Calculateur du Test Exact de Fisher - Outil Statistique Gratuit

Qu’est-ce que le test exact de Fisher ?

Le test exact de Fisher est une méthode statistique qui vérifie si deux variables catégorielles sont liées, à partir de données organisées dans un tableau 2×2. Il calcule une probabilité exacte, appelée valeur p, plutôt qu’une approximation. Il est donc utile lorsque l’échantillon est petit.

Le test compare les effectifs de deux lignes et de deux colonnes, par exemple les patients « traités » et « non traités » qui se sont rétablis ou non. Un tableau 2×2 comporte quatre cellules, généralement désignées par A, B, C et D, ainsi que les totaux des lignes et des colonnes.

Test exact de Fisher et test du khi carré

Le test du khi carré vérifie également l’existence d’une relation entre deux variables catégorielles, mais il repose sur une approximation qui n’est fiable que lorsque les effectifs des cellules sont suffisamment grands. Une règle empirique courante veut que, si un effectif théorique du tableau est inférieur à 5, l’approximation du khi carré devienne peu fiable et que le test exact de Fisher soit préférable. Le test exact de Fisher fonctionne quelle que soit la taille de l’échantillon, mais il est mathématiquement exact plutôt qu’approximatif, ce qui constitue son principal avantage pour les petits échantillons.

Comment calculer le test exact de Fisher

Le test utilise la loi hypergéométrique, qui décrit la probabilité de tirer un certain nombre d’éléments d’un groupe sans les y remettre. À partir des totaux des lignes et des colonnes d’un tableau, la loi hypergéométrique donne la probabilité de toute répartition particulière des quatre effectifs des cellules.

La formule de la probabilité

Pour un tableau dont les cellules sont A, B, C et D, dont les totaux des lignes sont r₁ = A + B et r₂ = C + D, dont les totaux des colonnes sont c₁ = A + C et c₂ = B + D, et dont la taille totale de l’échantillon est n = A + B + C + D, la probabilité de ce tableau exact est :

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Ici, « ! » signifie factorielle : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Valeur p unilatérale

Une valeur p unilatérale additionne la probabilité du tableau observé et celle de tout autre tableau ayant les mêmes totaux de lignes et de colonnes et montrant une relation au moins aussi forte dans la même direction. La « direction » est déterminée en comparant la cellule A à la valeur qu’elle aurait si les deux variables étaient indépendantes, appelée sa valeur théorique : E(A) = r₁c₁ / n.

• Si A est égal ou supérieur à E(A), l’association tend à être positive, et la somme porte sur chaque valeur possible de la cellule A, de la valeur observée jusqu’à sa valeur maximale possible.
• Si A est inférieur à E(A), l’association tend à être négative, et la somme va de la valeur minimale possible de la cellule A jusqu’à la valeur observée.

Valeur p bilatérale

Une valeur p bilatérale additionne les probabilités de tous les tableaux possibles ayant les mêmes totaux de lignes et de colonnes et dont la probabilité est inférieure ou égale à celle du tableau observé. Elle prend en compte les résultats extrêmes dans les deux directions ; une valeur p bilatérale est donc généralement supérieure à une valeur p unilatérale calculée à partir du même tableau.

Exemple détaillé

Un petit essai administre un nouveau médicament à 10 patients et un placebo à 10 autres patients. Les résultats sont les suivants :

Ici, A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 et n = 20. La valeur théorique de A sous l’hypothèse d’indépendance est E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Comme 8 est supérieur à 5,5, l’association tend à être positive ; la somme unilatérale va donc de A = 8 jusqu’à la valeur maximale possible de A, qui est 10.

Le calcul des probabilités hypergéométriques pour A = 8, 9 et 10 donne une valeur p unilatérale d’environ 0,0349. L’addition des probabilités de tous les tableaux, dans les deux directions, dont la probabilité est inférieure ou égale à celle du tableau observé donne une valeur p bilatérale d’environ 0,0698.

Au seuil courant de 0,05, le résultat unilatéral est statistiquement significatif, tandis que le résultat bilatéral ne l’est pas. Cela montre pourquoi le choix du type de test est important : un test unilatéral n’est approprié que lorsque la direction de l’effet — ici, l’amélioration des résultats par le médicament — avait été prévue avant l’examen des données.

Quand utiliser le test exact de Fisher

Le test exact de Fisher est couramment utilisé dans les situations suivantes :

• Les essais cliniques portant sur un petit nombre de patients.
• Les contrôles qualité comparant le nombre de défauts entre deux lots de production.
• Les recherches en génétique comparant les effectifs d’un caractère entre deux petits groupes.
• Tout tableau 2×2 dans lequel l’effectif théorique d’une cellule est inférieur à 5.

Foire aux questions

À quoi sert le test exact de Fisher ? Il vérifie si deux variables catégorielles sont liées, à partir des effectifs d’un tableau 2×2. Il est souvent choisi plutôt que le test du khi carré lorsque l’échantillon est petit.

Quand faut-il utiliser le test exact de Fisher plutôt que le test du khi carré ? Lorsqu’un effectif théorique du tableau est inférieur à 5, ou lorsqu’une certitude accrue concernant la probabilité exacte est nécessaire, quelle que soit la taille de l’échantillon.

Quelle est la différence entre les résultats unilatéraux et bilatéraux ? Une valeur p unilatérale teste une direction prévue de l’effet, déterminée avant l’observation des données. Une valeur p bilatérale teste l’existence d’une association dans l’une ou l’autre direction. Une valeur p bilatérale calculée à partir du même tableau est généralement plus grande.

Ce calculateur fournit-il un rapport de cotes ? Non. Il fournit uniquement la valeur p exacte. Le rapport de cotes du même tableau peut être calculé séparément en divisant A × D par B × C.

Le test exact de Fisher peut-il être utilisé pour des tableaux plus grands que 2×2 ? La version décrite ici concerne les tableaux 2×2. Les tableaux plus grands nécessitent une méthode apparentée appelée extension de Freeman-Halton, disponible dans la plupart des logiciels de statistique.

Le test exact de Fisher peut-il être utilisé pour des données appariées, comme des mesures avant et après sur les mêmes personnes ? Non. Il suppose l’existence de deux groupes indépendants. Les données catégorielles appariées nécessitent plutôt le test de McNemar.

Références

1. Fisher, R.A. (1922). « On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P. » Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. et Halton, J.H. (1951). « Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance. » Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3e éd.). Wiley.