Calculez les indices de Miller à partir des intercepts des plans cristallins avec cet outil facile à utiliser. Essentiel pour la cristallographie, la science des matériaux et les applications en physique de l'état solide.
Entrez les intercepts du plan cristallin avec les axes x, y et z. Utilisez '0' pour les plans parallèles à un axe (intercept à l'infini).
Entrez un nombre ou 0 pour l'infini
Entrez un nombre ou 0 pour l'infini
Entrez un nombre ou 0 pour l'infini
Les indices de Miller pour ce plan sont :
Les indices de Miller sont un système de notation utilisé en cristallographie pour spécifier des plans et des directions dans les réseaux cristallins.
Pour calculer les indices de Miller (h,k,l) à partir des intercepts (a,b,c) :
1. Prenez les réciproques des intercepts : (1/a, 1/b, 1/c) 2. Convertissez en le plus petit ensemble d'entiers avec le même rapport 3. Si un plan est parallèle à un axe (intercept = infini), son indice de Miller correspondant est 0
Le calculateur d'indices de Miller est un puissant outil en ligne pour les cristallographes, les scientifiques des matériaux et les étudiants afin de déterminer les indices de Miller des plans cristallins. Les indices de Miller sont un système de notation utilisé en cristallographie pour spécifier les plans et les directions dans les réseaux cristallins. Ce calculateur d'indices de Miller vous permet de convertir facilement les intercepts d'un plan cristallin avec les axes de coordonnées en les indices de Miller correspondants (hkl), fournissant une manière standardisée d'identifier et de communiquer sur des plans cristallins spécifiques.
Les indices de Miller sont fondamentaux pour comprendre les structures cristallines et leurs propriétés. En représentant les plans par un ensemble simple de trois entiers (h,k,l), les indices de Miller permettent aux scientifiques d'analyser les schémas de diffraction des rayons X, de prédire les comportements de croissance cristalline, de calculer l'espacement interplan et d'étudier diverses propriétés physiques qui dépendent de l'orientation cristallographique.
Les indices de Miller sont un ensemble de trois entiers (h,k,l) qui définissent une famille de plans parallèles dans un réseau cristallin. Ces indices sont dérivés des réciproques des intercepts fractionnaires qu'un plan fait avec les axes cristallographiques. La notation des indices de Miller fournit une manière standardisée d'identifier des plans cristallins spécifiques au sein d'une structure cristalline, ce qui est essentiel pour les applications en cristallographie et en science des matériaux.
Pour calculer les indices de Miller (h,k,l) d'un plan cristallin, suivez ces étapes mathématiques en utilisant notre calculateur d'indices de Miller :
Mathématiquement, cela peut être exprimé comme :
Où :
Plusieurs cas spéciaux et conventions sont importants à comprendre :
Intercepts à l'Infini : Si un plan est parallèle à un axe, son intercept est considéré comme infini, et l'indice de Miller correspondant devient zéro.
Indices Négatifs : Si un plan coupe un axe du côté négatif de l'origine, l'indice de Miller correspondant est négatif, noté avec une barre au-dessus du nombre dans la notation cristallographique, par exemple, (h̄kl).
Intercepts Fractionnaires : Si les intercepts sont fractionnaires, ils sont convertis en entiers en multipliant par le plus petit multiple commun.
Simplification : Les indices de Miller sont toujours réduits au plus petit ensemble d'entiers qui maintient le même ratio.
Notre calculateur d'indices de Miller fournit un moyen simple de déterminer les indices de Miller pour tout plan cristallin. Voici comment utiliser le calculateur d'indices de Miller :
Entrez les Intercepts : Saisissez les valeurs où le plan coupe les axes x, y et z.
Voir les Résultats : Le calculateur calculera automatiquement et affichera les indices de Miller (h,k,l) pour le plan spécifié.
Visualiser le Plan : Le calculateur inclut une visualisation 3D pour vous aider à comprendre l'orientation du plan dans le réseau cristallin.
Copier les Résultats : Utilisez le bouton "Copier dans le Presse-papiers" pour transférer facilement les indices de Miller calculés vers d'autres applications.
Passons en revue un exemple :
Supposons qu'un plan coupe les axes x, y et z aux points 2, 3 et 6 respectivement.
Les indices de Miller ont de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques et d'ingénierie, rendant le calculateur d'indices de Miller essentiel pour :
Les indices de Miller sont essentiels pour interpréter les schémas de diffraction des rayons X. L'espacement entre les plans cristallins, identifiés par leurs indices de Miller, détermine les angles auxquels les rayons X sont diffractés, suivant la loi de Bragg :
Où :
Analyse de l'Énergie de Surface : Différents plans cristallographiques ont différentes énergies de surface, affectant des propriétés telles que la croissance cristalline, la catalyse et l'adhésion.
Propriétés Mécaniques : L'orientation des plans cristallins influence les propriétés mécaniques telles que les systèmes de glissement, les plans de clivage et le comportement de fracture.
Fabrication de Semiconducteurs : Dans la fabrication de semiconducteurs, des plans cristallins spécifiques sont sélectionnés pour la croissance épitaxiale et la fabrication de dispositifs en raison de leurs propriétés électroniques.
Analyse de Texture : Les indices de Miller aident à caractériser les orientations préférées (texture) dans les matériaux polycristallins, ce qui affecte leurs propriétés physiques.
Les géologues utilisent les indices de Miller pour décrire les faces cristallines et les plans de clivage dans les minéraux, aidant à l'identification et à la compréhension des conditions de formation.
Les indices de Miller sont des concepts fondamentaux enseignés dans les cours de science des matériaux, de cristallographie et de physique de l'état solide, rendant ce calculateur un outil éducatif précieux.
Bien que les indices de Miller soient la notation la plus largement utilisée pour les plans cristallins, plusieurs systèmes alternatifs existent :
Indices de Miller-Bravais : Une notation à quatre indices (h,k,i,l) utilisée pour les systèmes cristallins hexagonaux, où i = -(h+k). Cette notation reflète mieux la symétrie des structures hexagonales.
Symboles de Weber : Utilisés principalement dans la littérature ancienne, en particulier pour décrire les directions dans les cristaux cubiques.
Vecteurs de Réseau Directs : Dans certains cas, les plans sont décrits en utilisant les vecteurs de réseau directs plutôt que les indices de Miller.
Positions de Wyckoff : Pour décrire les positions atomiques au sein des structures cristallines plutôt que les plans.
Malgré ces alternatives, les indices de Miller restent la notation standard en raison de leur simplicité et de leur applicabilité universelle à tous les systèmes cristallins.
Le système des indices de Miller a été développé par le minéralogiste et cristallographe britannique William Hallowes Miller en 1839, publié dans son traité "A Treatise on Crystallography". La notation de Miller s'est appuyée sur des travaux antérieurs d'Auguste Bravais et d'autres, mais a fourni une approche plus élégante et mathématiquement cohérente.
Avant le système de Miller, diverses notations étaient utilisées pour décrire les faces cristallines, y compris les paramètres de Weiss et les symboles de Naumann. L'innovation de Miller a été d'utiliser les réciproques des intercepts, ce qui a simplifié de nombreux calculs cristallographiques et a fourni une représentation plus intuitive des plans parallèles.
L'adoption des indices de Miller s'est accélérée avec la découverte de la diffraction des rayons X par Max von Laue en 1912 et le travail ultérieur de William Lawrence Bragg et William Henry Bragg. Leurs recherches ont démontré l'utilité pratique des indices de Miller dans l'interprétation des schémas de diffraction et la détermination des structures cristallines.
Tout au long du 20ème siècle, alors que la cristallographie devenait de plus en plus importante dans la science des matériaux, la physique de l'état solide et la biochimie, les indices de Miller se sont fermement établis comme la notation standard. Aujourd'hui, ils restent essentiels dans les techniques modernes de caractérisation des matériaux, la cristallographie computationnelle et la conception de nanomatériaux.
1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5 """
6 Calculer les indices de Miller à partir des intercepts
7
8 Args:
9 intercepts: Liste de trois intercepts [a, b, c]
10
11 Returns:
12 Liste de trois indices de Miller [h, k, l]
13 """
14 # Gérer les intercepts à l'infini (parallèle à l'axe)
15 reciprocals = []
16 for intercept in intercepts:
17 if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18 reciprocals.append(0)
19 else:
20 reciprocals.append(1 / intercept)
21
22 # Trouver les valeurs non nulles pour le calcul du PGCD
23 non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24
25 if not non_zero:
26 return [0, 0, 0]
27
28 # Échelle pour obtenir des entiers raisonnables (éviter les problèmes de flottement)
29 scale = 1000
30 scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31
32 # Trouver le PGCD
33 gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34
35 # Convertir en plus petits entiers
36 miller_indices = []
37 for r in reciprocals:
38 if r == 0:
39 miller_indices.append(0)
40 else:
41 miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42
43 return miller_indices
44
45# Exemple d'utilisation
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Indices de Miller pour les intercepts {intercepts}: {indices}") # Sortie: [3, 2, 1]
491function gcd(a, b) {
2 a = Math.abs(a);
3 b = Math.abs(b);
4
5 while (b !== 0) {
6 const temp = b;
7 b = a % b;
8 a = temp;
9 }
10
11 return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15 return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19 // Gérer les intercepts à l'infini
20 const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21 if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22 return 0;
23 }
24 return 1 / intercept;
25 });
26
27 // Trouver les valeurs non nulles pour le calcul du PGCD
28 const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29
30 if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31 return [0, 0, 0];
32 }
33
34 // Échelle pour obtenir des entiers (éviter les problèmes de flottement)
35 const scale = 1000;
36 const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37
38 // Trouver le PGCD
39 const divisor = gcdMultiple(scaled);
40
41 // Convertir en plus petits entiers
42 const millerIndices = reciprocals.map(val =>
43 val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44 );
45
46 return millerIndices;
47}
48
49// Exemple
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Indices de Miller pour les intercepts ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Sortie: Indices de Miller pour les intercepts 2,3,6: (3,2,1)
54import java.util.Arrays; public class MillerIndicesCalculator { public static int gcd(int a, int b) { a = Math.abs(a); b = Math.abs(b); while (b != 0) { int temp = b; b = a % b; a = temp; } return a;
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