محاسبه‌گر توزیع دوجمله‌ای - ابزار رایگان احتمالات

ماشین‌حساب توزیع دوجمله‌ای چیست؟

ماشین‌حساب توزیع دوجمله‌ای احتمال به‌دست‌آوردن تعداد دقیقی موفقیت را در تعداد ثابتی آزمایش مستقل پیدا می‌کند؛ زمانی که احتمال موفقیت در هر آزمایش یکسان باشد. این ابزار در آمار، کنترل کیفیت، پزشکی و هر حوزه‌ای که رویدادهای تکرارشونده بله یا خیر را بررسی می‌کند، به کار می‌رود.

ایده اصلی، توزیع دوجمله‌ای است؛ مدلی احتمالی برای شمارش موفقیت‌ها در آزمایش‌های تکرارشونده‌ای که فقط دو پیامد دارند و معمولاً موفقیت و شکست نامیده می‌شوند.

فرمول توزیع دوجمله‌ای

احتمال به‌دست‌آوردن دقیقاً k موفقیت در n آزمایش برابر است با:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

هر نماد به این معناست:

• n — تعداد آزمایش‌ها.
• k — تعداد موفقیت‌هایی که احتمال آن‌ها محاسبه می‌شود.
• p — احتمال موفقیت در یک آزمایش، عددی بین ۰ و ۱.
• $\binom{n}{k}$ — ضریب دوجمله‌ای، یعنی تعداد روش‌های متفاوت انتخاب k موفقیت از n آزمایش. مقدار آن برابر است با $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

هر آزمایش باید مستقل باشد؛ یعنی نتیجه یک آزمایش احتمال آزمایش دیگر را تغییر ندهد و احتمال موفقیت p در همه آزمایش‌ها ثابت بماند. یک آزمایش منفرد با دو پیامد ممکن، مانند یک بار پرتاب سکه، آزمایش برنولی نامیده می‌شود. توزیع دوجمله‌ای از جمع n آزمایش برنولی به‌دست می‌آید.

نحوه محاسبه احتمال دوجمله‌ای

1. n، k و p را یادداشت کنید.
2. ضریب دوجمله‌ای $\binom{n}{k}$، یعنی تعداد روش‌های قرار دادن k موفقیت در میان n آزمایش، را محاسبه کنید.
3. p را به توان k برسانید.
4. (۱ − p) را به توان (n − k) برسانید.
5. سه عدد را در یکدیگر ضرب کنید.

ماشین‌حساب این صفحه این مراحل را به‌طور خودکار انجام می‌دهد. n، p و k را وارد کنید تا P(X = k) را همراه با نمودار میله‌ای احتمال هر پیامد ممکن، از ۰ تا n موفقیت، نمایش دهد.

مثال حل‌شده

مثال ۱: پرتاب سکه

یک سکه عادلانه را ۱۰ بار پرتاب می‌کنیم. احتمال آن‌که دقیقاً ۳ بار شیر بیاید چقدر است؟

• n = ۱۰، p = ۰٫۵، k = ۳
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• نتیجه: ۱۲۰ × ۰٫۱۲۵ × ۰٫۰۰۷۸۱۲۵ ≈ ۰٫۱۱۷۲، یا حدود ۱۱٫۷۲٪

مثال ۲: کنترل کیفیت

یک کارخانه ۱۰۰ قطعه را بازرسی می‌کند. احتمال معیوب‌بودن هر قطعه ۲٪ است. احتمال آن‌که هیچ‌یک از ۱۰۰ قطعه معیوب نباشند چقدر است؟

• n = ۱۰۰، p = ۰٫۰۲، k = ۰
• چون k = ۰ است، فرمول به $(1-p)^n = 0.98^{100}$ ساده می‌شود.
• نتیجه: ≈ ۰٫۱۳۲۶، یا حدود ۱۳٫۲۶٪

مثال ۳: آزمایش بیماری

یک شهر ۱٬۰۰۰ نفر را برای بیماری‌ای آزمایش می‌کند که ۰٫۱٪ جمعیت را مبتلا می‌کند (p = ۰٫۰۰۱). احتمال آن‌که دقیقاً ۵ نفر از ۱٬۰۰۰ نفر مبتلا باشند چقدر است؟

• n = ۱۰۰۰، p = ۰٫۰۰۱، k = ۵
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• نتیجه: ۸٬۲۵۰٬۲۹۱٬۲۵۰٬۲۰۰ × 1e-15 × ۰٫۳۶۹۵ ≈ ۰٫۰۰۳۰۵، یا حدود ۰٫۳۰٪ (مقدار دقیق ۰٫۰۰۳۰۴۸۸، یعنی ۰٫۳۰۴۸۸٪)

میانگین و واریانس

برای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای n و p:

• میانگین (مقدار مورد انتظار): E(X) = np
• واریانس: Var(X) = np(۱ − p)
• انحراف معیار: σ = √[np(۱ − p)]

میانگین، تعداد متوسط موفقیت‌های مورد انتظار را در تکرارهای زیاد نشان می‌دهد. در مثال ۱، میانگین برابر است با ۱۰ × ۰٫۵ = ۵ بار شیر.

ماشین‌حساب چه ورودی‌هایی را می‌پذیرد؟

• n باید عددی صحیح و حداقل ۱ باشد. ورودی اعشاری به نزدیک‌ترین عدد صحیحِ تعداد آزمایش‌ها گرد می‌شود؛ بنابراین ۱۰٫۹ به‌صورت ۱۱ در نظر گرفته می‌شود.
• p باید بین ۰ و ۱ باشد؛ دو سر بازه نیز شامل می‌شوند.
• k باید عددی صحیح و حداقل ۰ باشد و نمی‌تواند از n بزرگ‌تر باشد. به‌دست‌آوردن ۸ موفقیت در ۵ آزمایش ناممکن است؛ بنابراین ماشین‌حساب به‌جای عدد، خطا گزارش می‌کند.

اگر هر کادر خالی بماند، ماشین‌حساب به‌جای حدس‌زدن مقدار، هیچ نتیجه یا نموداری نمایش نمی‌دهد.

چه زمانی توزیع دوجمله‌ای کاربرد دارد؟

توزیع دوجمله‌ای فقط زمانی با یک وضعیت سازگار است که هر چهار شرط زیر برقرار باشند:

1. تعداد آزمایش‌ها، n، از پیش ثابت باشد.
2. هر آزمایش فقط دو پیامد داشته باشد: موفقیت یا شکست.
3. احتمال موفقیت، p، در هر آزمایش یکسان باشد.
4. آزمایش‌ها از یکدیگر مستقل باشند.

برداشتن کارت از دسته بدون جایگزینی، شرط استقلال را نقض می‌کند؛ زیرا برداشتن یک کارت احتمال انتخاب کارت بعدی را تغییر می‌دهد. در این وضعیت باید از توزیع فوق‌هندسی استفاده کرد.

توزیع‌های مرتبط

• توزیع پواسون: برای تقریب‌زدن توزیع دوجمله‌ای زمانی به کار می‌رود که n بزرگ و p کوچک باشد، به‌طوری که تعداد متوسط موفقیت‌ها (np) در حد متوسط بماند. این توزیع برای مدل‌سازی رویدادهای نادر، مانند مورد بیماری در مثال ۳، رایج است.
• توزیع نرمال: برای n بزرگ، و زمانی که p خیلی به ۰ یا ۱ نزدیک نباشد، توزیع دوجمله‌ای تقریباً زنگوله‌ای‌شکل است و می‌توان آن را با توزیع نرمالی با میانگین np و واریانس np(۱ − p) تقریب زد.
• توزیع فوق‌هندسی: زمانی استفاده می‌شود که نمونه‌گیری از یک جامعه متناهی بدون جایگزینی انجام شود، نه توزیع دوجمله‌ای.

پرسش‌های متداول

ماشین‌حساب توزیع دوجمله‌ای چه کاری انجام می‌دهد؟

این ماشین‌حساب با استفاده از فرمول P(X = k) = C(n, k) × p^k × (۱ − p)^(n − k)، احتمال به‌دست‌آوردن دقیقاً k موفقیت را در n آزمایش مستقل، که احتمال موفقیت هرکدام p است، محاسبه می‌کند.

تفاوت توزیع دوجمله‌ای و نرمال چیست؟

توزیع دوجمله‌ای گسسته است؛ یعنی فقط تعدادهای صحیحِ موفقیت را تولید می‌کند. توزیع نرمال پیوسته است. برای n بزرگ، می‌توان توزیع دوجمله‌ای را با منحنی نرمالی با میانگین np و واریانس np(۱ − p) تقریب زد.

آیا p می‌تواند ۰ یا ۱ باشد؟

بله. اگر p = ۰ باشد، هیچ آزمایشی نمی‌تواند موفق شود؛ بنابراین P(X = ۰) = ۱. اگر p = ۱ باشد، همه آزمایش‌ها موفق می‌شوند؛ بنابراین P(X = n) = ۱. در این حالت‌ها احتمال همه مقادیر دیگر k برابر ۰ است.

رابطه بین توزیع‌های دوجمله‌ای و برنولی چیست؟

توزیع برنولی یک آزمایش منفرد با دو پیامد را توصیف می‌کند (n = ۱). توزیع دوجمله‌ای مجموع n آزمایش مستقل برنولی است؛ بنابراین توزیع برنولی همان توزیع دوجمله‌ای با n = ۱ است.

n پیش از نادقیق‌شدن ماشین‌حساب تا چه اندازه‌ای می‌تواند بزرگ باشد؟

ماشین‌حساب با حساب دودویی استانداردِ دو-دقتی کار می‌کند. سه بخش فرمول را مستقیماً در هم ضرب می‌کند و هنگامی که ضریب دوجمله‌ای از بزرگ‌ترین عدد قابل نگهداری در یک عدد دودویی دو-دقتی بیشتر شود، به لگاریتم‌ها روی می‌آورد؛ این وضعیت نزدیک n = ۱٬۰۰۰ و زمانی رخ می‌دهد که k به n/۲ نزدیک باشد. نتایج پس از این نقطه نیز درست می‌مانند. احتمالی کوچک‌تر از حدود 1e-308 به‌صورت ۰ گزارش می‌شود، زیرا هیچ عدد دودویی دو-دقتی نمی‌تواند آن را نگه دارد.

ضریب دوجمله‌ای چگونه محاسبه می‌شود؟

ضریب دوجمله‌ای C(n, k) تعداد روش‌های انتخاب k مورد از n مورد را، بدون توجه به ترتیب، می‌شمارد. مقدار آن برابر است با n! / (k! × (n − k)!). ماشین‌حساب آن را مرحله‌به‌مرحله می‌سازد؛ یک عامل را ضرب و عامل بعدی را تقسیم می‌کند، بنابراین نیازی نیست یک فاکتوریل کامل را ذخیره کند. برای nهای بسیار بزرگ، به‌جای آن لگاریتم این عوامل را با هم جمع می‌کند.

منابع

1. "Binomial Distribution." ویکی‌پدیا، بنیاد ویکیمدیا. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. راس، شلدون م. مقدمه‌ای بر مدل‌های احتمالاتی. انتشارات آکادمیک، ۲۰۱۴.
3. جانسون، نورمن ل. و دیگران. توزیع‌های گسسته. مجموعه وایلی در احتمال و آمار، ۲۰۰۵.