Fisherov egzaktni test kalkulator - besplatni statistički alat

Što je Fisherov egzaktni test?

Fisherov egzaktni test statistička je metoda kojom se provjerava jesu li dvije kategorijske varijable povezane, koristeći podatke raspoređene u tablicu 2×2. Izračunava egzaktno vjerojatnost, koja se naziva p-vrijednost, umjesto aproksimacije. Zbog toga je koristan kada je uzorak malen.

Test uspoređuje frekvencije u dva retka i dva stupca, primjerice pacijente koji su primili liječenje i one koji ga nisu primili, a koji su se oporavili ili nisu. Tablica 2×2 ima četiri ćelije, obično označene slovima A, B, C i D, te zbrojeve redaka i stupaca.

Fisherov egzaktni test u odnosu na hi-kvadrat test

Hi-kvadrat test također provjerava postoji li povezanost između dviju kategorijskih varijabli, ali se oslanja na aproksimaciju koja dobro funkcionira samo kada su frekvencije u ćelijama dovoljno velike. Uobičajeno pravilo glasi: ako je očekivana frekvencija u bilo kojoj ćeliji tablice manja od 5, hi-kvadratna aproksimacija postaje nepouzdana i bolji je izbor Fisherov egzaktni test. Fisherov egzaktni test funkcionira za bilo koju veličinu uzorka, ali je matematički egzaktan, a ne aproksiman, što je njegova glavna prednost kod malih uzoraka.

Kako izračunati Fisherov egzaktni test

Test koristi hipergeometrijsku distribuciju, koja opisuje vjerojatnost izvlačenja određenog broja elemenata iz skupa bez vraćanja. Na temelju zbrojeva redaka i stupaca tablice hipergeometrijska distribucija daje vjerojatnost svakog konkretnog rasporeda frekvencija u četiri ćelije.

Formula za vjerojatnost

Za tablicu s ćelijama A, B, C i D, zbrojevima redaka r₁ = A + B i r₂ = C + D, zbrojevima stupaca c₁ = A + C i c₂ = B + D te ukupnom veličinom uzorka n = A + B + C + D, vjerojatnost te točne tablice iznosi:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Ovdje „!” znači faktorijel: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Jednostrana p-vrijednost

Jednostrana p-vrijednost zbraja vjerojatnost opažene tablice i svake druge tablice s istim zbrojevima redaka i stupaca koja pokazuje jednako snažnu ili snažniju povezanost u istom smjeru. „Smjer” se određuje usporedbom ćelije A s vrijednošću koju bi imala da varijable nisu povezane, a ta se vrijednost naziva očekivanom vrijednošću: E(A) = r₁c₁ / n.

• Ako je A jednako E(A) ili veće od E(A), povezanost je pozitivna, a zbroj obuhvaća svaku moguću vrijednost ćelije A od opažene vrijednosti do njezine najveće moguće vrijednosti.
• Ako je A manje od E(A), povezanost je negativna, a zbroj se proteže od najniže moguće vrijednosti ćelije A do opažene vrijednosti.

Dvostrana p-vrijednost

Dvostrana p-vrijednost zbraja vjerojatnosti svake moguće tablice s istim zbrojevima redaka i stupaca čija je vjerojatnost jednaka vjerojatnosti opažene tablice ili manja od nje. To obuhvaća ekstremne rezultate u oba smjera, pa je dvostrana p-vrijednost obično veća od jednostrane p-vrijednosti izračunate za istu tablicu.

Primjer s rješenjem

U malom ispitivanju novi lijek dobiva 10 pacijenata, a placebo 10 drugih pacijenata. Rezultati:

Ovdje su A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, a n = 20. Očekivana vrijednost A uz pretpostavku neovisnosti jest E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Budući da je 8 veće od 5,5, povezanost je pozitivna, pa se jednostrani zbroj proteže od A = 8 do najveće moguće vrijednosti A, koja iznosi 10.

Računanje hipergeometrijskih vjerojatnosti za A = 8, 9 i 10 daje jednostranu p-vrijednost od približno 0,0349. Zbrajanjem vjerojatnosti svake tablice, u oba smjera, čija je vjerojatnost jednaka vjerojatnosti opažene tablice ili manja od nje, dobiva se dvostrana p-vrijednost od približno 0,0698.

Pri uobičajenom pragu od 0,05 jednostrani se rezultat smatra statistički značajnim, dok se dvostrani rezultat ne smatra značajnim. To pokazuje zašto je odabir vrste testa važan: jednostrani test prikladan je samo kada je smjer učinka, ovdje poboljšanje ishoda zahvaljujući lijeku, predviđen prije uvida u podatke.

Kada upotrijebiti Fisherov egzaktni test

Fisherov egzaktni test često se upotrebljava u:

• Kliničkim ispitivanjima s malim brojem pacijenata.
• Provjerama kontrole kvalitete u kojima se uspoređuju brojevi nedostataka između dviju proizvodnih serija.
• Genetičkim istraživanjima u kojima se uspoređuju frekvencije neke osobine između dviju malih skupina.
• Svakoj tablici 2×2 u kojoj je očekivana frekvencija u nekoj ćeliji manja od 5.

Često postavljana pitanja

Čemu služi Fisherov egzaktni test? Provjerava jesu li dvije kategorijske varijable povezane, koristeći frekvencije iz tablice 2×2. Često se odabire umjesto hi-kvadrat testa kada je uzorak malen.

Kada Fisherov egzaktni test treba upotrijebiti umjesto hi-kvadrat testa? Kada je očekivana frekvencija u bilo kojoj ćeliji tablice manja od 5 ili kada je, neovisno o veličini uzorka, potrebna veća sigurnost u egzaktni probabilitet.

Koja je razlika između jednostranih i dvostranih rezultata? Jednostrana p-vrijednost testira unaprijed predviđeni smjer učinka, određen prije uvida u podatke. Dvostrana p-vrijednost testira postoji li ikakva povezanost, u bilo kojem smjeru. Dvostrana p-vrijednost iz iste tablice obično je veća.

Prikazuje li ovaj kalkulator omjer izgleda? Ne. Prikazuje samo egzaktni p-probabilitet. Omjer izgleda za istu tablicu može se zasebno dobiti dijeljenjem A × D s B × C.

Može li se Fisherov egzaktni test upotrijebiti za tablice veće od 2×2? Ovdje opisana inačica namijenjena je tablicama 2×2. Za veće tablice potrebna je srodna metoda koja se naziva Freeman-Haltonovo proširenje, a dostupna je u većini statističkih programa.

Može li se Fisherov egzaktni test upotrijebiti za uparene podatke, poput mjerenja istih osoba prije i poslije? Ne. Pretpostavlja dvije neovisne skupine. Za uparene kategorijske podatke treba upotrijebiti McNemarov test.

Reference

1. Fisher, R. A. (1922). „On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.” Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G. H. i Halton, J. H. (1951). „Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.” Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. izd.). Wiley.