מחשבון ציון Z - כלי ציון סטנדרטי והסתברות

מהו ציון Z?

ציון Z, הנקרא גם ציון תקן, מודד כמה סטיות תקן מפרידות בין נקודת נתונים לבין הממוצע של מערך נתונים. ציון Z של 0 פירושו שהערך שווה לממוצע. ציון Z חיובי פירושו שהערך נמצא מעל הממוצע, וציון Z שלילי פירושו שהוא נמצא מתחתיו.

נוסחת ציון Z

ציון ה-Z של נקודת נתונים מחושב באמצעות הנוסחה הזאת:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

כאשר:

• $z$ הוא ציון ה-Z
• $x$ היא נקודת הנתונים
• $\mu$ הוא הממוצע של מערך הנתונים
• $\sigma$ היא סטיית התקן של מערך הנתונים

סטיית התקן אינה יכולה להיות אפס, משום שלחלוקה באפס אין תוצאה מוגדרת. היא גם אינה יכולה להיות שלילית, מכיוון שסטיית תקן היא תמיד אפס או חיובית מעצם הגדרתה.

כיצד לחשב ציון Z

1. מצאו את הממוצע של מערך הנתונים על ידי חיבור כל הערכים וחלוקה במספר הערכים, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. מצאו את סטיית התקן. תחילה חשבו את השונות, כלומר את הממוצע של ריבועי ההפרשים מהממוצע, ולאחר מכן הוציאו את השורש הריבועי שלה.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

זוהי סטיית התקן של האוכלוסייה, המחלקת ב־$n$. כאשר המספרים הם מדגם שנלקח מקבוצה גדולה יותר, חלקו ב־$n - 1$ במקום זאת.

3. החסירו את הממוצע מנקודת הנתונים וחלקו בסטיית התקן.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

דוגמה פתורה

תלמיד קיבל ציון 85 במבחן. ממוצע הכיתה הוא 75, וסטיית התקן של ציוני הכיתה היא 10.

• נקודת נתונים: $x = 85$
• ממוצע: $\mu = 75$
• סטיית תקן: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

ציון ה-Z של התלמיד הוא 1.0. הציון שלו גבוה בסטיית תקן אחת מממוצע הכיתה.

ציון Z והסתברות מצטברת

אפשר להמיר ציון Z להסתברות מצטברת, כלומר לסיכוי שערך שנבחר באקראי מהתפלגות נורמלית ייפול בנקודה זו או מתחתיה. זוהי השטח מתחת לעקומה הנורמלית התקנית משמאל ל־$z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

עבור ציון ה-Z של התלמיד, 1.0, ההסתברות המצטברת היא בערך 0.8413, או 84.13%. פירוש הדבר שהתלמיד קיבל ציון גבוה יותר מכ־84% מהכיתה, בהנחה שהציונים מתפלגים בהתפלגות נורמלית. המחשבון מציג את ציון ה-Z עד ארבע ספרות אחרי הנקודה ואת ההסתברות המצטברת באחוזים עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

כמה נקודות ייחוס:

פירוש ציון Z

רוב הערכים בהתפלגות נורמלית נמצאים בטווח של 2 סטיות תקן מהממוצע. ציוני Z שמעבר ל־+3 או ל־-3 נדירים ולעיתים נחשבים לערכים חריגים, כלומר לערכים השונים במידה ניכרת משאר הנתונים.

ציוני Z מאפשרים גם להשוות ערכים שנמדדו בסולמות שונים. אי אפשר להשוות ישירות בין ציון במבחן לבין מדידת גובה, אך אפשר להשוות בין ציוני ה-Z שלהם, משום ששניהם מתארים את המרחק מהממוצע באותן יחידות של סטיית תקן.

ציון Z לעומת ציון T

ציון Z מניח שסטיית התקן של האוכלוסייה ידועה ומתאים במיוחד למדגמים גדולים. ציון T משמש במקום זאת כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה והמדגם קטן, בדרך כלל מתחת ל־30 תצפיות. שניהם מתארים מרחק מהממוצע, אך ציון T נובע מהתפלגות T, שלה זנבות כבדים יותר כדי להביא בחשבון את אי־הוודאות הנוספת במדגם קטן.

שימושים נפוצים בציוני Z

• מבחנים מתוקננים. השוואת הציון הגולמי של תלמיד להתפלגות הציונים הכללית.
• זיהוי ערכים חריגים. סימון נקודות נתונים המרוחקות מהממוצע במערך נתונים.
• בקרת איכות. בדיקה אם מוצר מיוצר נמצא בטווח קביל.
• בדיקת השערות. מבחני Z משתמשים בציוני Z כדי לקבוע אם ממוצע מדגם שונה במידה משמעותית מממוצע ידוע של אוכלוסייה.

היסטוריה

ציון ה-Z מתבסס על ההתפלגות הנורמלית, שתוארה על ידי אברהם דה־מואבר בשנת 1733 ופותחה בהמשך על ידי קרל פרידריך גאוס ופייר־סימון לפלס בתחילת המאה ה־19. הפיכת ערכים ליחידות של סטיית תקן נעשתה נוהג מקובל במבחנים פסיכולוגיים ובבקרת איכות במהלך המאה ה־20.

שאלות נפוצות

מהו ציון Z בסטטיסטיקה? ציון Z הוא מספר סטיות התקן שבהן נקודת נתונים נמצאת מהממוצע של מערך הנתונים שלה. הוא מחושב באמצעות הנוסחה z = (x − μ) / σ.

כיצד מפרשים תוצאה של ציון Z? ציון Z של 0 פירושו שהערך שווה לממוצע. ערך חיובי נמצא מעל הממוצע, וערך שלילי נמצא מתחתיו. ערכים שמעבר ל־+3 או ל־-3 אינם שכיחים.

האם ציון Z יכול להיות שלילי? כן. ציון Z שלילי פירושו פשוט שנקודת הנתונים נמצאת מתחת לממוצע. ציון Z של -2 פירושו שהערך נמצא 2 סטיות תקן מתחת לממוצע.

מה ההבדל בין ציון Z לציון T? ציון Z משמש במדגמים גדולים כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה. ציון T משמש במדגמים קטנים, בדרך כלל מתחת ל־30, כאשר היא אינה ידועה.

מה פירושה של הסתברות מצטברת עבור ציון Z? זוהי ההסתברות שערך שנבחר באקראי מהתפלגות נורמלית יהיה קטן מציון ה-Z הנתון או שווה לו. היא שווה לשטח מתחת לעקומה הנורמלית משמאל לנקודה זו.

מה קורה כאשר סטיית התקן היא אפס? ציון ה-Z אינו מוגדר, משום שהנוסחה דורשת חלוקה באפס. סטיית תקן של אפס פירושה שכל הערכים במערך הנתונים זהים.

מקורות

1. ציון תקן, ויקיפדיה: https://he.wikipedia.org/wiki/ציון_תקן
2. התפלגות נורמלית וציוני Z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review