدادها در هر بازه. این تنها پارامتر توزیع است.
• k — تعداد دقیق رویدادهایی که احتمال آن‌ها محاسبه می‌شود. این مقدار باید عددی صحیح و برابر با ۰ یا بیشتر باشد.
• e — عدد اویلر، ثابت معینی که تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸ است.
• فاکتوریل k — «فاکتوریل k»، حاصل‌ضرب همهٔ اعداد صحیح از ۱ تا k. برای نمونه، فاکتوریلِ ۴ برابر است با ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۲۴. طبق قرارداد، فاکتوریلِ ۰ برابر ۱ است.

این فرمول فقط به λ و k نیاز دارد. برخلاف توزیع دوجمله‌ای، به تعداد کل آزمایش‌ها نیاز ندارد.

نحوهٔ محاسبهٔ احتمال پواسون

1. λ، یعنی میانگین تعداد رویدادها در بازهٔ مورد بررسی، را انتخاب کنید.
2. k، یعنی تعداد دقیق رویدادهایی را که می‌خواهید احتمالشان را پیدا کنید، انتخاب کنید.
3. e را به توان منفی λ برسانید؛ این مقدار e^(−λ) است.
4. λ را به توان k برسانید؛ این مقدار λ^k است.
5. فاکتوریل k را به دست آورید.
6. نتایج مراحل ۳ و ۴ را در هم ضرب کنید، سپس حاصل را بر نتیجهٔ مرحلهٔ ۵ تقسیم کنید.

عدد حاصل، احتمالی بین ۰ و ۱ است. برای بیان آن به‌صورت درصد، آن را در ۱۰۰ ضرب کنید.

مثال حل‌شده

یک مرکز تماس به‌طور میانگین ۵ تماس در ساعت دریافت می‌کند (λ = ۵). احتمال اینکه در یک ساعت معین دقیقاً ۳ تماس دریافت کند (k = ۳) چقدر است؟

1. e^(−۵) ≈ ۰٫۰۰۶۷۳۸
2. 5^3 = ۱۲۵
3. فاکتوریلِ ۳ برابر است با ۳ × ۲ × ۱ = ۶
4. ضرب: ۰٫۰۰۶۷۳۸ × ۱۲۵ ≈ ۰٫۸۴۲۲۴۳
5. تقسیم بر ۶: ۰٫۸۴۲۲۴۴ ÷ ۶ ≈ ۰٫۱۴۰۳۷۴

احتمال دریافت دقیقاً ۳ تماس در آن ساعت، تقریباً ۰٫۱۴۰، یا ۱۴٪ است.

نمونه‌های بیشتر

کاربردهای توزیع پواسون

توزیع پواسون تعداد رویدادهای نادر و مستقل را مدل‌سازی می‌کند. کاربردهای رایج آن عبارت‌اند از:

• مراکز تماس و خدمات مشتریان: پیش‌بینی تعداد تماس‌ها یا گفت‌وگوهای برخطی که در هر ساعت وارد می‌شوند.
• تولید: برآورد تعداد نقص‌ها در یک دسته از محصولات.
• بیمه: برآورد تعداد خسارت‌هایی که در یک بازهٔ معین دریافت می‌شوند.
• زیست‌شناسی و پزشکی: مدل‌سازی تعداد جهش‌ها یا گسترش بیماری‌های نادر.
• فیزیک: توصیف واپاشی رادیواکتیو، که در آن هر اتم به‌طور مستقل و با نرخ متوسطی ثابت واپاشی می‌کند.
• مهندسی ترافیک و شبکه: برآورد ورود خودروها به یک تقاطع یا رسیدن درخواست‌ها به یک کارساز.

شرایط استفاده از توزیع پواسون

توزیع پواسون فقط زمانی با یک وضعیت سازگار است که همهٔ شرایط زیر برقرار باشند:

• رویدادها یکی‌یکی رخ می‌دهند؛ دو رویداد نمی‌توانند دقیقاً در یک لحظه رخ دهند.
• رویدادها مستقل از یکدیگر رخ می‌دهند؛ یک رویداد احتمال رخ‌دادن رویداد بعدی را بیشتر یا کمتر نمی‌کند.
• نرخ متوسط، λ، در سراسر بازهٔ مورد بررسی ثابت می‌ماند.

اگر نرخ در طول زمان تغییر کند یا رویدادها تمایل داشته باشند به‌صورت خوشه‌ای رخ دهند، توزیع سادهٔ پواسون داده‌ها را به‌خوبی توصیف نمی‌کند.

پواسون در مقایسه با توزیع‌های مرتبط

• توزیع دوجمله‌ای: زمانی به کار می‌رود که تعداد آزمایش‌ها ثابت و احتمال موفقیت در هر آزمایش معلوم باشد، مانند پرتاب سکه ۲۰ بار. توزیع پواسون حالتی است که توزیع دوجمله‌ای با بسیار بزرگ شدن تعداد آزمایش‌ها و نزدیک شدن احتمال موفقیت هر آزمایش به صفر به آن تبدیل می‌شود، درحالی‌که حاصل‌ضرب آن‌ها در حدود λ باقی می‌ماند.
• توزیع نرمال: برای λهای بزرگ، تقریباً بالاتر از ۲۰، توزیع پواسون به توزیع نرمال زنگوله‌ای با میانگین λ و واریانس λ نزدیک است.
• توزیع نمایی: توزیع پواسون تعداد رویدادها را در یک بازهٔ ثابت می‌شمارد، اما توزیع نمایی زمان انتظار بین آن رویدادها را توصیف می‌کند.

یادداشتی دربارهٔ تاریخچه

سیمئون دنی پواسون، ریاضی‌دان فرانسوی، این توزیع را در ۱۸۳۷ در کتابی دربارهٔ کاربرد احتمال در احکام دادگاه معرفی کرد. این توزیع در ابتدا توجه چندانی جلب نکرد. کاربرد آن در اوایل قرن ۲۰ افزایش یافت؛ پس از آنکه آماردانانی مانند لادیسلاوس بورتکیویچ و رونالد فیشر آن را برای داده‌های شمارشی واقعی، از جمله در پژوهش مشهوری دربارهٔ سربازان پروسی کشته‌شده بر اثر لگد اسب، به کار بردند.

سؤالات رایج

لامبدا (λ) در توزیع پواسون چه معنایی دارد؟ لامبدا میانگین تعداد رویدادهایی است که انتظار می‌رود در بازهٔ مورد بررسی رخ دهند. این مقدار همچنین واریانس توزیع است؛ بنابراین λ بزرگ‌تر هم به معنای میانگین شمارش بیشتر و هم به معنای پراکندگی بیشتر در نتایج ممکن است.

آیا k یا λ می‌تواند منفی یا کسری باشد؟ λ باید بزرگ‌تر از ۰ باشد، اما می‌تواند اعشاری باشد؛ برای مثال ۲٫۵ رویداد در ساعت. k باید تعداد صحیحی برابر با ۰ یا بیشتر باشد، زیرا رویدادهای واقعی را می‌شمارد؛ این مقدار نمی‌تواند منفی یا کسری باشد.

توزیع پواسون چه تفاوتی با توزیع دوجمله‌ای دارد؟ توزیع دوجمله‌ای به تعداد ثابتی آزمایش و احتمال موفقیت ثابت در هر آزمایش نیاز دارد. توزیع پواسون فقط به یک نرخ متوسط نیاز دارد و برای رویدادهایی مناسب است که در اصل می‌توانند هر تعداد بار رخ دهند.

چه زمانی باید به‌جای آن از توزیع نرمال استفاده کرد؟ برای λهای بزرگ، معمولاً بالاتر از حدود ۲۰، توزیع نرمالی با همان میانگین و واریانس، توزیع پواسون را به‌خوبی تقریب می‌زند و اغلب محاسبهٔ دستی آن آسان‌تر است.

چرا ماشین‌حساب گاهی عددی را با نمادگذاری علمی نشان می‌دهد؟ نتایج معمولاً تا شش رقم اعشار نمایش داده می‌شوند. وقتی یک احتمال از ۰٫۰۰۰۱ کوچک‌تر باشد، گرد کردن تا شش رقم اعشار آن را به ۰٫۰۰۰۰۰۰ تبدیل می‌کند و کوچکی واقعی آن را پنهان می‌سازد؛ بنابراین ماشین‌حساب به‌جای آن از نمادگذاری علمی استفاده می‌کند. برای λ = ۲۰ و k = ۱، مقدار 4.122307e-8 را نشان می‌دهد که به معنای ۰٫۰۰۰۰۰۰۰۴۱۲۲۳۰۷ است.

آیا برای مقادیری که ماشین‌حساب می‌پذیرد محدودیتی وجود دارد؟ بله. λ باید بزرگ‌تر از ۰ و حداکثر برابر با ۷۰۰ باشد و k باید عددی صحیح از ۰ تا ۱۰۰۰ باشد. خارج از این محدوده‌ها، ماشین‌حساب خطا نشان می‌دهد. این سقف‌ها نتیجه را در محدودهٔ اعدادی که رایانه می‌تواند ذخیره کند نگه می‌دارند و تعداد میله‌های نمودار را در حدی خوانا حفظ می‌کنند.

آیا توزیع پواسون بیش از یک رویداد هم‌زمان را مجاز می‌داند؟ خیر. این مدل فرض می‌کند رویدادها یکی‌یکی رخ می‌دهند. اگر دو رویداد معمولاً هم‌زمان رخ دهند، توزیع دیگری داده‌ها را بهتر برازش می‌کند.

منابع

1. پواسون، سیمئون دنی. پژوهش‌هایی دربارهٔ احتمال احکام در امور کیفری و مدنی. پاریس، ۱۸۳۷.
2. هایت، فرانک اِی. راهنمای توزیع پواسون. نیویورک: جان وایلی و پسران، ۱۹۶۷.
3. "Poisson Distribution." کتابچهٔ الکترونیکی روش‌های آماری NIST/SEMATECH، بخش ۱٫۳.۶٫۶.۱۹. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. جانسون، نورمن اِل.، آدرین دبلیو. کِمپ و ساموئل کوتز. توزیع‌های گسستهٔ تک‌متغیره. جان وایلی و پسران، ۲۰۰۵.