Calculateur de Valeur Critique | Test Z, Test t, Chi-Carré

Une valeur critique est le seuil, sur une loi de probabilité, qui marque la limite de la « région de rejet » dans un test d'hypothèse. Si la statistique de test dépasse la valeur critique, le résultat est jugé statistiquement significatif et l'hypothèse nulle est rejetée. Ce calculateur détermine les valeurs critiques pour les trois tests les plus courants : le test Z, le test t et le test du khi-deux.

Qu'est-ce qu'une valeur critique ?

En statistique, les chercheurs partent souvent d'une hypothèse nulle, une supposition simple selon laquelle il ne se passe rien d'inhabituel (par exemple, qu'un nouveau médicament n'a aucun effet). Une statistique de test est calculée à partir des données d'un échantillon, puis comparée à une valeur critique pour décider si les données fournissent assez de preuves contre l'hypothèse nulle.

La valeur critique dépend de trois éléments : le choix du test, le niveau de signification (noté α, la lettre grecque alpha) et le caractère unilatéral ou bilatéral du test. Le niveau de signification est la probabilité de rejeter à tort une hypothèse nulle vraie ; il est souvent fixé à 0,05 (5 %) ou à 0,01 (1 %).

Un test unilatéral recherche un effet dans un seul sens, par exemple « supérieur à ». Il a une seule valeur critique. Un test bilatéral recherche un effet dans l'un ou l'autre sens et a deux valeurs critiques, une de chaque côté de la distribution.

Comment calculer une valeur critique

1. Choisissez le test : test Z (grands échantillons ou variance de la population connue), test t (petits échantillons de variance inconnue) ou test du khi-deux (données catégorielles ou test d'adéquation (qualité de l'ajustement)).
2. Choisissez le type de test : unilatéral ou bilatéral.
3. Choisissez le niveau de signification α, un nombre compris entre 0 et 1. Les choix courants sont 0,10, 0,05 et 0,01.
4. Pour un test t ou un test du khi-deux, saisissez les degrés de liberté (ddl). Pour un test t, les ddl valent la taille de l'échantillon moins 1. Pour un test d'adéquation du khi-deux, les ddl valent le nombre de catégories moins 1.
5. Cherchez (ou calculez) la valeur qui délimite l'aire de queue choisie sous la courbe de la distribution. C'est la valeur critique.

Formules des valeurs critiques

Chaque formule utilise l'inverse d'une fonction de répartition : la valeur de x pour laquelle l'aire sous la courbe jusqu'à x est égale à une probabilité cible p.

Formule du test Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilatéral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilatéral)}$

Φ⁻¹ est l'inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Formule du test t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilatéral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilatéral)}$

t⁻¹(p, ddl) est l'inverse de la fonction de répartition de la loi de Student à ddl degrés de liberté.

Formule du test du khi-deux

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilatéral)}$ $\chi^2_{\text{inférieure}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{supérieure}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilatéral)}$

La loi du khi-deux ne prend que des valeurs positives ; les deux valeurs critiques sont donc positives, et la valeur inférieure est plus petite que la valeur supérieure.

Exemple : valeur critique du test Z

Une équipe de contrôle qualité veut la valeur critique d'un test Z unilatéral à α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Toute statistique de test supérieure à 1,6449 se situe dans la région de rejet.

Exemple : valeur critique du test t

Un chercheur mène une expérience avec 20 participants, donc ddl = 19. Il veut la valeur critique bilatérale à α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Les régions de rejet sont t < -2,8609 et t > 2,8609.

Exemple : valeurs critiques du khi-deux

Un analyste compare des effectifs observés et attendus sur 5 catégories, donc ddl = 4. Il veut les valeurs critiques bilatérales à α = 0,05.

$\chi^2_{\text{inférieure}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{supérieure}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Une statistique du khi-deux inférieure à 0,4844 ou supérieure à 11,1433 se situerait dans la région de rejet.

Valeurs critiques courantes

Lorsque les degrés de liberté augmentent, les valeurs critiques de la loi de Student se rapprochent des valeurs du test Z correspondantes, car la loi de Student tend vers la loi normale.

Foire aux questions

À quoi sert une valeur critique ? Elle fixe la limite qui permet de décider si une statistique de test est assez extrême pour rejeter l'hypothèse nulle. Si la statistique franchit la valeur critique, le résultat est statistiquement significatif au niveau α choisi.

Quelle est la différence entre une valeur critique unilatérale et une valeur critique bilatérale ? Un test unilatéral recherche un effet dans un seul sens et a une seule valeur critique. Un test bilatéral recherche un effet dans l'un ou l'autre sens et a deux valeurs critiques, placées symétriquement autour du centre pour le test Z et le test t. Pour un même α, une valeur critique bilatérale est plus grande en valeur absolue qu'une valeur unilatérale, car la même probabilité totale est répartie sur deux queues au lieu d'une.

Quand utiliser un test Z plutôt qu'un test t ? On utilise un test Z lorsque la variance de la population est connue ou que l'échantillon est grand, en général 30 observations ou plus. On utilise un test t pour les échantillons plus petits dont la variance de la population est inconnue. À mesure que la taille de l'échantillon augmente, les valeurs critiques du test t convergent vers celles du test Z.

Une valeur critique peut-elle être négative ? Oui. Les lois du test Z et du test t sont symétriques autour de zéro ; un test bilatéral a donc une valeur critique négative et une positive. Les valeurs critiques du khi-deux sont toujours positives, car la loi du khi-deux n'est définie que pour les valeurs supérieures ou égales à zéro.

Comment les degrés de liberté influencent-ils une valeur critique ? Les degrés de liberté mesurent la quantité d'information indépendante contenue dans les données, en général la taille de l'échantillon moins le nombre de paramètres déjà estimés. Moins il y a de degrés de liberté, plus les distributions sont larges, à queues lourdes, et plus les valeurs critiques sont grandes. Plus il y a de degrés de liberté, plus la loi de Student et la loi du khi-deux se rapprochent de la loi normale.

Quelle valeur critique correspond à un niveau de confiance de 95 % ? Un niveau de confiance de 95 % correspond à α = 0,05. Pour un test Z bilatéral, les valeurs critiques sont ±1,9600. Pour un test Z unilatéral, la valeur critique est 1,6449.

Historique

Karl Pearson a introduit le test du khi-deux en 1900. William Sealy Gosset, qui publiait sous le nom de « Student », a mis au point la loi de Student en 1908 pour traiter les petits échantillons à la brasserie Guinness. Ronald Fisher a formalisé les tests de signification et les valeurs critiques dans les années 1920, dans son livre Statistical Methods for Research Workers. Avant les ordinateurs, les chercheurs consultaient des tables imprimées de valeurs critiques ; les calculatrices et les logiciels les calculent désormais directement à partir des formules des distributions.

Références

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.1: Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Table de la loi normale centrée réduite du NIST : valeurs critiques ±1,282, ±1,645, ±1,960, ±2,326, ±2,576.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.2: Critical Values of the Student's t Distribution. Table de la loi de Student du NIST : ddl 10 : 1,812 et 2,228 ; ddl 19 : 2,861 à 0,995 ; ddl 30 : 1,697 et 2,042.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.4: Critical Values of the Chi-Square Distribution. Table du khi-deux du NIST : ddl 4 : 0,484 et 11,143 ; ddl 9 : 2,700 et 19,023.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Karl Pearson. Biographie de Karl Pearson : le test de signification statistique du khi-deux (1900).
5. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. William Gosset. Biographie de William Gosset : écrivait sous le nom de "Student" ; a inventé le test t pour traiter les petits échantillons dans le contrôle de qualité de la brasserie Guinness.
6. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. R A Fisher. Biographie de R A Fisher : Statistical Methods for Research Workers (1925).