מחשבון T-Test - כלי ניתוח סטטיסטי חינמי מקוון

מהו מבחן t?

מבחן t הוא שיטה סטטיסטית הבודקת אם הממוצע של קבוצת מספרים שונה באופן מובהק מממוצע אחר או מערך קבוע. הוא נקרא גם מבחן t של סטודנט. חוקרים משתמשים בו כדי להשוות בין שתי קבוצות, כגון קבוצת טיפול וקבוצת ביקורת, או כדי להשוות קבוצה אחת לתקן ידוע.

המבחן מפיק מספר הנקרא סטטיסטי t. סטטיסטי t המרוחק מאפס מצביע על כך שהממוצעים אכן שונים. סטטיסטי t הקרוב לאפס מצביע על כך שההבדל עשוי להיות רק רעש אקראי.

סוגי מבחני t

מחשבון זה תומך בשלושה סוגים של מבחני t.

• מבחן t למדגם יחיד: משווה את הממוצע של מדגם אחד לערך ידוע או משוער.
• מבחן t לשני מדגמים: משווה את הממוצעים של שני מדגמים בלתי תלויים, כגון שתי קבוצות אנשים נפרדות. מחשבון זה משתמש במבחן t של ולש, שאינו מניח שלשתי הקבוצות יש אותה מידת פיזור.
• מבחן t למדגמים תלויים: משווה שתי קבוצות מדידות שנלקחו מאותם נבדקים, כגון ציונים לפני טיפול ואחריו.

כיצד להשתמש במחשבון מבחן t זה

1. בחרו סוג מבחן: מדגם יחיד, שני מדגמים או מדגמים תלויים.
2. הזינו את הנתונים.
   • מדגם יחיד: הזינו את ערכי המדגם כשהם מופרדים בפסיקים, וכן את ממוצע האוכלוסייה שאליו תתבצע ההשוואה.
   • שני מדגמים: הזינו את שני המדגמים כרשימות נפרדות של ערכים המופרדים בפסיקים.
   • מדגמים תלויים: הזינו את הזוגות בצורה (x1,y1), (x2,y2) וכן הלאה.
3. הגדירו רמת מובהקות, בדרך כלל 0.05. המחשבון אינו משתמש בערך זה. הוא מדווח על ערך ה-p ומשאיר לכם את ההחלטה.
4. סטטיסטי t, דרגות החופש וערך ה-p מופיעים ברגע שיש די נתונים. אין צורך ללחוץ על כפתור.

כדי להעריך מובהקות, השוו את ערך ה-p לרמת המובהקות. אם ערך ה-p קטן מרמת המובהקות או שווה לה, ההבדל נחשב מובהק סטטיסטית.

נוסחת מבחן t

נוסחת מבחן t למדגם יחיד

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ הוא ממוצע המדגם, $\mu_0$ הוא הערך שאליו מתבצעת ההשוואה, $s$ היא סטיית התקן של המדגם, ו־$n$ הוא גודל המדגם. דרגות החופש: $df = n - 1$.

נוסחת מבחן t לשני מדגמים (מבחן ולש)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

דרגות החופש מתקבלות ממשוואת ולש–סתרווייט:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

נוסחה זו נותנת בדרך כלל df שאינו מספר שלם.

נוסחת מבחן t למדגמים תלויים

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ הוא ממוצע ההפרשים בין כל זוג, $s_d$ היא סטיית התקן של ההפרשים האלה, ו־$n$ הוא מספר הזוגות. דרגות החופש: $df = n - 1$.

כיצד לחשב מבחן t: דוגמה פתורה

יצרן טוען שסוללה מחזיקה בממוצע 50 שעות. בודק בדק תשע סוללות ורשם את משכי הפעולה האלה, בשעות:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

שלב 1: נסחו את ההשערות. השערת האפס: הממוצע האמיתי הוא 50 שעות. ההשערה החלופית: הממוצע האמיתי אינו 50 שעות.

שלב 2: מצאו את ממוצע המדגם.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

שלב 3: מצאו את סטיית התקן של המדגם. הסטיות מהממוצע הן 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. בריבוע, הן 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, וסכומן 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

שלב 4: מצאו את סטטיסטי t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

שלב 5: מצאו את דרגות החופש.

$$df = 9 - 1 = 8$$

שלב 6: מצאו את ערך ה-p. עבור $t = 0$ ו־$df = 8$, ערך ה-p הדו־זנבי הוא 1.00.

שלב 7: הסיקו מסקנה. מכיוון ש־1.00 גדול מ־0.05, אין די ראיות לכך שאורך חיי הסוללה הממוצע שונה מ־50 שעות.

הנחות מבחן t

מבחן t נותן תוצאות מהימנות רק כאשר כמה תנאים מתקיימים בקירוב.

• נורמליות: על הנתונים להיות בעלי צורה דמוית פעמון בקירוב, במיוחד במדגמים קטנים.
• אי־תלות: כל תצפית לא אמורה להשפיע על תצפית אחרת.
• דגימה אקראית: הנתונים צריכים להגיע ממדגם אקראי של האוכלוסייה הנחקרת.

במבחן t למדגמים תלויים, התנאים האלה חלים על ההפרשים בין הזוגות, ולא על הציונים הגולמיים. במדגמים גדולים יותר, בערך מעל 30, מבחן t נוטה להישאר מדויק גם כאשר הנתונים אינם בעלי צורת פעמון מושלמת, בזכות תכונה סטטיסטית הנקראת משפט הגבול המרכזי.

חלופות למבחן t

כאשר ההנחות שלעיל אינן מתקיימות, אפשר להשתמש במבחנים אחרים.

• מבחן U של מאן–וויטני: חלופה א־פרמטרית למבחן t לשני מדגמים.
• מבחן הסימנים המדורג של וילקוקסון: חלופה א־פרמטרית למבחן t למדגמים תלויים.
• ANOVA: משווה את הממוצעים של שלוש קבוצות או יותר בבת אחת, ולא רק של שתיים.

ההיסטוריה של מבחן t

ויליאם סילי גוסט פיתח את מבחן t בשנת 1908, בעת שעבד ככימאי במבשלת גינס בדבלין. גינס לא הרשתה לעובדים לפרסם מחקרים בשמם, ולכן גוסט השתמש בשם העט "Student". לכן השיטה נקראת לעיתים קרובות מבחן t של סטודנט. הוא יצר אותה כדי לבדוק אם אצוות קטנות של חומרי גלם לבירה עומדות בתקני האיכות, תוך שימוש במספר קטן של דגימות בכל פעם.

שאלות נפוצות

למה משמש מבחן t?

מבחן t בודק אם הממוצע של מדגם שונה באופן מובהק מממוצע אחר או מערך קבוע. הוא נפוץ במחקר רפואי, פסיכולוגי, חינוכי ועסקי.

מתי כדאי להשתמש במבחן t למדגם יחיד, לשני מדגמים או למדגמים תלויים?

השתמשו במבחן t למדגם יחיד כדי להשוות ממוצע מדגם לערך ידוע. השתמשו במבחן t לשני מדגמים כדי להשוות שתי קבוצות נפרדות ובלתי קשורות. השתמשו במבחן t למדגמים תלויים כאשר מודדים את אותם נבדקים פעמיים, כגון לפני טיפול ואחריו.

מה ההבדל בין מבחן t למבחן z?

משתמשים במבחן t כאשר המדגם קטן או כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה. משתמשים במבחן z במדגמים גדולים כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה. בפועל, מבחן t משמש בתדירות גבוהה בהרבה, משום שסטיית התקן של האוכלוסייה ידועה לעיתים רחוקות מראש.

כיצד מפרשים ערך p ממבחן t?

ערך ה-p הוא ההסתברות לראות הבדל בגודל כזה או גדול ממנו, אילו למעשה לא היה הבדל אמיתי. ערך p קטן, בדרך כלל 0.05 או פחות, מצביע על כך שההבדל שנצפה אינו צפוי לנבוע ממקריות בלבד.

מהו מבחן t של ולש?

מבחן t של ולש הוא גרסה של מבחן t לשני מדגמים, שאינה דורשת שלשתי הקבוצות תהיה שונות שווה. מחשבון זה משתמש תמיד בשיטת ולש במבחנים לשני מדגמים, משום שהיא נותרת מדויקת בין אם לשתי הקבוצות יש אותה מידת פיזור ובין אם לאו.

מהן דרגות החופש במבחן t?

דרגות החופש הן מספר המבוסס על גודל המדגם, הקובע את הצורה המדויקת של התפלגות t המשמשת למציאת ערך ה-p. במבחן t למדגם יחיד או למדגמים תלויים, דרגות החופש שוות לגודל המדגם פחות 1. מבחן t של ולש לשני מדגמים משתמש בנוסחה שבדרך כלל מפיקה ערך שאינו מספר שלם.

מקורות

1. גוסט, W. S. (1908). "השגיאה הסבירה של ממוצע." Biometrika, 6(1), 1–25.
2. מדריך NIST/SEMATECH האלקטרוני לשיטות סטטיסטיות, סעיף 1.3.6.7.2, "ערכים קריטיים של התפלגות t של סטודנט."