Miller-indexek Kalkulátor - Kristálysíkok Interceptjeinek Átalakítása (hkl)

Mik a Miller-indexek?

A Miller-indexek három egész számból állnak, jelölésük (h,k,l), és egy kristályrács síkját azonosítják. A kristályrács a szilárd anyagban található atomok ismétlődő, rendezett elrendezése. A Miller-indexek pontosan megadják, hogy az adott sík a rács melyik metszetét reprezentálja, anélkül, hogy geometriáját szavakkal kellene leírni. William Hallowes Miller brit mineralógus vezette be őket 1839-ben, és ma is ez a kristálytan szabványos jelölése.

Ez a kalkulátor egy sík x, y és z kristálytani tengelyen vett tengelymetszékeit Miller-indexekké (h,k,l) alakítja.

A Miller-indexek képlete

A Miller-indexek a sík tengelymetszékeinek reciprok értékeiből származnak. Ha egy sík az x, y és z tengelyt az origótól mért a, b és c távolságban metszi, akkor az indexekre a következő összefüggés teljesül:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

A Miller-indexek kiszámítása tengelymetszetekből

1. Határozza meg, hol metszi a sík az egyes tengelyeket, a cella élének egységeiben mérve. Nevezze ezeket a tengelymetszeteket a, b és c értékeknek.
2. Vegye minden tengelymetszet reciprokát: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Szorozza meg mindhárom reciprok értéket ugyanazzal a számmal úgy, hogy mindegyik egész számmá váljon.
4. Ossza el a három egész számot a legnagyobb közös osztójukkal, így tovább már nem egyszerűsíthetők.

A kapott három egész szám a h, k és l. Ha egy sík soha nem metszi valamelyik tengelyt, akkor úgy tekintjük, hogy a tengelymetszet a végtelenben van, és 1 osztva a végtelennel 0, ezért az adott tengely Miller-indexe 0.

Számítási példa

Egy sík az x tengelyt 2-nél, az y tengelyt 3-nál, a z tengelyt pedig 6-nál metszi.

1. Tengelymetszetek: (2, 3, 6)
2. Reciprok értékek: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Szorozza meg a nevezők legkisebb közös többszörösével, 6-tal: (3, 2, 1)
4. 3, 2 és 1 legnagyobb közös osztója 1, ezért a számok tovább már nem egyszerűsíthetők.

A Miller-indexek: (321).

További példák

• Egy (1, ∞, 2) ponton áthaladó, az y tengellyel párhuzamos sík reciprok értékei (1, 0, 1/2). 2-vel megszorozva: (2, 0, 1). A 0 azt mutatja, hogy a sík nem metszi az y tengelyt.
• Egy (-1, 2, 3) pontokon áthaladó sík reciprok értékei (-1, 1/2, 1/3). 6-tal megszorozva: (-6, 3, 2), amit általában (6̄32) alakban írnak, a negatív index fölött vonallal.
• Egy (1, ∞, ∞) pontokon áthaladó sík reciprok értékei (1, 0, 0), így (100) adódik. Ez egy kocka hat lapja közül az egyik.

Különleges esetek

A tengellyel párhuzamos sík soha nem metszi azt, ezért a tengelymetszetet végtelennek tekintjük, Miller-indexe pedig 0. Az origó negatív oldalán tengelyt metsző sík indexe negatív; formális jelölésben a szám fölötti vonallal, egyszerű szövegben pedig mínuszjellel írják. Az origón áthaladó síknak nincsenek definiált Miller-indexei, mert egy rácsban minden párhuzamos síksereget az origótól eltolva kell indexelni; az origót el kell tolni, mielőtt az ilyen sík leírható lenne. A tört tengelymetszeteket ugyanúgy kell kezelni, mint az egész számúakat: mindegyik reciprokát kell venni, majd a törteket meg kell szüntetni.

Az indexeket mindig a lehető legkisebb egész számokra egyszerűsítik. A (622) és a (311) ugyanazt a síksereget írja le, de a kristálytanban mindig a (311) jelölést használják.

A kalkulátor használata

Adja meg a sík x, y és z tengelyen vett tengelymetszeteit.

• A kezdőpont pozitív oldalán lévő tengelymetszethez pozitív, a negatív oldalon lévőhöz negatív számot használjon.
• A tengellyel párhuzamos síkhoz írja be az „infinity”, „inf” vagy „∞” értéket.
• A nulla tengelymetszet nem fogadható el, mert az origón áthaladó síkhoz ezzel a módszerrel nem rendelhetők Miller-indexek.

A kalkulátor azonnal kiszámítja az indexeket, és megjeleníti a sík diagramját az elemi cellán belül.

A Miller-indexek alkalmazásai

Röntgendiffrakció. A röntgendiffrakciós mintázat minden foltja vagy csúcsa egy meghatározott (hkl) indexű rácssíkseregnek felel meg. A Bragg-törvény összekapcsolja e síkok távolságát a diffrakciós szöggel:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Itt d_hkl a (h,k,l) síkok közötti távolság, λ a röntgensugárzás hullámhossza, θ pedig a diffrakciós szög. A megfigyelt csúcsok és a (hkl) értékek összeillesztése, azaz az indexelés, az ismeretlen kristályszerkezet azonosításának alapvető lépése.

Anyagtudomány. A különböző kristálysíkokon eltérő atomelrendeződések tárulnak fel, ezért eltérő felületi energiával és kémiai reakciósebességgel rendelkeznek, valamint eltérő szerepet játszanak a fémek alakváltozásában. A lapcentrált köbös fémekben, például az alumíniumban, az atomsíkok a legkönnyebben a {111} síkok mentén csúsznak el egymáson. A számítógépes chipek gyártásához használt szilíciumlapkákat általában a (100) vagy a (111) sík mentén vágják, mert a választás befolyásolja a későbbi gyártási lépések viselkedését.

Ásványtan. A természetes kristályokon látható sík lapok, valamint azok az irányok, amelyek mentén az ásvány tisztán hasad (azaz a hasadása), egyaránt meghatározott, kis indexű síkoknak felelnek meg. A kősó a {100} síkok mentén, a fluorit pedig a {111} síkok mentén hasad.

Miller–Bravais-indexek hexagonális kristályokhoz

A hexagonális kristályokat, például a magnéziumot, a cinket és a titánt, általában három index helyett négyindexű rendszerrel (hkil) írják le. Az i index nem független; mindig i = -(h+k). Ez a forma megkönnyíti annak felismerését, hogy két sík ugyanahhoz a szimmetria szempontjából ekvivalens síksereghez tartozik, ami hexagonális rácsban önmagában a háromindexű Miller-jelölésből nem mindig nyilvánvaló.

Története

A Miller-indexeket William Hallowes Miller vezette be 1839-ben megjelent A Treatise on Crystallography című könyvében. A kristálylapok jelölésére már korábban is léteztek rendszerek, de Miller módszere, amely a tengelymetszetek reciprok értékeit használja, megkönnyítette a tengellyel párhuzamos síkok kezelését, mivel tengelymetszetük végtelen, reciprok értékük pedig egyszerűen 0. Miután Max von Laue 1912-ben felfedezte a kristályok röntgendiffrakcióját, William Henry Bragg és William Lawrence Bragg kimutatta, hogy a Miller-indexek pontosan leírják a diffrakciós csúcsokért felelős síkokat; ezért a munkáért megosztva kapták meg a fizikai Nobel-díjat 1915-ben.

Gyakran ismételt kérdések

Mire használják a Miller-indexeket? A kristályrács meghatározott síkjait azonosítják. Röntgen- és elektrondiffrakciós csúcsok indexelésére, fémek csúszási síkjainak leírására, félvezetőlapkák orientációjának megadására, valamint ásványok lapjainak és hasadásának jelölésére használják őket.

Mit jelent a nulla a Miller-indexben? Azt jelenti, hogy a sík párhuzamos az adott tengellyel, és soha nem metszi azt. Például a (201) sík párhuzamos az y tengellyel.

Mit jelentenek a negatív Miller-indexek? Azt jelentik, hogy a sík az origó negatív oldalán metszi az adott tengelyt. A negatív indexet a szám fölötti vonallal írják, például (2̄11), vagy mínuszjellel, például (-2,1,1).

Miért nem lehet az origón áthaladó síknak Miller-indexe? A Miller-indexek egy tengelymetszet reciprok értékéből származnak. Az origón áthaladó sík minden tengelyt 0 értékben metsz, a 1/0 pedig nincs definiálva, ezért a módszer nem tud indexeket rendelni hozzá, amíg a síkot el nem toljuk.

Mi a különbség a Miller- és a Miller–Bravais-indexek között? A Miller-indexek (hkl) három számot használnak, és bármely kristályrendszerben alkalmazhatók. A Miller–Bravais-indexek (hkil) egy negyedik, függő indexet is tartalmaznak, és főként hexagonális kristályoknál használják őket, ahol megkönnyítik a szimmetria szerint ekvivalens síkok felismerését.

Hogyan függ össze a síktávolság a Miller-indexekkel? Egy a élhosszúságú köbös kristályban a szomszédos (hkl) síkok távolsága d = a / √(h² + k² + l²). A nagyobb indexű síkok közelebb helyezkednek el egymáshoz. Más kristályrendszerek hasonló, de összetettebb képletet használnak, amely figyelembe veszi az egyenlőtlen tengelyhosszakat és a nem-90°-os szögeket.

Hivatkozások

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. és Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. kiadás). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. és Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. kiadás). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.