מחשבון התפלגות פואסון - חישוב הסתברויות אירועים

מהו מחשבון להתפלגות פואסון?

מחשבון להתפלגות פואסון מוצא את ההסתברות שמספר מסוים של אירועים יתרחש בפרק זמן או במרחב קבועים, על סמך התדירות הממוצעת שבה האירועים מתרחשים. משתמשים בו כאשר האירועים מתרחשים בזה אחר זה, ללא תלות זה בזה, בקצב ממוצע קבוע. דוגמאות נפוצות הן מספר שיחות הטלפון שמוקד מקבל בשעה או מספר שגיאות ההקלדה בעמוד.

הנוסחה של התפלגות פואסון

התפלגות פואסון נותנת את ההסתברות להתרחשות של בדיוק k אירועים כאשר הקצב הממוצע הוא λ (האות היוונית למדא):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

המשמעות של כל סמל:

• λ (למדא) — המספר הממוצע של אירועים בכל מרווח. זהו הפרמטר היחיד של ההתפלגות.
• k — המספר המדויק של אירועים שההסתברות שלו מחושבת. הוא חייב להיות מספר שלם, 0 ומעלה.
• e — המספר של אוילר, קבוע שערכו בערך 2.71828.
• k! — "עצרת k", מכפלת כל המספרים השלמים מ־1 עד k. לדוגמה, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. לפי ההגדרה, 0! = 1.

הנוסחה זקוקה רק ל־λ ול־k. בניגוד להתפלגות בינומית, היא אינה זקוקה למספר כולל של ניסויים.

כיצד לחשב הסתברות לפי התפלגות פואסון

1. בוחרים את λ, המספר הממוצע של אירועים במרווח הנחקר.
2. בוחרים את k, המספר המדויק של אירועים שעבורו רוצים למצוא את ההסתברות.
3. מעלים את e בחזקת λ שלילית: כך מתקבל e^(−λ).
4. מעלים את λ בחזקת k: כך מתקבל λ^k.
5. מוצאים את k!, העצרת של k.
6. כופלים את התוצאות של שלבים 3 ו־4, ואז מחלקים בתוצאה של שלב 5.

המספר שמתקבל הוא הסתברות בין 0 ל־1. כופלים אותו ב־100 כדי להביע אותו באחוזים.

דוגמה פתורה

מוקד מקבל בממוצע 5 שיחות בשעה (λ = 5). מה ההסתברות שהוא יקבל בדיוק 3 שיחות בשעה נתונה (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0.006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. כפל: 0.006738 × 125 ≈ 0.842243
5. חלוקה ב־6: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

ההסתברות לקבל בדיוק 3 שיחות באותה שעה היא בערך 0.140, כלומר 14%.

דוגמאות נוספות

שימושים בהתפלגות פואסון

התפלגות פואסון מתארת ספירות של אירועים נדירים ובלתי תלויים. שימושים נפוצים כוללים:

• מוקדים ושירות לקוחות: חיזוי מספר השיחות או הצ'אטים שמגיעים בכל שעה.
• ייצור: הערכת מספר הפגמים באצווה של מוצרים.
• ביטוח: הערכת מספר התביעות שיגיעו בפרק זמן נתון.
• ביולוגיה ורפואה: תיאור מספר המוטציות או התפשטותן של מחלות נדירות.
• פיזיקה: תיאור דעיכה רדיואקטיבית, שבה כל אטום דועך באופן בלתי תלוי בקצב ממוצע קבוע.
• הנדסת תעבורה ורשתות: הערכת הגעת כלי רכב לצומת או של בקשות לשרת.

תנאים לשימוש בהתפלגות פואסון

התפלגות פואסון מתאימה למצב רק כאשר כל התנאים הבאים מתקיימים:

• האירועים מתרחשים בזה אחר זה; שני אירועים אינם יכולים להתרחש בדיוק באותו רגע.
• האירועים מתרחשים באופן בלתי תלוי — אירוע אחד אינו הופך את האירוע הבא לסביר יותר או פחות.
• הקצב הממוצע, λ, נשאר קבוע לאורך המרווח הנחקר.

אם הקצב משתנה לאורך הזמן או שהאירועים נוטים להתרכז יחד, התפלגות פואסון הרגילה לא תתאר היטב את הנתונים.

פואסון לעומת התפלגויות קשורות

• התפלגות בינומית: משמשת כאשר יש מספר קבוע של ניסויים והסתברות הצלחה ידועה בכל אחד מהם, כגון הטלת מטבע 20 פעמים. התפלגות פואסון היא הגבול שאליו שואפת ההתפלגות הבינומית כאשר מספר הניסויים גדל מאוד והסתברות ההצלחה בכל ניסוי שואפת לאפס, בעוד שהמכפלה שלהם נשארת בערך λ.
• התפלגות נורמלית: כאשר λ גדול, בדרך כלל מעל 20, התפלגות פואסון דומה בקירוב להתפלגות נורמלית בצורת פעמון, עם ממוצע λ ושונות λ.
• התפלגות מעריכית: בעוד שהתפלגות פואסון סופרת כמה אירועים מתרחשים במרווח קבוע, ההתפלגות המעריכית מתארת את זמן ההמתנה בין האירועים האלה.

הערה על ההיסטוריה

המתמטיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון הציג את ההתפלגות בשנת 1837, בספר על הסתברות שיושמה על פסקי דין. בתחילה היא זכתה לתשומת לב מועטה. השימוש בה התרחב בראשית המאה ה־20, לאחר שסטטיסטיקאים כמו לדיסלאוס בורטקביץ' ורונלד פישר יישמו אותה על נתוני ספירה ממשיים, ובהם מחקר מפורסם על חיילים פרוסים שנהרגו מבעיטות סוסים.

שאלות נפוצות

מה המשמעות של למדא (λ) בהתפלגות פואסון? למדא הוא המספר הממוצע של אירועים הצפויים במרווח הנחקר. הוא גם השונות של ההתפלגות, ולכן λ גדול יותר פירושו גם ספירה ממוצעת גבוהה יותר וגם פיזור גדול יותר בתוצאות האפשריות.

האם k או λ יכולים להיות שליליים או שבריים? λ חייב להיות גדול מ־0, אך הוא יכול להיות מספר עשרוני, כגון 2.5 אירועים בשעה. k חייב להיות מספר שלם מ־0 ומעלה, מכיוון שהוא סופר אירועים ממשיים; הוא אינו יכול להיות שלילי או שבר.

במה שונה התפלגות פואסון מהתפלגות בינומית? ההתפלגות הבינומית זקוקה למספר קבוע של ניסויים ולהסתברות הצלחה קבועה בכל ניסוי. התפלגות פואסון זקוקה רק לקצב ממוצע ומתאימה לאירועים שיכולים, באופן עקרוני, להתרחש מספר כלשהו של פעמים.

מתי כדאי להשתמש במקום זאת בהתפלגות נורמלית? כאשר λ גדול, בדרך כלל מעל בערך 20, התפלגות נורמלית בעלת אותו ממוצע ואותה שונות מקרבת היטב את התפלגות פואסון, ולעיתים קרובות קל יותר לחשב אותה באופן ידני.

מדוע המחשבון מציג לפעמים מספר בסימון מדעי? התוצאות מוצגות בדרך כלל עד שש ספרות אחרי הנקודה העשרונית. כאשר הסתברות קטנה מ־0.0001, עיגול לשש ספרות אחרי הנקודה היה נותן 0.000000 ומסתיר עד כמה היא קטנה באמת, ולכן המחשבון עובר לסימון מדעי. עבור λ = 20 ו־k = 1 הוא מציג 4.122307e-8, כלומר 0.00000004122307.

האם יש מגבלות על הערכים שהמחשבון מקבל? כן. λ חייב להיות גדול מ־0 ולא גדול מ־700, ו־k חייב להיות מספר שלם מ־0 עד 1000. מחוץ לגבולות האלה המחשבון מציג שגיאה. המגבלות משאירות את התוצאה בטווח המספרים שמחשב יכול לאחסן, ושומרות על מספר עמודות קריא בתרשים.

האם התפלגות פואסון מאפשרת יותר מאירוע אחד בבת אחת? לא. המודל מניח שהאירועים מתרחשים בזה אחר זה. אם שני אירועים מתרחשים באופן שגרתי יחד, התפלגות אחרת תתאים לנתונים טוב יותר.

מקורות

1. פואסון, סימאון דני. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. פריז, 1837.
2. הייט, פרנק א. Handbook of the Poisson Distribution. ניו יורק: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, סעיף 1.3.6.6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. ג'ונסון, נורמן ל', אדריאן ו' קמפ וסמואל קוץ. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.