מחשבון דעיכה רדיואקטיבית - חישוב חצי חיים וכמות נותרת

מהו מחשבון דעיכה רדיואקטיבית?

מחשבון דעיכה רדיואקטיבית מחשב כמה חומר רדיואקטיבי נותר לאחר פרק זמן נתון, על סמך זמן מחצית החיים שלו. מזינים כמות התחלתית, זמן מחצית חיים וזמן שחלף, והמחשבון מחזיר את הכמות שנותרה וכן תרשים של עקומת הדעיכה.

דעיכה רדיואקטיבית היא תהליך טבעי שבו גרעיני אטומים בלתי יציבים פולטים אנרגיה בצורת קרינה והופכים לגרעין אחר ויציב יותר. כל איזוטופ רדיואקטיבי דועך בקצב קבוע משלו, המתואר באמצעות זמן מחצית החיים שלו: הזמן הנדרש למחצית מהאטומים בדגימה לדעוך. קצב זה אינו משתנה עם הטמפרטורה, הלחץ או הצורה הכימית של החומר, ולכן חישובי דעיכה אמינים דיים לשימושים הנעים מטיפול בסרטן ועד לתיארוך ממצאים עתיקים.

הנוסחה לדעיכה רדיואקטיבית

המחשבון משתמש במשוואה הסטנדרטית לדעיכה מעריכית:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — הכמות שנותרה לאחר זמן $t$
• $N_0$ — הכמות ההתחלתית
• $t$ — הזמן שחלף
• $t_{1/2}$ — זמן מחצית החיים של האיזוטופ

המעריך $t / t_{1/2}$ מייצג את מספר זמני מחצית החיים שחלפו. לאחר זמן מחצית חיים אחד נותרת מחצית מהכמות המקורית. לאחר שני זמני מחצית חיים נותר רבע. לאחר שלושה נותר שמינית, וכן הלאה.

אותו חוק נכתב לעיתים באמצעות קבוע דעיכה, $\lambda$, במקום זמן מחצית החיים:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

שתי הצורות נותנות תוצאות זהות. קל יותר להבין את צורת זמן מחצית החיים בחישוב ידני, מכיוון שלביטוי $(1/2)^n$ יש משמעות ברורה כאשר מספר זמני מחצית החיים הוא שלם.

הבנת זמן מחצית החיים

זמני מחצית החיים משתנים במידה עצומה בין איזוטופים. לפולוניום-214 יש זמן מחצית חיים של כ-164 מיקרו-שניות. לטלוריום-128 יש זמן מחצית חיים של בערך 2.2 ספטיליון (2.2 × 10²⁴) שנים. לאחר כ-10 זמני מחצית חיים נותר פחות מ-0.1% מהדגימה, ולכן 10 זמני מחצית חיים משמשים לעיתים ככלל אצבע משוער למועד שבו מקור רדיואקטיבי "נעלם למעשה".

כיצד לחשב דעיכה רדיואקטיבית

1. הזינו את הכמות ההתחלתית. הכמות יכולה להינתן בכל יחידה — גרמים, אטומים, בקרלים או קירי — והתוצאה תינתן באותה יחידה.
2. הזינו את זמן מחצית החיים של האיזוטופ ואת יחידת הזמן שלו (שניות, דקות, שעות, ימים או שנים).
3. הזינו את הזמן שחלף ואת היחידה שלו. היחידה אינה חייבת להיות זהה ליחידת זמן מחצית החיים; המחשבון ממיר את שתיהן לאותה יחידה לפני חישוב התוצאה.
4. קראו את הכמות שנותרה ואת תרשים עקומת הדעיכה, המציג את הכמות לאורך כל פרק הזמן שהוזן.

דוגמה פתורה

ליוד-131, המשמש לטיפול בבלוטת התריס ולדימות, יש זמן מחצית חיים של 8.02 ימים. אם מתחילים ב-1,000 מיליקירי, כמה יישארו לאחר 24.06 ימים?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ מיליקירי}$

שלושה זמני מחצית חיים חלפו, ולכן הדגימה נחצתה בשלושה שלבים: 1,000 → 500 → 250 → 125 מיליקירי.

איזוטופים נפוצים וזמני מחצית החיים שלהם

שימושים מעשיים בחישובי דעיכה

רפואה. מקורות לטיפול בקרינה, כגון קובלט-60, נחלשים עם דעיכתם, ולכן יש להאריך את זמני החשיפה לאורך חיי המקור כדי לספק אותה מנה. בבדיקות דימות ברפואה גרעינית משתמשים באיזוטופים קצרי-חיים כמו טכנציום-99m, ומתזמנים את הבדיקה כך שתתבצע כאשר הפעילות גבוהה דיה לדימות אך נמוכה דיה להגבלת מנת הקרינה של המטופל. מכיוון שזמן מחצית החיים שלו הוא 6 שעות, לאחר 24 שעות (ארבעה זמני מחצית חיים) נותרות כ-6% מהפעילות המקורית; לאחר יומיים (שמונה זמני מחצית חיים) נותר פחות מ-1%.

תיארוך. ארכאולוגים מעריכים את גילם של שרידים אורגניים באמצעות מדידת כמות הפחמן-14 שנותרה, תוך שימוש בזמן מחצית החיים שלו, 5,730 שנים. שיטה זו מתאימה עד בערך 50,000–60,000 שנים, שמעבר להן נותר מעט מדי פחמן-14 למדידה. גאולוגים מתארכים סלעים בטווחי זמן ארוכים בהרבה באמצעות דעיכת אורניום–עופרת ואשלגן–ארגון, וכך הוערך גיל כדור הארץ בכ-4.54 מיליארד שנים.

בטיחות ותעשייה. לאחר תאונה גרעינית, איזוטופים קצרי-חיים כמו יוד-131 מהווים סכנה מיידית אך זמנית, ואילו איזוטופים ארוכי-חיים כמו צזיום-137 (כ-30 שנים) נותרים מקור לדאגה במשך עשרות שנים. מקורות המשמשים ברדיוגרפיה תעשייתית יוצאים משימוש כאשר הדעיכה מאריכה את זמני החשיפה במידה שאינה מעשית, ודלק גרעיני משומש מאוחסן בבריכות קירור במשך שנים מכיוון שהוא ממשיך לייצר חום תוך כדי דעיכתו.

מגבלות המחשבון

מחשבון זה מטפל בדעיכה פשוטה של איזוטופ יחיד למוצר יציב. הוא אינו מדמה:

• שרשראות דעיכה. איזוטופים כבדים רבים דועכים דרך סדרה של תוצרי בת רדיואקטיביים לפני שהם מגיעים לתוצר יציב. אורניום-238, לדוגמה, עובר כ-14 שלבים לפני שהוא הופך לעופרת יציבה-206. חישוב הכמות של כל איזוטופ ביניים מחייב פתרון של משוואות בטמן, מערכת של משוואות דיפרנציאליות מצומדות.
• דגימות קטנות. הנוסחה מתארת את ההתנהגות הממוצעת של מספר גדול של אטומים. כאשר יש רק כמה עשרות אטומים, מספר האטומים המתפרקים בפועל בכל פרק זמן משתנה סביב העקומה החזויה.
• כיול. ביישומי תיארוך, גילאים גולמיים שחושבו אינם זהים לשנים קלנדריות. תיארוך פחמן, למשל, דורש עקומות כיול המתקנות שינויים שחלו בעבר ברמות הפחמן-14 באטמוספרה.

שאלות נפוצות

כיצד מוגדר זמן מחצית החיים? זמן מחצית החיים הוא הזמן הנדרש למחצית מהאטומים הרדיואקטיביים בדגימה להתפרק. הוא קבוע עבור איזוטופ נתון, ללא תלות בגודל הדגימה או בתנאים הפיזיקליים.

האם אפשר להאיץ או להאט דעיכה רדיואקטיבית? בתנאים רגילים, לא. קצבי הדעיכה אינם מושפעים מהטמפרטורה, מהלחץ או מהקשרים הכימיים. קביעות זו היא שהופכת את התיארוך הרדיומטרי ואת תכנון המנות לאמינים. כמה אופני דעיכה נדירים, כגון לכידת אלקטרון, מציגים שינויים זעירים בקצב רק בתנאים קיצוניים, כמו בתוך כוכב, שאינם רלוונטיים לשימוש יומיומי.

מה קורה לאחר שחלפו זמני מחצית חיים רבים? הכמות שנותרה ממשיכה להיחצות, אך מבחינה מתמטית לעולם אינה מגיעה לאפס. לאחר 10 זמני מחצית חיים נותרות כ-0.0977%. לאחר 20 זמני מחצית חיים נותר פחות ממיליונית מהכמות המקורית. בבטיחות קרינה, 10 זמני מחצית חיים הם סף מקובל להתייחס למקור כאל מקור שאינו עוד בעל משמעות.

כיצד ממירים בין יחידות זמן? 1 שנה = 365.25 ימים, 1 יום = 24 שעות, 1 שעה = 60 דקות, 1 דקה = 60 שניות. המחשבון מבצע את ההמרה באופן אוטומטי, ולכן אפשר להזין את זמן מחצית החיים ואת הזמן שחלף ביחידות שונות.

האם אפשר להשתמש במחשבון זה לתיארוך פחמן? הוא יכול לספק הערכה בסיסית באמצעות זמן מחצית החיים של פחמן-14, שהוא 5,730 שנים. תיארוך מקצועי משתמש בעקומות כיול שפורסמו כדי להמיר את התוצאה הגולמית לשנים קלנדריות, מכיוון שרמות הפחמן-14 באטמוספרה השתנו לאורך הזמן.

האם המחשבון מטפל בשרשראות דעיכה? לא. הוא מחשב דעיכה חד-שלבית מאיזוטופ אב לתוצר יציב. איזוטופים הדועכים דרך שרשרת של תוצרי בת רדיואקטיביים, כגון אורניום-238, דורשים את משוואות בטמן, שאותן כלי זה אינו פותר.