פותר משוואת יאנג-לפלס | לחץ בממשק

מהי משוואת יאנג–לפלס?

משוואת יאנג–לפלס היא נוסחה במכניקת הזורמים שנותנת את הפרש הלחצים משני עבריו של ממשק עקום בין שני זורמים, כגון פני השטח של טיפת מים או בועת סבון. היא מראה שהפרש הלחצים תלוי במתח הפנים של הזורם ובמידת הקימור של הממשק. המשוואה מסבירה מדוע מצטבר לחץ בתוך טיפות ובועות, ומדוע הלחץ הפנימי של טיפות ובועות קטנות גבוה מזה של גדולות.

היא נקראת על שם תומאס יאנג ופייר-סימון לפלס, שכל אחד מהם תיאר את הקשר בתחילת שנות ה־1800.

נוסחת משוואת יאנג–לפלס

הצורה הכללית של המשוואה היא:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ הוא הפרש הלחצים על פני הממשק, בפסקל (Pa)
• $\gamma$ (גמא) הוא מתח הפנים של הזורם, בניוטון למטר (N/m)
• $R_1$ ו־$R_2$ הם שני רדיוסי הקימור הראשיים של פני השטח, במטרים (m)

פני שטח מתעקמים באופן שונה בכיוונים שונים. $R_1$ ו־$R_2$ מתארים את הקימור לאורך שני כיוונים המאונכים זה לזה. עבור כדור, כגון טיפה או בועה, $R_1$ שווה ל־$R_2$, ולכן הנוסחה מצטמצמת ל:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

מוסכמת הסימנים

הלחץ תמיד גבוה יותר בצד הקעור של ממשק עקום, כלומר בצד שממנו פני השטח מתנפחים החוצה. עבור טיפה או בועה, פירוש הדבר הוא שהלחץ בפנים גבוה מהלחץ בחוץ. רדיוס נחשב חיובי כאשר מרכז הקימור שלו נמצא בצד שבו הלחץ גבוה יותר. אם פני השטח מתעקמים בכיוון ההפוך באחד הכיוונים, הרדיוס באותו כיוון נחשב שלילי. לממשק בצורת אוכף, כגון צוואר הנוזל בין שני גרגרים נוגעים, יש רדיוס חיובי אחד ורדיוס שלילי אחד, ושני האיברים מתקזזים חלקית.

מחשבון זה משתמש ברדיוסים חיוביים בלבד.

מקרים מיוחדים

• משטח שטוח: ככל שרדיוס גדל ומתקרב לאינסוף, האיבר שלו בנוסחה קטן ומתקרב לאפס. לממשק שטוח לחלוטין אין הפרש לחצים כלל.
• גליל: משטח גלילי ארוך, כגון סילון נוזל היוצא מפתח, מתעקם בכיוון אחד בלבד. רדיוס אחד הוא רדיוס הגליל, והשני אינסופי לאורך הגליל, ולכן הנוסחה מצטמצמת ל־$\Delta P = \gamma / R$. זהו מחצית מהפרש הלחצים של כדור בעל אותו רדיוס.
• קני מידה זעירים מאוד: מתחת לכ־10 עד 20 ננומטרים, השפעות נוספות כגון מתח קווי מקבלות חשיבות, והמשוואה הפשוטה מאבדת מדיוקה.

כיצד לחשב הפרש לחצים באמצעות משוואת יאנג–לפלס

1. מצאו את מתח הפנים של הזורם, ב־N/m, בטמפרטורה הרצויה. מתח הפנים יורד ככל שהטמפרטורה עולה.
2. מדדו או אמדו את רדיוס הקימור הראשי הראשון, $R_1$, במטרים.
3. מדדו או אמדו את רדיוס הקימור הראשי השני, $R_2$, במטרים. עבור כדור, השתמשו באותו ערך כמו $R_1$. עבור גליל, השתמשו במספר גדול מאוד כדי לייצג אינסוף.
4. הכפילו את מתח הפנים בסכום של $1/R_1$ ושל $1/R_2$. התוצאה היא הפרש הלחצים בפסקל.

הקפידו שכל הערכים יהיו ביחידות SI. ערבוב של מילימטרים עם מטרים, למשל, מטה את התוצאה בפקטור של אלף.

דוגמה פתורה

נבחן טיפת מים כדורית ברדיוס של 1 מילימטר (0.001 m) ובמתח פנים של 0.072 N/m, ערך אופייני למים בקרבת טמפרטורת החדר.

מכיוון שהטיפה היא כדור, $R_1 = R_2 = R$, ולכן:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

הלחץ בתוך הטיפה גבוה ב־144 Pa מלחץ האוויר הסובב אותה. זהו ערך קטן לעומת הלחץ האטמוספרי הרגיל, כ־101,325 Pa, אך ההשפעה גדלה במהירות ככל שהטיפה מתכווצת. לטיפה שרדיוסה הוא עשירית מהגודל, 0.1 mm, יש הפרש לחצים גדול פי עשרה: 1,440 Pa. טיפה שרדיוסה 0.01 mm מגיעה ל־14,400 Pa, יותר מ־14% מהלחץ האטמוספרי.

היכן חלה המשוואה

• טיפות ובועות: הלחץ הגבוה יותר בתוך טיפות קטנות מניע את תהליך ההבשלה של אוסטוולד, שבו טיפות קטנות בתחליב מתכווצות ואילו גדולות גדלות, משום שתכולתן מתפזרת מלחץ גבוה ללחץ נמוך.
• נימיות: פני השטח העקומים בתוך צינור צר מושכים את הנוזל כלפי מעלה. משום כך מים מטפסים במגבות נייר ובצינורות זכוכית צרים.
• נשימה: שקיקי האוויר הזעירים בריאות, הנקראים נאדיות, מתנהגים כמו בועות קטנות. ציפוי הנקרא סורפקטנט ריאתי מפחית את מתח הפנים, כך שנאדיות קטנות אינן קורסות תחת הלחץ שהמשוואה מנבאת. פגים שחסר בגופם סורפקטנט בכמות מספקת עלולים לפתח בעיות נשימה מסיבה זו.
• הדפסת הזרקת דיו: פיות המדפסת יוצרות טיפות שרוחבן עשרות מיקרומטרים, והלחץ הנובע מהקימור גדול מספיק כדי לעצב את האופן שבו הדיו יוצא מהפייה.
• מדע החומרים: מכשירים המודדים כיצד נוזלים מרטיבים משטח וכיצד מתנהגים ציפויים דקים משתמשים במשוואה כדי לקשר בין צורת הטיפה לאנרגיית פני השטח שלה.

היסטוריה

אנשים הבחינו בנוזלים המטפסים בצינורות צרים זמן רב לפני שמישהו הסביר מדוע. בתחילת שנות ה־1700, פרנסיס הוקסבי הראה בניסוי שצינורות צרים יותר גורמים לעלייה נימית גדולה יותר, וב־1718 תיאר ג'יימס ג'ורין את העלייה כיחס הפוך לקוטר הצינור.

תומאס יאנג הסביר את הפיזיקה שבבסיס התופעה במאמר משנת 1805, שבו הציג את מתח הפנים כתכונה של זורם וקישר אותו ללחץ על פני משטחים עקומים, אף שהדיון שלו היה בעיקר תיאורי. בשנת 1806 פייר-סימון לפלס פיתח את הצורה המתמטית באמצעות חשבון אינפיניטסימלי והגיע באופן בלתי תלוי לאותו קשר. עבודתם המשולבת נעשתה למשוואת יאנג–לפלס. מדענים מאוחרים יותר, ובהם קרל פרידריך גאוס וז'וזף פלאטו, בדקו והרחיבו את התאוריה במהלך שנות ה־1800.

שאלות נפוצות

מה מחשבת משוואת יאנג–לפלס? היא מחשבת את הפרש הלחצים על פני ממשק עקום בין שני זורמים, על סמך מתח הפנים של הזורם וקימור הממשק.

מדוע הלחץ גבוה יותר בתוך טיפה קטנה יותר? מתח הפנים מושך לאורך שפת הטיפה, וכוח המשיכה הזה גדל ביחס ישר לרדיוס. השטח שעליו הלחץ צריך להפעיל כוח גדל ביחס לריבוע הרדיוס. איזון בין השניים נותן $\Delta P = 2\gamma/R$, ולכן הפרש הלחצים עומד ביחס הפוך לרדיוס: אם מחציתים את הרדיוס, הפרש הלחצים מוכפל.

כיצד הטמפרטורה משפיעה על המשוואה? הטמפרטורה משנה את ערך מתח הפנים, ומתח הפנים יורד ככל שהטמפרטורה עולה. עבור מים, מתח הפנים יורד מכ־0.073 N/m ב־20 °C לכ־0.063 N/m ב־80 °C, ירידה של כ־0.17 mN/m לכל מעלת צלזיוס. מתח הפנים בטמפרטורת החדר גבוה ממתח הפנים של מים חמים, ולכן שימוש בערך של טמפרטורת החדר עבור מערכת חמה מפריז בהערכת הפרש הלחצים.

האם המשוואה פועלת עבור צורות שאינן כדוריות? כן. הצורה הכללית, עם שני רדיוסים נפרדים $R_1$ ו־$R_2$, מתאימה לכל משטח עקום, כולל אליפסואידים וממשקים בצורת אוכף. רק הגרסה המפושטת $2\gamma/R$ מוגבלת לכדורים.

במה שונה משוואת יאנג–לפלס ממשוואת יאנג? משוואת יאנג–לפלס נותנת את הפרש הלחצים הנגרם מממשק עקום. משוואת יאנג, קשר נפרד שגם הוא מיוחס לתומאס יאנג, נותנת את זווית המגע שיוצרת טיפה במקום שבו היא פוגשת משטח מוצק, על סמך אנרגיות פני השטח של שלושת החומרים המעורבים. הן מתארות דברים שונים ולעיתים משתמשים בהן יחד לניתוח טיפה המונחת על משטח.

מהו הגודל המזערי של טיפה לפני שהמשוואה מפסיקה להיות תקפה? המשוואה נשארת מדויקת עד לגודל של כ־1 מיקרומטר. מתחת לכ־10 עד 20 ננומטרים, כוחות נוספים שהמשוואה מתעלמת מהם, כולל מתח קווי וכוחות בקנה מידה מולקולרי בין משטחים, נעשים גדולים מספיק כדי להיות משמעותיים, ונדרשים מודלים מפורטים יותר.

מקורות

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, מוסף לספר 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (מהדורה 6). Wiley-Interscience.