מחשבון Z-Test - כלי חשיבות סטטיסטית חינמי

מהו מבחן z?

מבחן z הוא מבחן סטטיסטי הבודק אם ממוצע מדגם שונה באופן מובהק מממוצע אוכלוסייה ידוע, כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה כבר ידועה. הוא מפיק מספר יחיד, ציון z, המראה בכמה סטיות תקן נמצא ממוצע המדגם מממוצע האוכלוסייה. חוקרים, בודקי איכות ואנליסטים משתמשים בו כדי להעריך אם הבדל שנצפה הוא ככל הנראה אמיתי או רק תוצאה של מקריות.

נוסחת מבחן Z

מבחן z מחשב ציון z באמצעות הנוסחה הזאת:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ הוא ממוצע המדגם
• $\mu$ הוא ממוצע האוכלוסייה
• $\sigma$ היא סטיית התקן של האוכלוסייה
• $n$ הוא גודל המדגם

החלק התחתון של הנוסחה, $\sigma / \sqrt{n}$, נקרא שגיאת התקן. הוא מודד עד כמה צפויים ממוצעי מדגמים להשתנות רק עקב דגימה אקראית.

כיצד לחשב מבחן z שלב אחר שלב

1. מצאו את ממוצע המדגם ($\bar{x}$) מתוך הנתונים שנאספו.
2. זהו את ממוצע האוכלוסייה הידוע ($\mu$).
3. זהו את סטיית התקן הידועה של האוכלוסייה ($\sigma$).
4. ספרו את גודל המדגם ($n$).
5. החסירו את $\mu$ מ־$\bar{x}$.
6. חלקו את $\sigma$ בשורש הריבועי של $n$ כדי לקבל את שגיאת התקן.
7. חלקו את תוצאת שלב 5 בתוצאת שלב 6. התשובה היא ציון z.

דוגמה פתורה

מפעל טוען שאורך הברגים שלו הוא בממוצע 10 cm, עם סטיית תקן של האוכלוסייה בגודל 0.2 cm. בודק מודד 100 ברגים ומוצא שממוצע המדגם הוא 10.05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

שגיאת התקן: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

ציון z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

ציון ה־z הוא 2.5. ממוצע המדגם נמצא 2.5 שגיאות תקן מעל ממוצע האוכלוסייה.

כיצד לפרש ציון z

ציון z הקרוב ל־0 פירושו שממוצע המדגם קרוב לממוצע האוכלוסייה. ציון z חיובי או שלילי גדול פירושו שממוצע המדגם רחוק מממוצע האוכלוסייה, דבר המצביע על הבדל אמיתי ולא על מקריות.

ערכים קריטיים נפוצים למבחן דו־צדדי:

• α = 0.10 (רמת סמך של 90%): z = ±1.645
• α = 0.05 (רמת סמך של 95%): z = ±1.96
• α = 0.01 (רמת סמך של 99%): z = ±2.58

אם ציון ה־z שחושב חורג מהערך הקריטי עבור רמת המובהקות שנבחרה, התוצאה נקראת מובהקת סטטיסטית, והשערת האפס (שלפיה אין הבדל) נדחית.

בדוגמה המחושבת, z = 2.5 חורג מ־±1.96, ולכן ההבדל מובהק סטטיסטית ברמה 0.05. ערך ה־p הדו־צדדי עבור z = 2.5 הוא בקירוב 1.24%, כלומר יש בערך סיכוי של 1 ל־80 לראות הבדל גדול כל כך, אילו אורך הברגים הממוצע האמיתי היה אכן 10 cm.

מתי להשתמש במבחן z

מבחן z מתאים כאשר:

• סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה.
• גודל המדגם גדול במידה סבירה, בדרך כלל יותר מ־30.
• הנתונים מגיעים מדגימה אקראית.
• האוכלוסייה מתפלגת נורמלית, או שהמדגם גדול דיו כדי שמשפט הגבול המרכזי יחול.

אם סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה, או אם המדגם קטן, משתמשים במבחן t במקום זאת. מבחן t מעריך את השונות מתוך המדגם עצמו ומתחשב באי־הוודאות הנוספת הנגרמת מכך.

מבחן z לעומת מבחן t

שני המבחנים מודדים עד כמה ממוצע מדגם רחוק מערך צפוי, ביחידות של שגיאת תקן. מבחן z מניח שסטיית התקן של האוכלוסייה ידועה. מבחן t מעריך ערך זה מתוך המדגם ומשתמש בהתפלגות רחבה יותר, התלויה בגודל המדגם, כדי להתחשב באי־הוודאות הנוספת. בפועל, משתמשים במבחן t בתדירות גבוהה בהרבה, משום שסטיית התקן האמיתית של האוכלוסייה ידועה לעיתים רחוקות.

שימושים של מבחן z בעולם האמיתי

• בקרת איכות: בדיקה אם אצווה של חלקים מיוצרים תואמת את מפרט היעד.
• מחקר רפואי: השוואת התוצאה הממוצעת של קבוצת טיפול לערך אוכלוסייה ידוע.
• חינוך: השוואת ציוני המבחנים של כיתה לממוצע הארצי.
• מימון: בדיקה אם התשואות של קרן שונות מממוצע מדד ייחוס.

היסטוריה

ההתפלגות הנורמלית העומדת בבסיס מבחן ה־z תוארה בידי אברהם דה־מואבר בשנת 1733, כקירוב להתפלגות הבינומית. קרל פרידריך גאוס ופייר־סימון לפלס פיתחו את התאוריה בהמשך, בתחילת שנות ה־1800. שיטות פורמליות לבדיקת השערות, ובהן השימוש בציוני z ובערכים קריטיים להערכת מובהקות סטטיסטית, פותחו בתחילת המאה ה־20 בידי סטטיסטיקאים ובהם רונלד פישר, יז'י ניימן ואגון פירסון.

מה מציג מחשבון זה

המחשבון מבקש ארבעה מספרים: ממוצע המדגם, ממוצע האוכלוסייה, סטיית התקן של האוכלוסייה וגודל המדגם. הוא מציג את ציון ה־z כשהוא מעוגל לארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית. מתחת לתוצאה הוא מצייר את עקומת ההתפלגות הנורמלית התקנית ומסמן את ציון ה־z בקו אנכי, כך שמיקום התוצאה בהתפלגות גלוי. העקומה היא צפיפות ההתפלגות הנורמלית התקנית, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

חלות שתי מגבלות על הקלטים. גודל המדגם חייב להיות גדול מ־0. סטיית התקן של האוכלוסייה חייבת להיות לפחות 0.0001; פיזור קטן יותר דוחף את ציון ה־z לערך עצום שאין לו משמעות שימושית. המחשבון אינו מציג ערך p, ולכן יש להשתמש בערכים הקריטיים שלעיל, או בטבלת התפלגות נורמלית תקנית, כדי לקבוע אם התוצאה מובהקת.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין מבחן z למבחן t?

מבחן z דורש שסטיית התקן של האוכלוסייה תהיה ידועה, ופועל בצורה הטובה ביותר עם מדגמים גדולים. משתמשים במבחן t כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה ויש לאמוד אותה מתוך המדגם; הוא מתאים למדגמים קטנים וגדולים כאחד.

איזה גודל מדגם דרוש למבחן z?

גודל מדגם הגדול מ־30 הוא כלל האצבע המקובל. מתחת לכך, התוצאות של מבחן z נעשות לא אמינות, ובדרך כלל מבחן t הוא הבחירה העדיפה.

מה המשמעות של ציון z בגודל 2.5?

ציון z בגודל 2.5 פירושו שממוצע המדגם נמצא 2.5 שגיאות תקן מעל ממוצע האוכלוסייה. ערך זה חורג מהערך הקריטי הדו־צדדי ±1.96 עבור רמת סמך של 95%, ולכן ההבדל מובהק סטטיסטית ברמה זו. ערך ה־p הדו־צדדי עבור z = 2.5 הוא בקירוב 1.24%.

מהו ערך p במבחן z?

ערך ה־p הוא ההסתברות לקבל תוצאה קיצונית לפחות כמו התוצאה שנצפתה, אילו באמת לא היה הבדל מממוצע האוכלוסייה. ערך p קטן יותר הוא ראיה חזקה יותר נגד השערת האפס. ערך p הנמוך מ־0.05 נחשב בדרך כלל למובהק סטטיסטית.

מהי השערת האפס במבחן z?

השערת האפס קובעת שאין הבדל בין ממוצע המדגם לממוצע האוכלוסייה. מבחן z מודד עד כמה המדגם מספק ראיות נגד טענה זו.

האם אפשר להשתמש במבחן z עבור מדגמים קטנים?

הדבר אינו מומלץ. כאשר המדגם קטן, או כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה, מבחן t מספק תוצאות מדויקות יותר משום שהוא מתחשב באי־הוודאות הנוספת הכרוכה באמידת השונות מנתונים מוגבלים.