מחשבון תרשים קופסה - יוצר תרשים קופסה וסרגל חינמי

מהו תרשים קופסה?

תרשים קופסה, הנקרא גם תרשים קופסה ושפם, הוא תרשים המסכם קבוצת מספרים באמצעות חמישה ערכים: המינימום, הרבעון הראשון, החציון, הרבעון השלישי והמקסימום. הוא מראה היכן נמצאים רוב הנתונים ומסמן ערכים חריגים, המכונים ערכי קיצון, בלי להציג כל נקודת נתונים.

תרשימי קופסה נפוצים בסטטיסטיקה, במדע ובדוחות עסקיים, משום שהם מאפשרים להשוות כמה קבוצות של מספרים במבט אחד.

הסיכום באמצעות חמישה מספרים

תרשים קופסה נבנה מחמישה מספרים, המחושבים לאחר מיון הנתונים מהקטן לגדול.

• מינימום: הערך הקטן ביותר שאינו ערך קיצון. מחשבון זה מסמן אותו כ״מינימום (ללא ערכי קיצון)״.
• רבעון ראשון (Q1): הערך שמתחתיו נמצאים בערך רבע מהנתונים.
• חציון (Q2): הערך האמצעי של קבוצת הנתונים.
• רבעון שלישי (Q3): הערך שמתחתיו נמצאים בערך שלושה רבעים מהנתונים.
• מקסימום: הערך הגדול ביותר שאינו ערך קיצון. מחשבון זה מסמן אותו כ״מקסימום (ללא ערכי קיצון)״.

כאשר בקבוצת נתונים אין ערכי קיצון, שני הערכים האלה הם פשוט המספרים הקטנים והגדולים ביותר שהוזנו. כאשר יש ערכי קיצון, הם מייצגים במקום זאת את קצות השפמים, ולכן המספר הקטן או הגדול ביותר שהוזן מוצג בנפרד ברשימת ערכי הקיצון.

הקופסה בתרשים נמתחת מ־Q1 עד Q3. קו בתוך הקופסה מסמן את החציון. קווים דקים, הנקראים שפמים, יוצאים מהקופסה לכיוון המינימום והמקסימום. ערכי קיצון מוצגים כנקודות נפרדות מעבר לשפמים.

נוסחת תרשים קופסה

עבור קבוצת נתונים הממוינת בסדר עולה ובה n ערכים:

חציון. כאשר מספר הערכים אי-זוגי, החציון הוא הערך שבאמצע:

$M = x_{(n+1)/2}$

כאשר מספר הערכים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני הערכים שבאמצע:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

כאשר M הוא החציון ו-x בעל מספר מיקום הוא הערך הנמצא באותו מיקום בנתונים הממוינים.

רבעונים. מחלקים את הנתונים הממוינים לחצי תחתון ולחצי עליון. אם n אי־זוגי, משאירים את החציון עצמו מחוץ לשני החצאים. לאחר מכן:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

כאשר $M_l$ הוא החציון של המחצית התחתונה ו-$M_u$ הוא החציון של המחצית העליונה.

שיטה זו מכונה לעיתים קרובות השיטה הבלעדית. קיימות שיטות נוספות, והן עשויות להפיק ערכי Q1 ו־Q3 מעט שונים עבור קבוצות נתונים קטנות, אך זו השיטה שבה משתמש מחשבון זה.

הטווח הבין־רבעוני (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

גבולות ושפמים. הגבולות מסמנים את הסף לערכי קיצון:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

כאשר $F_l$ היא הגדר התחתונה ו-$F_u$ היא הגדר העליונה.

שפם אינו נעצר בדיוק בגבול. הוא נעצר בנקודת הנתונים הקיצונית ביותר שעדיין נמצאת בתוך הגבולות:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

כאשר $W_l$ הוא השפם התחתון ו-$W_u$ הוא השפם העליון.

ערכי קיצון. כל ערך שמתחת לגבול התחתון או מעל לגבול העליון הוא ערך קיצון, והוא מוצג כנקודה נפרדת במקום להיכלל בשפם.

כיצד לחשב תרשים קופסה שלב אחר שלב

1. ממיינים את הנתונים מהקטן לגדול.
2. מוצאים את החציון. כאשר מספר הערכים אי־זוגי, החציון הוא הערך האמצעי. כאשר מספר הערכים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים.
3. מוצאים את Q1: החציון של החצי התחתון של הנתונים (כאשר מספר הערכים אי־זוגי, החציון עצמו אינו נכלל).
4. מוצאים את Q3: החציון של החצי העליון של הנתונים, לפי אותו כלל.
5. מחשבים את IQR באמצעות חיסור Q1 מ־Q3.
6. מחשבים את הגבול התחתון ואת הגבול העליון באמצעות הכפלת ה־IQR ב־1.5.
7. מסמנים כל ערך הנמצא מחוץ לגבולות כערך קיצון.
8. קובעים את השפמים לפי הערכים הקטנים והגדולים ביותר שנותרו בתוך הגבולות.

דוגמה פתורה

נבחן את קבוצת הנתונים הזאת, הכוללת 11 ערכים: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. הנתונים כבר ממוינים.

עם מספר אי־זוגי של 11 ערכים, החציון הוא הערך ה־6: 40.

החצי התחתון הוא 6, 7, 15, 36, 39 (חמישה ערכים, ללא החציון). החציון שלו הוא הערך האמצעי: Q1 = 15.

החצי העליון הוא 41, 42, 43, 47, 49. החציון שלו הוא הערך האמצעי: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

גבול תחתון = 15 − 1.5 × 28 = −27. גבול עליון = 43 + 1.5 × 28 = 85. כל הערכים בקבוצת הנתונים נמצאים בין −27 ל־85, ולכן אין ערכי קיצון, והשפמים מגיעים למינימום ולמקסימום בפועל: מינימום = 6, מקסימום = 49.

כעת נשווה קבוצת נתונים הכוללת ערך קיצון: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. כאן Q1 = 3.5, Q3 = 9.5, ו־IQR = 6, ולכן הגבול העליון הוא 9.5 + 1.5 × 6 = 18.5. הערך 50 נמצא מעל לגבול הזה, ולכן הוא מוצג כערך קיצון, והשפם העליון נעצר ב־11, הערך הגדול ביותר שעדיין נמצא בתוך הגבול, ולא ב־50.

כיצד לקרוא תרשים קופסה

הקופסה מכסה את 50% האמצעיים של הנתונים, ולכן קופסה רחבה פירושה שהחלק האמצעי של הנתונים מפוזר, וקופסה צרה פירושה שהוא מרוכז. אם קו החציון קרוב יותר לאחד מקצות הקופסה, הנתונים נוטים, או מוטים, לכיוון הצד הארוך יותר. שפם שאורכו גדול בהרבה מזה של האחר מצביע על כך שהנתונים נמשכים יותר בצד זה. נקודות מעבר לשפמים הן ערכי קיצון ולעיתים קרובות ראויות לבדיקה נוספת, מכיוון שהן עשויות להיות ערכים קיצוניים אמיתיים או שגיאות בנתונים.

שימושים נפוצים

משתמשים בתרשימי קופסה להשוואת קבוצות זו לצד זו, למשל ציוני מבחנים בכמה כיתות, זמני אספקה של שני ספקים או מדידות מניסוי לעומת קבוצת ביקורת. מכיוון שתרשים קופסה מצמצם התפלגות שלמה לחמישה מספרים, אפשר להציג כמה מהם זה לצד זה באותו תרשים, וכך להשוות את מידת הפיזור ואת הערכים האופייניים בין קבוצות ביתר קלות מאשר באמצעות טבלה של מספרים גולמיים.

תרשימי קופסה בהשוואה לתרשימים אחרים

היסטוגרמה מציגה את הצורה המלאה של התפלגות בפירוט רב יותר, אך קשה יותר להשתמש בה כאשר משווים קבוצות רבות בו־זמנית. תרשים כינור מוסיף עקומת צפיפות לצד תרשים הקופסה ומראה ביתר דיוק היכן הערכים מתקבצים. תרשים פיזור מציג את הקשר בין שני משתנים, דבר שתרשים קופסה אינו יכול לעשות. הבחירה הנכונה תלויה במטרה: להשוות קבוצות (תרשים קופסה), לראות בפירוט את צורתה של התפלגות אחת (היסטוגרמה או תרשים כינור), או לבחון קשר (תרשים פיזור).

היסטוריה

הסטטיסטיקאי ג׳ון טוקי הציג את תרשים הקופסה בשנות ה־1970, ותיאר אותו בספרו Exploratory Data Analysis משנת 1977. גרסתו המקורית, המכונה לעיתים תרשים סכמטי, הציגה את החציון, את הרבעונים ואת הערכים הקיצוניים. בשנת 1978 תיארו הסטטיסטיקאים רוברט מקגיל, טוקי וויין לארסן גרסה עם חריץ, המוסיפה רווח סמך סביב החציון. כלל 1.5 × IQR לסימון ערכי קיצון הפך למוסכמה מקובלת זמן קצר לאחר מכן.

שאלות נפוצות

למה משמש תרשים קופסה? הוא מראה כיצד קבוצת מספרים מפוזרת ומסמן ערכי קיצון אפשריים, באמצעות המינימום, Q1, החציון, Q3 והמקסימום. הוא שימושי במיוחד להשוואת כמה קבוצות בתרשים אחד.

כיצד קוראים תרשים קופסה? הקופסה נמתחת מ־Q1 עד Q3 ומכסה את החצי האמצעי של הנתונים. הקו בתוך הקופסה הוא החציון. השפמים מגיעים לערכים הקיצוניים ביותר שאינם ערכי קיצון, וכל ערך מעבר לשפמים מוצג כנקודה נפרדת.

כיצד מזהים ערכי קיצון בתרשים קופסה? ערך הוא ערך קיצון אם הוא נמצא מתחת ל־Q1 − 1.5 × IQR או מעל ל־Q3 + 1.5 × IQR.

מה ההבדל בין תרשים קופסה להיסטוגרמה? תרשים קופסה מצמצם התפלגות לחמישה מספרים ולערכי קיצון, ולכן הוא קומפקטי ומתאים להשוואת קבוצות. היסטוגרמה מציגה את שכיחות הערכים בטווחים שונים ומספקת פרטים רבים יותר על צורתה של התפלגות יחידה.

האם מחשבון זה יכול לטפל בקבוצות נתונים קטנות? מחשבון זה זקוק לחמישה מספרים לפחות כדי להפיק סיכום באמצעות חמישה מספרים. תרשימי קופסה מספקים מידע רב יותר בקבוצות נתונים גדולות, משום שמספר קטן של ערכים אינו נותן תמונה ברורה של הפיזור או של ערכי הקיצון.

אילו נתונים המחשבון מקבל? מספרים המופרדים בפסיקים, ברווחים או במעברי שורה, כך שגם עמודה המודבקת מגיליון אלקטרוני מתאימה. כל דבר שאינו מספר נדחה ולא מדולג, ולכן טעות הקלדה אינה יכולה לשנות את התוצאה בלי שישימו לב.

מה פירוש הדבר אם תרשים קופסה נראה מוטה? אם החציון קרוב יותר ל־Q1, לנתונים יש זנב ארוך יותר בצד הערכים הגבוהים. אם הוא קרוב יותר ל־Q3, לנתונים יש זנב ארוך יותר בצד הערכים הנמוכים.