Calculateur d'Indices de Miller - Convertir les Intercepts de Plan Cristallin en (hkl)

Que sont les indices de Miller ?

Les indices de Miller sont un ensemble de trois entiers, écrits (h,k,l), qui identifient un plan dans un réseau cristallin. Un réseau cristallin est l’organisation régulière et répétitive des atomes d’un matériau solide. Les indices de Miller indiquent précisément quelle section de ce réseau représente un plan, sans devoir en décrire la géométrie avec des mots. Ils ont été introduits par le minéralogiste britannique William Hallowes Miller en 1839 et restent aujourd’hui la notation standard en cristallographie.

Ce calculateur convertit les intersections d’un plan avec les axes cristallographiques x, y et z en ses indices de Miller (h,k,l).

Formule des indices de Miller

Les indices de Miller sont obtenus à partir des inverses des intersections du plan avec les axes. Si un plan coupe les axes x, y et z à des distances a, b et c de l’origine, les indices vérifient :

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Comment calculer les indices de Miller à partir des intersections

1. Repérez où le plan coupe chaque axe, en mesurant les distances en unités de l’arête de la maille élémentaire. Appelez ces intersections a, b et c.
2. Prenez l’inverse de chaque intersection : 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multipliez les trois inverses par un même nombre afin que chacun devienne un entier.
4. Divisez les trois entiers par leur plus grand diviseur commun, afin qu’ils ne puissent plus être réduits.

Les trois entiers obtenus sont h, k et l. Un plan qui ne coupe jamais un axe est considéré comme le coupant à l’infini, et 1 divisé par l’infini vaut 0 ; l’indice de Miller associé à cet axe est donc 0.

Exemple détaillé

Un plan coupe l’axe x en 2, l’axe y en 3 et l’axe z en 6.

1. Intersections : (2, 3, 6)
2. Inverses : (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multipliez par le plus petit multiple commun des dénominateurs, 6 : (3, 2, 1)
4. Le plus grand diviseur commun de 3, 2 et 1 est 1 ; les nombres ne peuvent donc plus être réduits.

Les indices de Miller sont (321).

Autres exemples

• Un plan passant par (1, ∞, 2) — parallèle à l’axe y — a pour inverses (1, 0, 1/2). La multiplication par 2 donne (2, 0, 1). Le 0 indique que le plan ne coupe jamais l’axe y.
• Un plan passant par (-1, 2, 3) a pour inverses (-1, 1/2, 1/3). La multiplication par 6 donne (-6, 3, 2), généralement écrit (6̄32), avec une barre au-dessus de l’indice négatif.
• Un plan passant par (1, ∞, ∞) a pour inverses (1, 0, 0), ce qui donne (100). Il s’agit de l’une des six faces d’un cube.

Cas particuliers

Un plan parallèle à un axe ne le coupe jamais ; l’intersection est donc considérée comme infinie et son indice de Miller vaut 0. Un plan qui coupe un axe du côté négatif de l’origine reçoit un indice négatif, écrit avec une barre au-dessus du nombre dans la notation formelle, ou avec un signe moins en texte courant. Un plan passant par l’origine elle-même n’a pas d’indices de Miller définis, car toute famille de plans parallèles dans un réseau doit être décalée par rapport à l’origine pour être indexée ; il faut déplacer l’origine avant de pouvoir décrire un tel plan. Les intersections fractionnaires sont traitées de la même manière que les intersections entières : prenez l’inverse de chacune, puis éliminez les fractions.

Les indices sont toujours réduits aux plus petits entiers possibles. (622) et (311) décrivent la même famille de plans, mais les cristallographes écrivent toujours (311).

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les intersections du plan avec les axes x, y et z.

• Utilisez un nombre positif pour une intersection du côté positif de l’origine, et un nombre négatif pour le côté négatif.
• Saisissez « infinity », « inf » ou « ∞ » pour un plan parallèle à un axe.
• Une intersection nulle n’est pas acceptée, car un plan passant par l’origine ne peut pas recevoir d’indices de Miller avec cette méthode.

Le calculateur calcule instantanément les indices et affiche un schéma du plan à l’intérieur de la maille élémentaire.

Applications des indices de Miller

Diffraction des rayons X. Chaque tache ou chaque pic d’un diagramme de diffraction des rayons X correspond à une famille de plans réticulaires caractérisée par un (hkl) donné. La loi de Bragg relie l’espacement de ces plans à l’angle de diffraction :

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Ici, d_hkl est la distance entre les plans (h,k,l), λ est la longueur d’onde des rayons X et θ est l’angle de diffraction. La mise en correspondance des pics observés avec les valeurs (hkl), appelée indexation, constitue une étape fondamentale de l’identification d’une structure cristalline inconnue.

Science des matériaux. Les différents plans cristallins exposent des arrangements atomiques différents ; ils présentent donc des énergies de surface et des vitesses de réaction chimique différentes, et jouent des rôles distincts dans la déformation des métaux. Dans les métaux à structure cubique à faces centrées, comme l’aluminium, les plans atomiques glissent les uns par rapport aux autres le plus facilement le long des plans {111}. Les plaquettes de silicium destinées aux puces électroniques sont généralement découpées suivant le plan (100) ou (111), car ce choix influence le comportement des étapes de fabrication ultérieures.

Minéralogie. Les faces planes visibles sur un cristal naturel et les directions selon lesquelles un minéral se fracture nettement (son clivage) correspondent toutes deux à des plans spécifiques de faible indice. L’halite (sel de table) se clive suivant les plans {100}, tandis que la fluorine se clive suivant les plans {111}.

Indices de Miller-Bravais pour les cristaux hexagonaux

Les cristaux hexagonaux, comme le magnésium, le zinc et le titane, sont généralement décrits par un système à quatre indices (hkil), plutôt que par trois. L’indice supplémentaire i n’est pas indépendant ; il vérifie toujours i = -(h+k). Cette forme permet de voir plus facilement que deux plans appartiennent à la même famille de plans équivalents par symétrie, ce qui n’est pas toujours évident avec la notation de Miller à trois indices dans un réseau hexagonal.

Historique

Les indices de Miller ont été introduits par William Hallowes Miller dans son ouvrage de 1839, A Treatise on Crystallography. Des systèmes antérieurs d’identification des faces cristallines existaient déjà, mais la méthode de Miller, fondée sur les inverses des intersections, permettait de traiter facilement les plans parallèles à un axe, puisque leur intersection est infinie et que son inverse vaut simplement 0. Après la découverte par Max von Laue de la diffraction des rayons X par les cristaux en 1912, William Henry Bragg et William Lawrence Bragg ont montré que les indices de Miller décrivent exactement les plans responsables des pics de diffraction ; ils ont partagé le 1915 prix Nobel de physique pour ces travaux.

Foire aux questions

À quoi servent les indices de Miller ? Ils identifient des plans spécifiques dans un réseau cristallin. Ils servent à indexer les pics de diffraction des rayons X et des électrons, à décrire les plans de glissement dans les métaux, à préciser l’orientation des plaquettes de semi-conducteurs et à désigner les faces et les plans de clivage des minéraux.

Que signifie un zéro dans un indice de Miller ? Cela signifie que le plan est parallèle à cet axe et ne le coupe jamais. Par exemple, (201) est parallèle à l’axe y.

Que signifient les indices de Miller négatifs ? Ils signifient que le plan coupe l’axe du côté négatif de l’origine. Un indice négatif s’écrit avec une barre au-dessus du nombre, comme dans (2̄11), ou avec un signe moins, comme dans (-2,1,1).

Pourquoi un plan passant par l’origine ne peut-il pas avoir d’indices de Miller ? Les indices de Miller proviennent de l’inverse d’une intersection. Un plan passant par l’origine coupe chaque axe en 0, et 1/0 n’est pas défini ; la méthode ne peut donc pas attribuer d’indices, à moins de déplacer le plan.

Quelle est la différence entre les indices de Miller et les indices de Miller-Bravais ? Les indices de Miller (hkl) utilisent trois nombres et fonctionnent pour tout système cristallin. Les indices de Miller-Bravais (hkil) ajoutent un quatrième indice dépendant et sont utilisés principalement pour les cristaux hexagonaux, où ils facilitent l’identification des plans équivalents par symétrie.

Quel est le lien entre l’espacement des plans et les indices de Miller ? Dans un cristal cubique d’arête a, la distance entre deux plans (hkl) adjacents est d = a / √(h² + k² + l²). Les plans de plus grands indices sont plus rapprochés. Les autres systèmes cristallins utilisent une formule similaire mais plus complexe, qui tient compte de longueurs d’axes inégales et d’angles qui ne sont pas égaux à 90°.

Références

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge : J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., et Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4e éd.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., et Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3e éd.). Pearson Education.
5. Union internationale de cristallographie. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.