Calculateur de valeur critique | test Z, test t, khi carré

Une valeur critique est le point de coupure d'une loi de probabilité qui marque la limite de la « région de rejet » dans un test d'hypothèse. Si une statistique de test dépasse la valeur critique, le résultat est considéré comme statistiquement significatif et l'hypothèse nulle est rejetée. Ce calculateur trouve les valeurs critiques des trois tests les plus courants : le test Z, le test t et le test du khi carré.

Qu'est-ce qu'une valeur critique ?

En statistique, les chercheurs commencent souvent par une hypothèse nulle, c'est-à-dire l'hypothèse simple selon laquelle rien d'inhabituel ne se produit (par exemple, un nouveau médicament n'a aucun effet). Une statistique de test est calculée à partir des données d'un échantillon, puis comparée à une valeur critique afin de déterminer si les données fournissent suffisamment d'éléments contre l'hypothèse nulle.

La valeur critique dépend de trois éléments : le test choisi, le seuil de signification (noté α, la lettre grecque alpha) et le fait que le test soit unilatéral ou bilatéral. Le seuil de signification est la probabilité de rejeter à tort une hypothèse nulle vraie. Il est souvent fixé à 0,05 (5 %) ou 0,01 (1 %).

Un test unilatéral recherche un effet dans une seule direction, par exemple « supérieur à ». Il possède une seule valeur critique. Un test bilatéral recherche un effet dans l'une ou l'autre direction et possède deux valeurs critiques, une de chaque côté de la distribution.

Comment calculer une valeur critique

1. Choisir le test : test Z (grands échantillons ou variance de la population connue), test t (petits échantillons avec variance inconnue) ou test du khi carré (données catégorielles ou test d'ajustement).
2. Choisir le type de test : unilatéral ou bilatéral.
3. Choisir le seuil de signification α, un nombre compris entre 0 et 1. Les valeurs courantes sont 0,10, 0,05 et 0,01.
4. Pour un test t ou un test du khi carré, saisir les degrés de liberté (df). Pour un test t, df est égal à la taille de l'échantillon moins 1. Pour un test d'ajustement du khi carré, df est égal au nombre de catégories moins 1.
5. Rechercher (ou calculer) la valeur qui délimite la zone de probabilité choisie sous la courbe de distribution. Cette valeur est la valeur critique.

Formules des valeurs critiques

Chaque formule utilise l'inverse d'une fonction de répartition cumulative : la valeur de x pour laquelle l'aire sous la courbe jusqu'à x est égale à une probabilité cible p.

Formule du test Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilatéral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilatéral)}$

Φ⁻¹ est l'inverse de la fonction de répartition cumulative normale standard.

Formule du test t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilatéral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilatéral)}$

t⁻¹(p, df) est l'inverse de la fonction de répartition cumulative de la loi t avec df degrés de liberté.

Formule du test du khi carré

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilatéral)}$ $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilatéral)}$

La loi du khi carré ne prend que des valeurs positives. Les deux valeurs critiques sont donc positives, et la valeur inférieure est plus petite que la valeur supérieure.

Exemple : valeur critique d'un test Z

Une équipe de contrôle qualité souhaite obtenir une valeur critique pour un test Z unilatéral avec α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Toute statistique de test supérieure à 1,6449 appartient à la région de rejet.

Exemple : valeur critique d'un test t

Un chercheur réalise une expérience avec 20 participants, donc df = 19. Il souhaite une valeur critique bilatérale avec α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Les régions de rejet sont t < -2,8609 et t > 2,8609.

Exemple : valeurs critiques du khi carré

Un analyste compare les effectifs observés et attendus dans 5 catégories, donc df = 4. Il souhaite des valeurs critiques bilatérales avec α = 0,05.

$\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Une statistique du khi carré inférieure à 0,4844 ou supérieure à 11,1433 appartiendrait à la région de rejet.

Valeurs critiques courantes

À mesure que les degrés de liberté augmentent, les valeurs critiques de la loi t diminuent et se rapprochent des valeurs correspondantes du test Z, car la loi t se rapproche de la loi normale.

Foire aux questions

À quoi sert une valeur critique ?
Elle définit la limite permettant de déterminer si une statistique de test est suffisamment extrême pour rejeter l'hypothèse nulle. Si la statistique franchit la valeur critique, le résultat est statistiquement significatif au seuil α choisi.

Quelle est la différence entre une valeur critique unilatérale et une valeur critique bilatérale ?
Un test unilatéral recherche un effet dans une seule direction et possède une seule valeur critique. Un test bilatéral recherche un effet dans l'une ou l'autre direction et possède deux valeurs critiques, placées symétriquement autour du centre pour les tests Z et t. Pour un même α, la valeur critique bilatérale est plus grande en valeur absolue que la valeur critique unilatérale, car la même probabilité totale est répartie entre deux extrémités au lieu d'une seule.

Quand faut-il utiliser un test Z plutôt qu'un test t ?
Un test Z est utilisé lorsque la variance de la population est connue ou lorsque l'échantillon est grand, généralement avec au moins 30 observations. Un test t est utilisé pour les échantillons plus petits lorsque la variance de la population est inconnue. À mesure que la taille de l'échantillon augmente, les valeurs critiques du test t convergent vers celles du test Z.

Une valeur critique peut-elle être négative ?
Oui. Les distributions des tests Z et t sont symétriques autour de zéro. Un test bilatéral possède donc une valeur critique négative et une valeur critique positive. Les valeurs critiques du khi carré sont toujours positives, car la loi du khi carré n'est définie que pour des valeurs supérieures ou égales à zéro.

Comment les degrés de liberté influencent-ils une valeur critique ?
Les degrés de liberté mesurent la quantité d'informations indépendantes présentes dans les données. Ils correspondent généralement à la taille de l'échantillon moins le nombre de paramètres déjà estimés. Un faible nombre de degrés de liberté produit des distributions plus étalées, avec des extrémités plus lourdes, ainsi que des valeurs critiques plus grandes. Un nombre élevé de degrés de liberté rapproche les lois t et du khi carré de la loi normale.

Quelle valeur critique correspond à un niveau de confiance de 95 % ?
Un niveau de confiance de 95 % utilise α = 0,05. Pour un test Z bilatéral, les valeurs critiques sont ±1,9600. Pour un test Z unilatéral, la valeur critique est 1,6449.

Historique

Karl Pearson a introduit le test du khi carré en 1900. William Sealy Gosset, qui publiait sous le nom de « Student », a élaboré la loi t en 1908 pour traiter les petits échantillons à la brasserie Guinness. Ronald Fisher a formalisé les tests de signification et les valeurs critiques dans les années 1920, dans son ouvrage Statistical Methods for Research Workers. Avant l'apparition des ordinateurs, les chercheurs recherchaient les valeurs critiques dans des tables imprimées. Les calculatrices et les logiciels les calculent désormais directement à partir des formules des lois.

Références

1. Pearson, K. (1900). « On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. » Philosophical Magazine, série 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). « The probable error of a mean. » Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Édimbourg : Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, « Critical Values ».