מחשבון ציון גולמי - המרת ציון Z לערך המקורי

מהו ציון גולמי?

ציון גולמי הוא הערך המקורי, שלא עבר תקנון, במערך נתונים, כגון ציון במבחן בנקודות או אורך שנמדד במילימטרים. מחשבון ציון גולמי ממיר ציון z בחזרה לערך המקורי, באמצעות הממוצע וסטיית התקן של מערך הנתונים. דף זה מסביר את הנוסחה, מציג דוגמאות פתורות ועונה על שאלות נפוצות לגבי ציונים גולמיים. המחשבון גם מצייר עקומת התפלגות נורמלית ומסמן עליה את מיקום הציון הגולמי.

נוסחת הציון הגולמי

הציון הגולמי $x$ מחושב מציון תקן מסוג z באמצעות הנוסחה הזאת:

$$x = \mu + z \times \sigma$$

כאשר:

• $x$ = ציון גולמי (הערך המקורי)
• $\mu$ = ממוצע מערך הנתונים
• $\sigma$ = סטיית התקן של מערך הנתונים
• $z$ = ציון תקן מסוג z (כמה סטיות תקן $x$ נמצא מהממוצע)

נוסחה זו היא ההופכית של נוסחת ציון התקן מסוג z, $z = (x - \mu) / \sigma$. במקום להפוך ערך גולמי לציון תקן מסוג z, היא הופכת ציון תקן מסוג z בחזרה לערך גולמי.

כיצד לחשב ציון גולמי מציון תקן מסוג z

1. מצאו את הממוצע ($\mu$) של מערך הנתונים.
2. מצאו את סטיית התקן ($\sigma$), המודדת את מידת הפיזור של הנתונים.
3. קחו את ציון התקן מסוג z ($z$), כלומר את מספר סטיות התקן שבו הערך נמצא מהממוצע. ציון z חיובי נמצא מעל הממוצע; ציון z שלילי נמצא מתחתיו.
4. הכפילו את ציון התקן מסוג z בסטיית התקן, ואז הוסיפו את הממוצע: $x = \mu + z \times \sigma$.

דוגמה פתורה

דוגמה 1: ציון במבחן

כיתה נבחנת במבחן שבו הציון הממוצע הוא 80 וסטיית התקן היא 5. תלמיד קיבל ציון תקן מסוג z של 1.2. מה היה הציון הגולמי של התלמיד?

$$x = 80 + 1.2 \times 5 = 86$$

הציון הגולמי של התלמיד היה 86.

דוגמה 2: מדידה בתהליך ייצור

במפעל נמדד חלק שאורכו הממוצע 150 mm וסטיית התקן של אורכו היא 2 mm. לחלק אחד יש ציון תקן מסוג z של −1.5. מהו אורכו בפועל?

$$x = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$$

אורך החלק הוא 147 mm.

טווחי קלט תקפים

המחשבון בדף זה דורש:

• סטיית תקן הגדולה מ־0. סטיית תקן אינה יכולה להיות שלילית, וערך אפס יהפוך את ציון התקן מסוג z לבלתי מוגדר, משום שנוסחת ציון התקן מסוג z מחלקת בו.
• סטיית תקן שאינה גדולה מ־1,000,000.
• ממוצע בין −1,000,000 לבין 1,000,000.
• ציון תקן מסוג z בין −10 לבין 10.

רוב ציוני התקן מסוג z בעולם האמיתי נמצאים בין −3 לבין 3, משום שטווח זה כולל כ־99.7% מהערכים בהתפלגות נורמלית. ציון תקן מסוג z שמחוץ לטווח הזה מציין ערך נדיר וקיצוני.

היכן משתמשים בציונים גולמיים

• חינוך. מבחנים מתוקננים מדווחים על ציוני תקן מסוג z או על ציונים בסולם; ההמרה בחזרה לציון גולמי מראה את מספר הנקודות בפועל או את מספר השאלות שנענו נכון.
• פסיכולוגיה. מבחני IQ והערכות אחרות עוברים תקנון, ולאחר מכן מומרים לערכים גולמיים כדי לעקוב אחר תוצאותיו של אדם לאורך זמן.
• ייצור. בקרת איכות משווה חלקים לממוצע יעד ומסמנת חלקים עם ציון תקן חריג מסוג z, ולאחר מכן מדווחת על המדידה הגולמית לבדיקה.
• פיננסים. מדדי סיכון או ביצועים מתוקננים מומרים בחזרה לסכומים במטבע בפועל או לאחוזי תשואה לצורך דיווח.

ציונים סטטיסטיים קשורים

• אחוזון מציג את דירוגו של ערך במערך נתונים בסולם של 0–100.
• ציון T הוא ציון מתוקנן עם ממוצע של 50 וסטיית תקן של 10, והוא נפוץ בפסיכולוגיה.
• סטנין הוא סולם בן תשע נקודות המשמש בחינוך.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין ציון גולמי לציון תקן מסוג z?

ציון גולמי הוא הערך המקורי ביחידות הטבעיות שלו, כגון נקודות או מילימטרים. ציון תקן מסוג z הוא אותו ערך כשהוא מוצג כמרחק מהממוצע, הנמדד בסטיות תקן. הנוסחה $x = \mu + z \times \sigma$ ממירה ציון תקן מסוג z בחזרה לציון גולמי.

כיצד מוצאים ציון גולמי מאחוזון?

תחילה ממירים את האחוזון לציון תקן מסוג z באמצעות טבלת ההתפלגות הנורמלית התקנית. לאחר מכן מיישמים את נוסחת הציון הגולמי. לדוגמה, האחוזון ה־84 קרוב לציון תקן מסוג z של 1.0.

האם ציון גולמי יכול להיות שלילי?

כן. אם הנתונים הבסיסיים כוללים ערכים שליליים, כגון שינויי טמפרטורה או רווח והפסד, גם הציון הגולמי יכול להיות שלילי.

איזה ציון גולמי מתאים לציון תקן מסוג z של 0?

ציון תקן מסוג z של 0 תמיד נותן ציון גולמי השווה לממוצע, שכן $x = \mu + 0 \times \sigma = \mu$.

האם נוסחת הציון הגולמי פועלת עבור נתונים שאינם נורמליים?

הנוסחה עצמה פועלת עבור כל מערך נתונים שיש לו ממוצע וסטיית תקן מוגדרים. עם זאת, הפרשנות המקובלת של ציון תקן מסוג z, כגון "כ־68% מהערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע", מניחה שהנתונים מצייתים להתפלגות נורמלית. עבור נתונים בעלי הטיה חזקה, פרשנות זו אינה מתקיימת, אף שהחישוב האריתמטי עדיין תקף.

עד כמה התוצאה מדויקת?

החישוב כולל כפל אחד וחיבור אחד, ולכן הוא מדויק עבור המספרים שהוזנו. המחשבון מעגל את הציון הגולמי המוצג לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. הדיוק בפועל מוגבל על ידי מידת הדיוק שבה ידועים הממוצע, סטיית התקן וציון התקן מסוג z.