محاسبه‌گر توزیع گاما - ابزار تحلیل آماری

ماشین‌حساب توزیع گاما چیست؟

ماشین‌حساب توزیع گاما میانگین، واریانس، چولگی، کشیدگی و نما را از دو ورودی به‌دست می‌آورد: پارامتر شکل و پارامتر مقیاس. همچنین تابع چگالی احتمال توزیع را به‌صورت یک منحنی رسم می‌کند.

توزیع گاما چیست؟

توزیع گاما یک توزیع احتمال پیوسته برای مقادیر مثبت است. این توزیع با دو پارامتر تعریف می‌شود: پارامتر شکل که معمولاً با k، و پارامتر مقیاس که معمولاً با θ (تتا) نوشته می‌شود. هر دو باید بزرگ‌تر از صفر باشند. از توزیع گاما برای مدل‌سازی کمیت‌هایی استفاده می‌شود که نمی‌توانند منفی باشند؛ مانند مجموع بارش، اندازه خسارت‌های بیمه‌ای و زمان تا ازکارافتادن یک قطعهٔ ماشین.

فرمول توزیع گاما

تابع چگالی احتمال (PDF) توزیع گاما چنین است:

f(x; k, θ) = x^(k−۱) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

در اینجا x مقداری است که چگالی در آن اندازه‌گیری می‌شود و Γ(k) تابع گاما است؛ تعمیمی از فاکتوریل برای اعداد غیرصحیح. این فرمول فقط برای x > ۰ برقرار است؛ چگالی در همهٔ نقاط دیگر صفر است.

نحوهٔ محاسبهٔ ویژگی‌های توزیع گاما

ماشین‌حساب با استفاده از پارامتر شکل k و پارامتر مقیاس θ موارد زیر را به‌دست می‌آورد:

• میانگین: k × θ
• واریانس: k × θ²
• چولگی: ۲ / √k
• کشیدگی: ۳ + ۶ / k
• نما: (k − ۱) × θ وقتی k ≥ ۱، وگرنه ۰

چولگی نشان می‌دهد منحنی تا چه اندازه نامتقارن است. مقدار کوچک‌تر k دنبالهٔ راستِ بلندتری ایجاد می‌کند. کشیدگی نشان می‌دهد دنباله‌ها در مقایسه با توزیع نرمال، که کشیدگی آن ۳ است، چقدر سنگین‌اند. نما مقدار x است که منحنی در آن به اوج خود می‌رسد. وقتی k کمتر از ۱ باشد، با نزدیک شدن x به ۰ چگالی همچنان افزایش می‌یابد؛ بنابراین اوج داخلی وجود ندارد و ماشین‌حساب نما را ۰ گزارش می‌کند.

مثال حل‌شده

پارامتر شکل را k = ۲ و پارامتر مقیاس را θ = ۳ در نظر بگیرید.

• میانگین = ۲ × ۳ = ۶
• واریانس = ۲ × ۳² = ۱۸
• چولگی = ۲ / √۲ ≈ ۱٫۴۱۴۲
• کشیدگی = ۳ + ۶ / ۲ = ۶
• نما = (۲ − ۱) × ۳ = ۳

در نما، یعنی x = ۳، مقدار چگالی برابر است با f(۳; ۲, ۳) = ۳¹ · e^(−۱) / (۳² · Γ(۲)) = (۳ × ۰٫۳۶۷۹) / ۹ ≈ ۰٫۱۲۲۶. ماشین‌حساب پس از وارد کردن هر دو پارامتر، کل منحنی را به‌طور خودکار رسم می‌کند.

نحوهٔ استفاده از ماشین‌حساب توزیع گاما

1. پارامتر شکل (k)، یعنی یک عدد مثبت، را وارد کنید.
2. پارامتر مقیاس (θ)، یعنی یک عدد مثبت، را وارد کنید.
3. به‌محض اینکه هر دو کادر شامل اعداد معتبر باشند، میانگین، واریانس، چولگی، کشیدگی و نما نمایش داده می‌شوند. دکمهٔ جداگانه‌ای برای محاسبه وجود ندارد؛ نتایج هم‌زمان با ورود اعداد به‌روزرسانی می‌شوند.
4. نمودار زیر نتایج، تابع چگالی احتمال را نشان می‌دهد. این نمودار از کمی بالاتر از x = ۰ تا هرکدام که بزرگ‌تر باشد رسم می‌شود: سه برابر میانگین یا پنج برابر پارامتر مقیاس.

هر دو پارامتر باید اعداد متناهیِ بزرگ‌تر از ۰ باشند و هیچ‌کدام نباید از ۱۰۰۰ بزرگ‌تر باشند. مقادیر کوچک‌تر از حدود 2 × 10⁻¹⁶ نیز پذیرفته نمی‌شوند، زیرا در این اندازه، اعداد خلاصه دیگر معنای قابل اتکایی ندارند. وارد کردن مقداری خارج از دامنهٔ پذیرفته‌شده، به‌جای نتایج، پیام خطا ایجاد می‌کند.

کاربردهای توزیع گاما

توزیع گاما بسیاری از کمیت‌های واقعی را که همیشه مثبت و اغلب دارای چولگی به راست هستند، مدل‌سازی می‌کند:

• بیمه: اندازهٔ خسارت‌ها و مبالغ پرداختی
• هواشناسی: مجموع بارش در یک دورهٔ ثابت
• مهندسی: زمان تا ازکارافتادن یک مؤلفه
• نظریهٔ صف: زمان‌های انتظار حاصل از چند مرحلهٔ نمایی
• زیست‌شناسی: سطوح بیان ژن و داده‌های شمارش گونه‌ها

توزیع‌های مرتبط

دو توزیع شناخته‌شده، حالت‌های خاصی از توزیع گاما هستند:

• توزیع نمایی: توزیع گاما با k = ۱
• توزیع کای‌دو: توزیع گاما با k = n/2 و θ = ۲، که در آن n تعداد درجات آزادی است

توزیع‌های ویبول و لگ‌نرمال گزینه‌های رایجی برای مدل‌سازی داده‌های مثبت و دارای چولگی هستند.

پرسش‌های متداول

توزیع گاما برای چه کاربردی استفاده می‌شود؟ این توزیع کمیت‌های پیوسته و مثبتی مانند زمان‌های انتظار، مقادیر بارش و خسارت‌های بیمه‌ای را مدل‌سازی می‌کند، به‌ویژه زمانی که داده‌ها به سمت مقادیر بزرگ‌تر متمایل باشند.

چگونه میانگین یک توزیع گاما را پیدا می‌کنید؟ پارامتر شکل را در پارامتر مقیاس ضرب کنید: میانگین = k × θ. برای k = ۲ و θ = ۳، میانگین برابر با ۶ است.

تفاوت پارامترهای شکل و مقیاس چیست؟ پارامتر شکل (k) فرم منحنی، از جمله چولگی آن، را کنترل می‌کند. پارامتر مقیاس (θ) منحنی را در راستای محور x کشیده یا فشرده می‌کند، بدون اینکه شکل پایهٔ آن تغییر کند.

توزیع گاما چه ارتباطی با توزیع نمایی دارد؟ توزیع نمایی همان توزیع گاما با پارامتر شکل k = ۱ است.

آیا توزیع گاما می‌تواند مقادیر منفی بگیرد؟ خیر. این توزیع فقط برای x > ۰ تعریف می‌شود. داده‌هایی که می‌توانند منفی باشند به توزیع دیگری، مانند توزیع نرمال، نیاز دارند.

آیا این ماشین‌حساب تابع توزیع تجمعی را محاسبه می‌کند؟ خیر. این ماشین‌حساب میانگین، واریانس، چولگی، کشیدگی و نما را محاسبه و تابع چگالی احتمال را رسم می‌کند. مقادیر احتمال تجمعی را ارائه نمی‌دهد.

منابع

1. "Gamma distribution." ویکی‌پدیا، بنیاد ویکی‌مدیا. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. جانسون، N. L.، کوتز، S.، و بالاکریشنان، N. (۱۹۹۴). توزیع‌های پیوستهٔ تک‌متغیره، جلد ۱. انتشارات جان وایلی و پسران.