מפשט לוגריתמים

מפשט לוגריתמים הוא כלי שמשכתב ביטוי לוגריתמי באמצעות יישום של כלל לוגריתמים סטנדרטי אחד, כגון כלל המכפלה או כלל החזקה. האפליקציה „מפשט לוגריתמים” בודקת ביטוי מול קבוצה קבועה של תבניות ומחזירה את הצורה המפושטת. אם אף תבנית יחידה אינה מתאימה, היא מחזירה את הביטוי ללא שינוי.

מהו לוגריתם?

לוגריתם עונה על שאלה אחת: איזו חזקה הופכת את הבסיס למספר הזה? אם $b^y = x$ , אז $\log_b(x) = y$ . לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה. הוא מבטל את פעולת החזקה.

שלושה סוגים מופיעים בתדירות הגבוהה ביותר:

log: בסיס 10, הלוגריתם העשרוני. log(100) שואל: "10 בחזקה איזו נותן 100?"
ln: בסיס $e$ (בערך 2.71828), הלוגריתם הטבעי, הנפוץ בחשבון אינפיניטסימלי.
log_a: בסיס מותאם אישית, הנכתב באמצעות קו תחתי. log_2(8) פירושו לוגריתם בבסיס 2 של 8.

לוגריתם מוגדר רק עבור ארגומנט חיובי. האפליקציה דוחה קלטים כמו log(0) או log(-5) כלא־תקפים, משום שאף חזקה ממשית של בסיס חיובי אינה מפיקה אפס או מספר שלילי.

כללים ונוסחאות של לוגריתמים

כלל	נוסחה
כלל המכפלה	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
כלל המנה	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
כלל החזקה	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
החלפת בסיס	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
זהות	$\log_b(b) = 1$
לוגריתם של אחת	$\log_b(1) = 0$

כיצד לחשב לוגריתם מפושט

האפליקציה בודקת כל כלל בתורו מול הביטוי כולו שהוקלד בתיבת הקלט. היא מיישמת את הכלל הראשון שצורתו תואמת לביטוי כולו, ולא רק לחלק ממנו.

מכיוון שכל כלל בודק את הביטוי המלא, האפליקציה מפשטת פעולה אחת בכל פעם. ביטוי שמשלב חזקה וכפל באיבר אחד, כגון log(x^2*y), אינו תואם לאף תבנית יחידה, ולכן מוחזר ללא שינוי. הכלי אינו משלב כמה כללים כדי לפרק ביטוי ארוך יותר שלב אחר שלב.

עבור לוגריתם מספרי פשוט כגון log(8), log(100) או ln(20), האפליקציה מחשבת מספר במקום ליישם כלל סימבולי. תוצאות של מספרים שלמים מוצגות כמספרים שלמים; כל ערך אחר מעוגל לשש ספרות אחרי הנקודה העשרונית. הדבר קורה רק כאשר כל הקלט הוא לוגריתם יחיד של מספר. קלט הכולל שני לוגריתמים, כגון log(8)/log(2), מוחזר ללא שינוי במקום לעבור חישוב חלקי.

דוגמה פתורה

כדי לפשט את log(x*y), האפליקציה מזהה את התבנית של כלל המכפלה log(A*B). היא מפצלת את הביטוי לשני לוגריתמים נפרדים המחוברים בחיבור:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

עבור log(x^3), התבנית של כלל החזקה log(A^n) מתאימה, והמעריך עובר לפני הלוגריתם:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

המעריך יכול להיות שלילי או עשרוני. log(x^-2) נותן -2 * log(x), ו־log(x^0.5) נותן 0.5 * log(x).

עבור בסיס מותאם אישית כגון log_2(8), האפליקציה מיישמת את נוסחת החלפת הבסיס באופן סימבולי. היא אינה מחשבת את התשובה המספרית (שהיא 3); היא מחזירה את היחס log(8) / log(2).

קלטים ותוצאות לדוגמה

העמודה האחרונה היא שם הכלל שהאפליקציה מציגה מתחת לתרשים.

קלט	תוצאה	הכלל המוצג
`log(100)`	`2`	חישוב לפי הבסיס
`log(8)`	`0.903090`	חישוב לפי הבסיס
`log(1)`	`0`	חישוב לפי הבסיס
`log(10)`	`1`	חישוב לפי הבסיס
`log(0.5)`	`-0.301030`	חישוב לפי הבסיס
`ln(20)`	`2.995732`	חישוב לפי הבסיס
`ln(e^5)`	`5`	לוגריתם טבעי של e בחזקת n
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	כלל החזקה
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	כלל החזקה
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	כלל המכפלה
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	כלל המנה
`log_5(5)`	`1`	זהות בסיס הלוגריתם
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	החלפת בסיס (תוצאה סימבולית, לא `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (ללא שינוי)	פישוט

שימוש באפליקציה

הקלידו ביטוי בשדה הקלט, באמצעות * לכפל, / לחילוק, ^ לחזקות וסוגריים לקיבוץ איברים. השתמשו בסימון קו תחתי, בסגנון log_2(8), עבור בסיס מותאם אישית. התוצאה מופיעה מיד לאחר הקלדת ביטוי תקף, לצד תרשים קטן המציג את הקלט, את התוצאה ואת הכלל היחיד שהופעל. כפתור העתקה מאפשר להדביק את התוצאה במסמכים אחרים.

מגבלות

האפליקציה היא מזהה תבניות קטן, ולא מערכת מלאה לאלגברה ממוחשבת. היא אינה יכולה:

לשרשר שני כללים או יותר על אותו ביטוי, ולכן ביטויים מרובי־איברים כגון log(x^2*y/z) אינם מפורקים מעבר לכך.
לפעול על קלט שמכיל יותר מלוגריתם אחד. log(8)/log(2) מוחזר ללא שינוי, ולא מחושב כ־3.
לחשב לוגריתם בבסיס מותאם אישית למספר פשוט. log_2(8) נשאר בצורת log(8) / log(2) במקום להפוך ל־3.
לפשט סכומים או הפרשים בתוך לוגריתם, כגון log(x + y), משום שכללי המכפלה והמנה חלים רק על כפל וחילוק.
לפתור משוואות, לשרטט פונקציות או לטפל בלוגריתמים מקוננים.

למשימות כאלה, מערכת מלאה לאלגברה ממוחשבת כגון Wolfram Alpha, או מחשבון גרפי, מתאימה יותר.

היסטוריה קצרה

המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נאפייר הציג את הלוגריתמים בשנת 1614 כדי להפוך כפל לחיבור וכך לקצר את זמן החישוב הידני של אסטרונומים ונווטים. הנרי בריגס עבד מאוחר יותר עם נאפייר על בניית טבלאות לוגריתמים בבסיס 10, שפורסמו בשנת 1617 ושימשו במשך יותר משלוש מאות שנים. במאה ה־20, הלוגריתמים קיבלו תפקיד חדש: קלוד שאנון השתמש בהם בשנת 1948 כדי להגדיר את הביט, יחידת המידע הבסיסית, וכיום מדעני מחשב משתמשים בלוגריתמים כדי לתאר באיזו יעילות אלגוריתמים כמו חיפוש בינארי גדלים.

שאלות נפוצות

מהו מפשט לוגריתמים? זהו כלי שמשכתב ביטוי לוגריתמי באמצעות כלל לוגריתמים, למשל הפיכת log(x*y) ל־log(x) + log(y). האפליקציה מתאימה כלל אחד בכל פעם לביטוי המלא שהוקלד.

האם log_2(8) מפושט ל־3? לא. האפליקציה מיישמת את נוסחת החלפת הבסיס באופן סימבולי ומחזירה log(8) / log(2). היא אינה מחשבת לוגריתמים בבסיס מותאם אישית למספר, גם כאשר התשובה המספרית היא מספר שלם.

האם האפליקציה יכולה לשלב כמה כללים על ביטוי אחד? לא. כל כלל בודק את הביטוי כולו בבת אחת. ביטוי הדורש שני כללים, כגון הפרדת מכפלה ולאחר מכן יישום כלל החזקה בתוכה, מוחזר ללא שינוי.

מדוע log(x + y) אינו מפושט מעבר לכך? כללי המכפלה והמנה חלים רק על כפל וחילוק בתוך לוגריתם, ולא על חיבור או חיסור. אי־אפשר לשכתב את log(x + y) כ־log(x) + log(y); זו טעות נפוצה.

היכן מתבצע החישוב? בדפדפן, במכשיר עצמו. הביטוי אינו נשלח לשרת, והשימוש בכלי אינו כרוך בהרשמה.

מפשט לוגריתמים - פתרונות מיידיים שלב אחר שלב