ماشین حساب توزیع گاما

مقدمه

توزیع گاما یک توزیع احتمال پیوسته است که در زمینه‌های مختلف علم، مهندسی و مالی به‌طور گسترده‌ای استفاده می‌شود. این توزیع با دو پارامتر مشخص می‌شود: پارامتر شکل (k یا α) و پارامتر مقیاس (θ یا β). این ماشین حساب به شما این امکان را می‌دهد که ویژگی‌های مختلف توزیع گاما را بر اساس این پارامترهای ورودی محاسبه کنید.

فرمول

تابع چگالی احتمال (PDF) توزیع گاما به صورت زیر است:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

که در آن:

• x > 0 متغیر تصادفی است
• k > 0 پارامتر شکل است
• θ > 0 پارامتر مقیاس است
• Γ(k) تابع گاما است

تابع توزیع تجمعی (CDF) به صورت زیر است:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

که γ(k, x/θ) تابع گامای ناقص پایین است.

ویژگی‌های کلیدی توزیع گاما شامل:

1. میانگین: $E[X] = k\theta$
2. واریانس: $Var[X] = k\theta^2$
3. چولگی: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. کشیدگی: $3 + \frac{6}{k}$

نحوه استفاده از این ماشین حساب

1. پارامتر شکل (k یا α) را وارد کنید
2. پارامتر مقیاس (θ یا β) را وارد کنید
3. روی "محاسبه" کلیک کنید تا ویژگی‌های مختلف توزیع گاما محاسبه شود
4. نتایج شامل میانگین، واریانس، چولگی، کشیدگی و اطلاعات مربوطه دیگر نمایش داده خواهد شد
5. یک تصویر از تابع چگالی احتمال نمایش داده خواهد شد

محاسبه

این ماشین حساب از فرمول‌های ذکر شده برای محاسبه ویژگی‌های مختلف توزیع گاما استفاده می‌کند. در اینجا یک توضیح مرحله به مرحله:

1. اعتبارسنجی پارامترهای ورودی (هر دو k و θ باید مثبت باشند)
2. محاسبه میانگین: $k\theta$
3. محاسبه واریانس: $k\theta^2$
4. محاسبه چولگی: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. محاسبه کشیدگی: $3 + \frac{6}{k}$
6. محاسبه مد: $(k-1)\theta$ برای k ≥ 1، در غیر این صورت 0
7. تولید نقاط برای منحنی PDF با استفاده از فرمول داده شده
8. ترسیم منحنی PDF

ملاحظات عددی

هنگام پیاده‌سازی محاسبات توزیع گاما، چندین ملاحظه عددی باید در نظر گرفته شود:

1. برای پارامترهای شکل بسیار کوچک (k < 1)، PDF می‌تواند به سمت بی‌نهایت نزدیک شود وقتی x به 0 نزدیک می‌شود، که ممکن است باعث ناپایداری عددی شود.
2. برای پارامترهای شکل بزرگ، تابع گاما Γ(k) می‌تواند بسیار بزرگ شود و احتمالاً باعث سرریز شود. در چنین مواردی، توصیه می‌شود با لگاریتم تابع گاما کار کنید.
3. هنگام محاسبه CDF، معمولاً پایدارتر است که از الگوریتم‌های تخصصی برای تابع گامای ناقص به جای ادغام مستقیم PDF استفاده کنید.
4. برای مقادیر پارامترهای افراطی، ممکن است لازم باشد از حساب دقیق گسترش‌یافته برای حفظ دقت استفاده کنید.

موارد استفاده

توزیع گاما کاربردهای متعددی در زمینه‌های مختلف دارد:

1. مالی: مدل‌سازی توزیع‌های درآمد، مقادیر ادعای بیمه و بازده دارایی
2. هواشناسی: تحلیل الگوهای بارش و سایر پدیده‌های مرتبط با آب و هوا
3. مهندسی: تحلیل قابلیت اطمینان و مدل‌سازی زمان‌های خرابی
4. فیزیک: توصیف زمان‌های انتظار بین رویدادهای تجزیه رادیواکتیو
5. زیست‌شناسی: مدل‌سازی فراوانی گونه‌ها و سطوح بیان ژن
6. تحقیق در عملیات: نظریه صف و مدیریت موجودی

جایگزین‌ها

در حالی که توزیع گاما چندمنظوره است، توزیع‌های مرتبطی وجود دارند که ممکن است در شرایط خاص مناسب‌تر باشند:

1. توزیع نمایی: یک مورد خاص از توزیع گاما زمانی که k = 1 است
2. توزیع کای-مربع: یک مورد خاص از توزیع گاما با k = n/2 و θ = 2
3. توزیع ویبول: اغلب به عنوان یک جایگزین در تحلیل قابلیت اطمینان استفاده می‌شود
4. توزیع لاگ‌نرمال: انتخاب رایج دیگری برای مدل‌سازی داده‌های مثبت و کج

برآورد پارامترها

هنگام کار با داده‌های واقعی، اغلب لازم است که پارامترهای توزیع گاما را برآورد کنیم. روش‌های متداول شامل:

1. روش لحظات: برابر کردن لحظات نمونه با لحظات نظری
2. برآورد حداکثر درست‌نمایی (MLE): یافتن پارامترهایی که احتمال مشاهده داده‌ها را حداکثر می‌کند
3. برآورد بیزی: گنجاندن دانش قبلی درباره پارامترها

آزمون فرضیه

توزیع گاما می‌تواند در آزمون‌های فرضیه مختلف استفاده شود، از جمله:

1. آزمون‌های خوبی-تناسب برای تعیین اینکه آیا داده‌ها از توزیع گاما پیروی می‌کنند
2. آزمون‌هایی برای برابری پارامترهای مقیاس بین دو توزیع گاما
3. آزمون‌هایی برای برابری پارامترهای شکل بین دو توزیع گاما

تاریخچه

توزیع گاما تاریخچه غنی‌ای در ریاضیات و آمار دارد:

• قرن 18: لئونارد اویلر تابع گاما را معرفی کرد که به شدت با توزیع گاما مرتبط است
• 1836: سیمئون دنی پواسن از یک مورد خاص از توزیع گاما در کار خود در نظریه احتمال استفاده کرد
• دهه 1920: رونالد فیشر استفاده از توزیع گاما را در تحلیل آماری محبوب کرد
• نیمه دوم قرن 20: توزیع گاما به‌طور گسترده‌ای در مهندسی قابلیت اطمینان و آزمایش عمر استفاده شد
• اواخر قرن 20 تا حال: پیشرفت‌های کامپیوتری کار با توزیع‌های گاما را در کاربردهای مختلف آسان‌تر کرده است

مثال‌ها

در اینجا چند مثال کد برای محاسبه ویژگی‌های توزیع گاما آورده شده است:

1' تابع VBA اکسل برای PDF توزیع گاما
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' استفاده:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'توزیع گاما (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('چگالی احتمال')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## استفاده مثال:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## محاسبه ویژگی‌ها
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"میانگین: {mean}")
29print(f"واریانس: {variance}")
30print(f"چولگی: {skewness}")
31print(f"کشیدگی: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`میانگین: ${mean}`);
19    console.log(`واریانس: ${variance}`);
20    console.log(`چولگی: ${skewness}`);
21    console.log(`کشیدگی: ${kurtosis}`);
22}
23
24// استفاده مثال:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// ترسیم PDF (با استفاده از یک کتابخانه ترسیم فرضی)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

این مثال‌ها نشان می‌دهند که چگونه ویژگی‌های توزیع گاما را محاسبه کرده و تابع چگالی احتمال آن را با استفاده از زبان‌های برنامه‌نویسی مختلف بصری‌سازی کنید. می‌توانید این توابع را به نیازهای خاص خود تنظیم کرده یا آنها را در سیستم‌های تحلیل آماری بزرگتر ادغام کنید.

منابع

1. "توزیع گاما." ویکی‌پدیا، بنیاد ویکی‌مدیا، https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. دسترسی 2 اوت 2024.
2. جانسون، ن. ل.، کاتز، س.، و بالاکریشنان، ن. (1994). توزیع‌های پیوسته یک‌متغیره، جلد 1 (جلد 1). جان وایلی و پسران.
3. فوربس، سی.، ایوانز، م.، هسینگس، ن.، و پیکاک، بی. (2011). توزیع‌های آماری. جان وایلی و پسران.
4. تام، ه. سی. اس. (1958). یادداشتی در مورد توزیع گاما. بررسی آب و هوای ماهانه، 86(4)، 117-122.
5. استیسی، ای. دابلیو. (1962). تعمیمی از توزیع گاما. مجله آمار ریاضی، 33(3)، 1187-1192.