מחשבון התפלגות לפלס - כלי PDF וויזואליזציה חינמי

מהי התפלגות לפלס?

התפלגות לפלס, המכונה גם התפלגות מעריכית כפולה, היא התפלגות הסתברות רציפה שצורתה כשתי עקומות מעריכיות המחוברות גב אל גב בנקודת השיא שלהן. היא סימטרית סביב ערך מרכזי, ויש לה זנבות כבדים יותר משל ההתפלגות הנורמלית, ולכן היא מקצה הסתברות גדולה יותר לערכים קיצוניים. מחשבון התפלגות לפלס בדף זה מוצא את צפיפות ההסתברות המרבית של ההתפלגות מתוך פרמטר מיקום ופרמטר קנה מידה, ומשרטט את עקומת הצפיפות המלאה.

ההתפלגות נקראת על שמו של פייר־סימון לפלס, המתמטיקאי הצרפתי שתיאר אותה לראשונה בשנת 1774.

נוסחת התפלגות לפלס

פונקציית צפיפות ההסתברות (PDF) של התפלגות לפלס היא:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x הוא כל נקודה על ישר המספרים.
• μ (מו), פרמטר המיקום, הוא מרכז ההתפלגות. הוא גם הממוצע והחציון.
• b, פרמטר קנה המידה, קובע עד כמה ההתפלגות מפוזרת. עליו להיות גדול מ־0.
• |x − μ| הוא המרחק בין x למרכז, בלי להתחשב בכיוון.

העקומה מגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה בדיוק ב־x = μ. בנקודה זו הנוסחה מצטמצמת, מכיוון ש־|μ − μ| = 0 ו־exp(0) = 1, ולכן מתקבל:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

ערך שיא זה, 1/(2b), הוא המספר שהמחשבון מדווח עליו.

כיצד להשתמש במחשבון התפלגות לפלס

1. הזינו את פרמטר המיקום (μ). פרמטר זה קובע היכן ממורכזת ההתפלגות.
2. הזינו את פרמטר קנה המידה (b). עליו להיות מספר חיובי; ככל שהערך גדול יותר, העקומה שטוחה ומפוזרת יותר.
3. המחשבון מציג את צפיפות השיא, 1/(2b), ומשרטט את עקומת הצפיפות f(x) מ־μ − 4b עד μ + 4b. הציר האנכי של הגרף מציג את צפיפות ההסתברות, וניתן להוריד את העקומה כטבלה של ערכי x ו־f(x).

המחשבון אינו מקבל ערך x נפרד. הוא תמיד מדווח על הצפיפות בשיא של ההתפלגות עצמה, x = μ, מכיוון שזהו המספר המסכם השימושי ביותר להשוואת התפלגויות בעלות סולמות שונים. כדי למצוא את הצפיפות בנקודה אחרת, השתמשו בנוסחה שלעיל עם ערך ה־x הרצוי, או קראו את גובה העקומה מהגרף.

דוגמה פתורה

נניח שמיקום ההתפלגות הוא μ = 4 וקנה המידה הוא b = 2.

1. בדקו ש־b חיובי: 2 > 0, ולכן הקלטים תקפים.
2. השיא מתקבל ב־x = μ = 4, כאשר |x − μ| = 0.
3. חשבו את צפיפות השיא: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0.25.

המחשבון מציג 0.250000. העקומה המשורטטת מגיעה לשיא בנקודה (4, 0.25) ויורדת באופן סימטרי משני הצדדים, כשהיא משתרעת מ־μ − 4b עד μ + 4b, כלומר מ־−4 עד 12 במקרה זה.

מכיוון שנוסחת צפיפות השיא, 1/(2b), אינה כוללת את μ, שינוי המיקום רק מזיז את העקומה שמאלה או ימינה. הוא אינו משנה את גובהה. רק פרמטר קנה המידה משנה את הגובה.

דוגמאות נוספות

ממוצע, שונות וסטיית תקן

עבור התפלגות לפלס עם מיקום μ וקנה מידה b:

• ממוצע = μ
• חציון = μ
• שונות = 2b²
• סטיית תקן = b√2

התפלגות לפלס לעומת התפלגות נורמלית

שתי ההתפלגויות סימטריות ובעלות צורת פעמון, ושתיהן מתוארות במלואן באמצעות פרמטר מרכז ופרמטר פיזור. ההבדל נמצא בזנבות. בהתפלגות הנורמלית הצפיפות קטנה בהתאם לריבוע המרחק מהממוצע, ולכן ערכים קיצוניים נעשים נדירים מאוד במהירות. בהתפלגות לפלס היא קטנה בהתאם למרחק עצמו, ולכן ערכים קיצוניים נשארים סבירים יותר יחסית. הדבר הופך את התפלגות לפלס לשימושית כאשר בנתונים אמיתיים יש יותר ערכים חריגים מכפי שהתפלגות נורמלית הייתה מנבאת.

שימושים נפוצים

• עיבוד אותות ותמונות: מידול רעשים ודחיסת תמונות, מכיוון שהבדלים בין פיקסלים או אותות נוטים להתרכז סביב אפס, עם קפיצות גדולות מזדמנות.
• פרטיות דיפרנציאלית: מנגנון לפלס מוסיף רעש המתפלג לפי התפלגות לפלס לתוצאות שאילתות, כדי להגן על נתונים אישיים תוך שמירה על דיוק כללי.
• סטטיסטיקה עמידה ורגרסיה: רגרסיית Lasso משתמשת בהתפלגות קודמת בצורת לפלס, המעדיפה פתרונות שבהם מקדמים רבים שווים בדיוק לאפס.
• פיננסים: מידול תשואות של נכסים, הנוטות להיות בעלות זנבות כבדים יותר מכפי שהתפלגות נורמלית מרמזת.
• סייסמולוגיה: מופיעה במודלים של דפוסי עוצמת רעידות אדמה הקשורים לחוק גוטנברג–ריכטר.

שאלות נפוצות

מה משמעות התוצאה של המחשבון?

זהו ערך השיא, או הערך המרבי, של פונקציית צפיפות ההסתברות, השווה ל־1/(2b). זהו גובה העקומה במרכזה, x = μ.

מדוע המחשבון אינו מבקש ערך x?

צפיפות השיא, 1/(2b), זהה בכל ערך x השווה ל־μ, ולכן אין צורך בקלט x נפרד כדי למצוא אותה. זהו המספר האחיד המשמש להשוואת מידת הגובה והצרות, או הנמיכות והרוחב, של שתי התפלגויות לפלס. העקומה המלאה, המציגה את הצפיפות בכל ערך x, זמינה בגרף.

כיצד מוצאים את הצפיפות בנקודה שאינה נקודת השיא?

השתמשו בנוסחה $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ עם ערך ה־x הרצוי, או קראו את הגובה ישירות מהעקומה המשורטטת.

במה שונה התפלגות לפלס מהתפלגות מעריכית?

ניתן לבנות את התפלגות לפלס משתי התפלגויות מעריכיות. אם X ו־Y הם משתנים מקריים בעלי התפלגות מעריכית, בלתי־תלויים ובעלי אותו קצב, אז X − Y מתפלג לפי התפלגות לפלס שמרכזה ב־0.

מהם השימושים האופייניים של התפלגות לפלס?

משתמשים בה בעיבוד אותות, בדחיסת תמונות, בפרטיות דיפרנציאלית, בסטטיסטיקה עמידה, ברגרסיית Lasso ובמידול תשואות פיננסיות ועוצמות של רעידות אדמה, בכל מקום שבו נתונים אמיתיים מציגים יותר ערכים קיצוניים מכפי שהתפלגות נורמלית מנבאת.

האם התפלגות לפלס יכולה להיות שלילית, או שהיא מיועדת רק לערכים חיוביים?

היא מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים, חיוביים ושליליים כאחד, בניגוד להתפלגות המעריכית, שמקבלת רק ערכים שאינם שליליים.

מקורות

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." ויקיפדיה, קרן ויקימדיה. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution