T-Test Kalkulator - Besplatni Online Alat za Statističku Analizu

Što je t-test?

T-test je statistička metoda kojom se provjerava razlikuje li se prosjek skupa brojeva značajno od drugog prosjeka ili od fiksne vrijednosti. Naziva se i Studentov t-test. Istraživači ga koriste za usporedbu dviju skupina, primjerice tretirane i kontrolne skupine, ili za usporedbu jedne skupine s poznatim standardom.

Test daje broj koji se naziva t-statistika. T-statistika koja je daleko od nule upućuje na to da se prosjeci doista razlikuju. T-statistika blizu nule upućuje na to da bi razlika mogla biti samo slučajni šum.

Vrste t-testova

Ovaj kalkulator podržava tri vrste t-testa.

• T-test za jedan uzorak: uspoređuje sredinu jednog uzorka s poznatom ili pretpostavljenom vrijednošću.
• T-test za dva uzorka: uspoređuje sredine dvaju neovisnih uzoraka, primjerice dviju zasebnih skupina ljudi. Ovaj kalkulator koristi Welchov t-test, koji ne pretpostavlja da se dvije skupine raspršuju u jednakom opsegu.
• T-test za zavisne uzorke: uspoređuje dva skupa mjerenja dobivena od istih ispitanika, primjerice rezultate prije i poslije tretmana.

Kako se koristi ovaj kalkulator t-testa

1. Odaberite vrstu testa: za jedan uzorak, za dva uzorka ili za zavisne uzorke.
2. Unesite podatke.
   • Jedan uzorak: unesite vrijednosti uzorka, odvojene zarezima, i sredinu populacije s kojom ih želite usporediti.
   • Dva uzorka: unesite oba uzorka kao zasebne popise vrijednosti odvojenih zarezima.
   • Zavisni uzorci: unesite parove u obliku (x1,y1), (x2,y2) i tako dalje.
3. Postavite razinu značajnosti, najčešće 0,05. Kalkulator ne koristi tu vrijednost. Prikazuje p-vrijednost, a odluku prepušta vama.
4. T-statistika, stupnjevi slobode i p-vrijednost pojavljuju se čim ima dovoljno podataka. Nije potrebno pritisnuti gumb.

Za procjenu značajnosti usporedite p-vrijednost s razinom značajnosti. Ako je p-vrijednost manja ili jednaka razini značajnosti, razlika se smatra statistički značajnom.

Formula t-testa

Formula t-testa za jedan uzorak

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ je sredina uzorka, $\mu_0$ je vrijednost s kojom se uspoređuje, $s$ je standardna devijacija uzorka, a $n$ je veličina uzorka. Stupnjevi slobode: $df = n - 1$.

Formula t-testa za dva uzorka (Welchov test)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Stupnjevi slobode dobivaju se iz Welch–Satterthwaiteove jednadžbe:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Ova formula obično daje df koji nije cijeli broj.

Formula t-testa za zavisne uzorke

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ je sredina razlika između svakog para, $s_d$ je standardna devijacija tih razlika, a $n$ je broj parova. Stupnjevi slobode: $df = n - 1$.

Kako izračunati t-test: riješeni primjer

Proizvođač tvrdi da baterija u prosjeku traje 50 sati. Ispitivač provjerava devet baterija i bilježi njihovo trajanje, u satima:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Korak 1: Postavite hipoteze. Nulta hipoteza: prava sredina iznosi 50 sati. Alternativna hipoteza: prava sredina nije 50 sati.

Korak 2: Odredite sredinu uzorka.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Korak 3: Odredite standardnu devijaciju uzorka. Odstupanja od sredine iznose 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Njihovi kvadrati iznose 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, a njihov je zbroj 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Korak 4: Odredite t-statistiku.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Korak 5: Odredite stupnjeve slobode.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Korak 6: Odredite p-vrijednost. Za $t = 0$ i $df = 8$, dvostrana p-vrijednost iznosi 1,00.

Korak 7: Donesite zaključak. Budući da je 1,00 veće od 0,05, nema dovoljno dokaza da se prosječno trajanje baterije razlikuje od 50 sati.

Pretpostavke t-testa

T-test daje pouzdane rezultate samo kada je nekoliko uvjeta približno ispunjeno.

• Normalnost: podaci bi trebali približno imati oblik zvona, osobito kod malih uzoraka.
• Neovisnost: svako opažanje ne bi smjelo utjecati ni na jedno drugo opažanje.
• Slučajno uzorkovanje: podaci bi trebali potjecati iz slučajnog uzorka populacije koja se proučava.

Kod t-testa za zavisne uzorke ti se uvjeti odnose na razlike između parova, a ne na izvorne rezultate. Kod većih uzoraka, približno većih od 30, t-test obično ostaje točan čak i kada podaci nemaju savršen oblik zvona, zbog statističkog svojstva koje se naziva središnji granični teorem.

Alternative t-testu

Kada prethodne pretpostavke nisu ispunjene, umjesto njega mogu se koristiti drugi testovi.

• Mann-Whitneyjev U-test: neparametrijska alternativa t-testu za dva uzorka.
• Wilcoxonov test predznaka rangova: neparametrijska alternativa t-testu za zavisne uzorke.
• ANOVA: istodobno uspoređuje sredine triju ili više skupina, umjesto samo dviju.

Povijest t-testa

William Sealy Gosset razvio je t-test 1908. godine, radeći kao kemičar u pivovari Guinness u Dublinu. Guinness zaposlenicima nije dopuštao objavljivanje istraživanja pod vlastitim imenima, pa se Gosset koristio pseudonimom „Student”. Zato se ta metoda često naziva Studentov t-test. Razvio ju je kako bi procijenio zadovoljavaju li male šarže sastojaka za proizvodnju piva standarde kvalitete, koristeći samo nekoliko uzoraka odjednom.

Često postavljana pitanja

Čemu služi t-test?

T-test provjerava razlikuje li se sredina uzorka statistički značajno od drugog prosjeka ili od fiksne vrijednosti. Čest je u medicini, psihologiji, obrazovanju i poslovnim istraživanjima.

Kada trebam koristiti t-test za jedan uzorak, za dva uzorka ili za zavisne uzorke?

T-test za jedan uzorak koristite za usporedbu sredine uzorka s poznatom vrijednošću. T-test za dva uzorka koristite za usporedbu dviju zasebnih, nepovezanih skupina. T-test za zavisne uzorke koristite kada se isti ispitanici mjere dvaput, primjerice prije i poslije tretmana.

Koja je razlika između t-testa i z-testa?

T-test se koristi kada je uzorak malen ili standardna devijacija populacije nije poznata. Z-test se koristi za velike uzorke kada je standardna devijacija populacije poznata. U praksi se t-test koristi mnogo češće jer standardna devijacija populacije rijetko jest unaprijed poznata.

Kako tumačiti p-vrijednost t-testa?

P-vrijednost je vjerojatnost da bi se pojavila ovako velika ili veća razlika kada zapravo ne bi postojala nikakva stvarna razlika. Mala p-vrijednost, obično jednaka ili manja od 0,05, upućuje na to da opažena razlika vjerojatno nije posljedica same slučajnosti.

Što je Welchov t-test?

Welchov t-test je inačica t-testa za dva uzorka koja ne zahtijeva da dvije skupine imaju jednake varijance. Ovaj kalkulator uvijek koristi Welchovu metodu za testove s dva uzorka jer ostaje točna bez obzira na to razlikuju li se skupine po opsegu varijabilnosti.

Što su stupnjevi slobode u t-testu?

Stupnjevi slobode su broj koji se, na temelju veličine uzorka, koristi za određivanje točnog oblika t-raspodjele kojom se pronalazi p-vrijednost. Kod t-testa za jedan uzorak ili za zavisne uzorke stupnjevi slobode jednaki su veličini uzorka umanjenoj za 1. Welchov t-test za dva uzorka koristi formulu koja obično daje vrijednost koja nije cijeli broj.

Reference

1. Gosset, W. S. (1908). „The Probable Error of a Mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, odjeljak 1.3.6.7.2, „Critical Values of the Student's t Distribution.”