Comprehensive T-Test Calculator for Statistical Analysis

Kalkulator T-testa

Uvod

T-test je osnovni statistički alat koji se koristi za određivanje postoji li značajna razlika između srednjih vrednosti grupa. Široko se primenjuje u raznim oblastima kao što su psihologija, medicina i biznis za testiranje hipoteza. Ovaj kalkulator vam omogućava da izvršite sve vrste t-testova:

T-test za jednu uzorak: Testira da li se srednja vrednost jedne grupe razlikuje od poznate vrednosti.
T-test za dva uzorka (nezavisni uzorci): Upoređuje srednje vrednosti dve nezavisne grupe.
Upareni T-test: Upoređuje srednje vrednosti iz iste grupe u različitim vremenskim tačkama (npr. pre i posle tretmana).

Tipovi T-testova

Kako koristiti ovaj kalkulator

Odaberite tip T-testa:
- T-test za jednu uzorak
- T-test za dva uzorka
- Upareni T-test
Unesite potrebne podatke:
- Za T-test za jednu uzorak:
  - Srednja vrednost uzorka ( $\bar{x}$ )
  - Standardna devijacija uzorka ( $s$ )
  - Veličina uzorka ( $n$ )
  - Srednja vrednost populacije ( $\mu_0$ )
- Za T-test za dva uzorka:
  - Srednja vrednost uzorka 1 ( $\bar{x}_1$ )
  - Standardna devijacija uzorka 1 ( $s_1$ )
  - Veličina uzorka 1 ( $n_1$ )
  - Srednja vrednost uzorka 2 ( $\bar{x}_2$ )
  - Standardna devijacija uzorka 2 ( $s_2$ )
  - Veličina uzorka 2 ( $n_2$ )
  - Pretpostavka o varijansi: Odaberite da li se varijanse smatraju jednakim ili nejednakim.
- Za Upareni T-test:
  - Podaci o razlikama: Unesite razlike po parovima.
  - Alternativno, unesite Srednju vrednost razlika ( $\bar{d}$ ), Standardnu devijaciju razlika ( $s_d$ ) i Veličinu uzorka ( $n$ ).
Postavite nivo značajnosti ( $\alpha$ ):
- Uobičajeni izbori su 0.05 za nivo poverenja od 95% ili 0.01 za nivo poverenja od 99%.
Odaberite pravac testa:
- Dvosmerni test: Testira za bilo kakvu razliku.
- Jednosmerni test: Testira za pravac razlike (specifikujte da li testirate za veće ili manje).
Kliknite na dugme "Izračunaj":
- Kalkulator će prikazati:
  - T-statistika
  - Stepeni slobode
  - P-vrednost
  - Zaključak: Da li odbaciti ili ne odbaciti nultu hipotezu.

Pretpostavke

Pre korišćenja t-testa, osigurajte da su ispunjene sledeće pretpostavke:

Normalnost: Podaci bi trebali biti približno normalno distribuirani.
Nezavisnost: Posmatranja moraju biti nezavisna jedno od drugog.
- Za T-test za dva uzorka, dve grupe treba da budu nezavisne.
- Za Upareni T-test, razlike treba da budu nezavisne.
Jednakost varijansi:
- Za T-test za dva uzorka sa jednakim varijansama, varijanse dve populacije treba da budu jednake (homoscedastičnost).
- Ako ova pretpostavka nije ispunjena, koristite Welchov T-test (nejednake varijanse).

Formula

T-test za jednu uzorak

T-statistika se izračunava kao:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$\bar{x}$ : Srednja vrednost uzorka
$\mu_0$ : Srednja vrednost populacije pod nultom hipotezom
$s$ : Standardna devijacija uzorka
$n$ : Veličina uzorka

T-test za dva uzorka (nezavisni uzorci)

Pretpostavljene jednake varijanse

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

Pooled standardna devijacija ( $s_p$ ):

s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}

Nejednake varijanse (Welchov T-test)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

Upareni T-test

t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

$\bar{d}$ : Srednja vrednost razlika
$s_d$ : Standardna devijacija razlika
$n$ : Broj parova

Stepeni slobode

T-test za jednu uzorak i Upareni T-test:

df = n - 1

T-test za dva uzorka sa jednakim varijansama:

df = n_1 + n_2 - 2

Welchov T-test:

df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

Izračunavanje

Kalkulator izvršava sledeće korake:

Izračunava T-statistiku koristeći odgovarajuću formulu na osnovu odabranog testa.
Određuje Stepeni slobode (df).
Izračunava P-vrednost koja odgovara t-statistici i df:
- Koristi t-distribuciju za pronalaženje verovatnoće.
Upoređuje P-vrednost sa nivoom značajnosti ( $\alpha$ ):
- Ako $p \leq \alpha$ , odbaciti nultu hipotezu.
- Ako $p > \alpha$ , ne odbaciti nultu hipotezu.
Tumači rezultate:
- Pruža zaključak u kontekstu testa.

Upotreba

T-test za jednu uzorak

Testiranje efikasnosti novog leka:
- Utvrditi da li se prosečno vreme oporavka sa novim lekom razlikuje od poznatog prosečnog vremena oporavka.
Kontrola kvaliteta:
- Proveriti da li se prosečna dužina proizvedenih delova razlikuje od specificirane norme.

T-test za dva uzorka

A/B testiranje u marketingu:
- Uporediti stope konverzije između dva različita dizajna web stranica.
Obrazovna istraživanja:
- Procena da li postoji razlika u rezultatima testova između dve metode podučavanja.

Upareni T-test

Studije pre i posle:
- Procena gubitka težine pre i posle dijetskog programa.
Upareni subjekti:
- Uporediti merenja krvnog pritiska pre i posle primene leka na istim subjektima.

Alternativne metode

Iako su t-testovi moćni, imaju pretpostavke koje možda nisu uvek ispunjene. Alternativne metode uključuju:

Mann-Whitney U test:
- Neparametarska alternativa za t-test za dva uzorka kada podaci ne prate normalnu distribuciju.
Wilcoxonov test sa potpisanim rangovima:
- Neparametarska ekvivalent uparenog t-testa.
ANOVA (Analiza varijanse):
- Koristi se kada se upoređuju srednje vrednosti više od dve grupe.

Istorija

T-test je razvijen od strane Williama Sealyja Gosseta 1908. godine, koji je objavljivao pod pseudonimom "Student" dok je radio u pivari Guinness u Dablinu. Test je osmišljen da prati kvalitet stout piva određujući da li su uzorci u skladu sa standardima pivare. Zbog ugovora o poverljivosti, Gosset je koristio pseudonim "Student", što je dovelo do termina "Studentov t-test."

Vremenom, t-test je postao kamen temeljac u statističkoj analizi, široko se predaje i primenjuje u raznim naučnim disciplinama. Postavio je temelje za razvoj složenijih statističkih metoda i osnovni je u oblasti inferencijalne statistike.

Primeri

Evo primera koda za izvođenje T-testa za jednu uzorak u raznim programskim jezicima:

Excel

1' T-test za jednu uzorak u Excel VBA
2Sub OneSampleTTest()
3    Dim sampleData As Range
4    Set sampleData = Range("A1:A9") ' Zamenite sa vašim opsegom podataka
5    Dim hypothesizedMean As Double
6    hypothesizedMean = 50 ' Zamenite sa vašom hipotetizovanom srednjom vrednošću
7
8    Dim sampleMean As Double
9    Dim sampleStdDev As Double
10    Dim sampleSize As Integer
11    Dim tStat As Double
12
13    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
14    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
15    sampleSize = sampleData.Count
16
17    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))
18
19    MsgBox "T-statistika: " & Format(tStat, "0.00")
20End Sub
21

R

1## T-test za jednu uzorak u R
2sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
3t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
4print(t_test_result)
5

Python

1import numpy as np
2from scipy import stats
3
4## T-test za jednu uzorak u Pythonu
5sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
6t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
7print(f"T-statistika: {t_statistic:.2f}, P-vrednost: {p_value:.4f}")
8

JavaScript

1// T-test za jednu uzorak u JavaScriptu
2function oneSampleTTest(sample, mu0) {
3  const n = sample.length;
4  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
5  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
6  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
7  return t;
8}
9
10// Primer korišćenja:
11const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
12const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
13console.log(`T-statistika: ${tStatistic.toFixed(2)}`);
14

MATLAB

1% T-test za jednu uzorak u MATLAB-u
2sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
3[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
4disp(['T-statistika: ', num2str(stats.tstat)]);
5disp(['P-vrednost: ', num2str(p)]);
6

Java

1import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;
2
3public class OneSampleTTest {
4    public static void main(String[] args) {
5        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
6        TTest tTest = new TTest();
7        double mu = 50;
8        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
9        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
10        System.out.printf("T-statistika: %.2f%n", tStatistic);
11        System.out.printf("P-vrednost: %.4f%n", pValue);
12    }
13}
14

C#

1using System;
2using MathNet.Numerics.Statistics;
3
4class OneSampleTTest
5{
6    static void Main()
7    {
8        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
9        double mu0 = 50;
10        int n = sampleData.Length;
11        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
12        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
13        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
14        Console.WriteLine($"T-statistika: {tStatistic:F2}");
15    }
16}
17

Go

1package main
2
3import (
4    "fmt"
5    "math"
6)
7
8func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
9    n := float64(len(sample))
10    var sum, mean, sd float64
11
12    for _, v := range sample {
13        sum += v
14    }
15    mean = sum / n
16
17    for _, v := range sample {
18        sd += math.Pow(v - mean, 2)
19    }
20    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))
21
22    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
23    return t
24}
25
26func main() {
27    sampleData := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
28    tStatistic := oneSampleTTest(sampleData, 50)
29    fmt.Printf("T-statistika: %.2f\n", tStatistic)
30}
31

Swift

1import Foundation
2
3func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
4    let n = Double(sample.count)
5    let mean = sample.reduce(0, +) / n
6    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
7    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
8    return t
9}
10
11let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
12let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
13print(String(format: "T-statistika: %.2f", tStatistic))
14

PHP

1<?php
2function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
3    $n = count($sample);
4    $mean = array_sum($sample) / $n;
5    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
6        return pow($x - $mean, 2);
7    }, $sample)) / ($n - 1));
8    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
9    return $t;
10}
11
12$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
13$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
14echo "T-statistika: " . number_format($tStatistic, 2);
15?>
16

Ruby

1## T-test za jednu uzorak u Ruby
2def one_sample_t_test(sample, mu0)
3  n = sample.size
4  mean = sample.sum(0.0) / n
5  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
6  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
7  t
8end
9
10sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
11t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
12puts format("T-statistika: %.2f", t_statistic)
13

Rust

1// T-test za jednu uzorak u Rustu
2fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
3    let n = sample.len() as f64;
4    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
5    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
6    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
7    t
8}
9
10fn main() {
11    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
12    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
13    println!("T-statistika: {:.2}", t_statistic);
14}
15

Numerički primer

Problem: Proizvođač tvrdi da je prosečan vek trajanja baterije 50 sati. Grupa potrošača testira 9 baterija i beleži sledeće vekove trajanja (u satima):

51,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

Da li postoji dokaza na nivou značajnosti 0.05 da prosečan vek trajanja baterije nije 50 sati?

Rešenje:

Postavite hipoteze:
- Nulta hipoteza ( $H_0$ ): $\mu = 50$
- Alternativna hipoteza ( $H_a$ ): $\mu \neq 50$
Izračunajte srednju vrednost uzorka ( $\bar{x}$ ):
$\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00$
Izračunajte standardnu devijaciju uzorka ( $s$ ):
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0$
Izračunajte T-statistiku:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00$
Stepeni slobode:
$df = n - 1 = 8$
Odredite P-vrednost:
- Za $t = 0.00$ i $df = 8$ , p-vrednost je 1.00.
Zaključak:
- Pošto je p-vrednost (1.00) > $\alpha$ (0.05), ne odbacujemo nultu hipotezu.
- Tumačenje: Nema dovoljno dokaza da se sugeriše da prosečan vek trajanja baterije nije 50 sati.

Reference

Gosset, W. S. (1908). "Verovatna greška srednje vrednosti". Biometrika, 6(1), 1–25. JSTOR.
Studentov t-test. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
GraphPad Statistics Guide: Razumevanje t-testova. Link
Laerd Statistics: Nezavisni t-test. Link

Dodatni resursi

Provere pretpostavki:
- Koristite Shapiro-Wilk test za normalnost.
- Koristite Leveneov test za jednakost varijansi.
Softverski alati:
- SPSS, SAS, Stata i R za naprednu statističku analizu.
Dalje čitanje:
- "Uvod u statističko učenje" od Garetha Jamesa, Daniel Witten, Trevor Hastie i Robert Tibshirani.
- "Statističke metode" od Georgea W. Snedecora i Williama G. Cochran.

Comprehensive T-Test Calculator for Statistical Analysis

Kalkulator T-testa

Dokumentacija

Kalkulator T-testa

Uvod

Tipovi T-testova

Kako koristiti ovaj kalkulator

Pretpostavke

Formula

T-test za jednu uzorak

T-test za dva uzorka (nezavisni uzorci)

Pretpostavljene jednake varijanse

Nejednake varijanse (Welchov T-test)

Upareni T-test

Stepeni slobode

T-test za jednu uzorak i Upareni T-test:

T-test za dva uzorka sa jednakim varijansama:

Welchov T-test:

Izračunavanje

Upotreba

T-test za jednu uzorak

T-test za dva uzorka

Upareni T-test

Alternativne metode

Istorija

Primeri

Excel

R

Python

JavaScript

MATLAB

Java

C#

Go

Swift

PHP

Ruby

Rust

Numerički primer

Reference

Dodatni resursi

Povezani alati

Z-Test Calculator: Perform Simple Z-Tests Easily Online

A/B Test Significance Calculator for Quick Data Insights

Z-Score Calculator for Statistical Analysis and Data Standardization

Kalkulator vlažnog perimetra za različite oblike kanala

Kalkulator kutnih dijagrama za analizu podataka

Altman Z-Score Calculator for Assessing Credit Risk

Lako izračunajte sirove rezultate iz prosjeka, standardne devijacije i z-vrijednosti