a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Sík

Miller Indexek (3,2,1) Kristálytartó

A 3D vizualizáció egy kristálytartóról Miller-indexekkel (3,2,1). A sík az x, y és z tengelyeken 2, 3 és 6 pontokban metszi egymást, ami a reciprokok figyelembevételével és a legkisebb egész számok megtalálásával (3,2,1) Miller-indexeket eredményez.

Miller-indexek Képlete és Számítási Módszer

A Miller-indexek (h,k,l) kiszámításához egy kristálytartó esetében kövesse ezeket a matematikai lépéseket a Miller indices calculator használatával:

1. Határozza meg a sík metszeteit az x, y és z kristálytani tengelyekkel, adva az a, b és c értékeket.
2. Vegye a metszetek reciprokait: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Alakítsa át ezeket a reciprokokat a legkisebb egész számok halmazává, amelyek fenntartják ugyanazt az arányt.
4. Az eredményül kapott három egész szám a Miller-indexek (h,k,l).

Matematikailag ez kifejezhető:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Ahol:

• (h,k,l) a Miller-indexek
• a, b, c a sík metszetei az x, y és z tengelyekkel, megfelelően

Különleges Esetek és Szabályok

Számos különleges eset és szabály fontos megérteni:

1. Végtelen Metszetek: Ha egy sík párhuzamos egy tengellyel, a metszete végtelennek számít, és a megfelelő Miller-index nulla lesz.

2. Negatív Indexek: Ha egy sík a negatív oldalon metszi a tengelyt, a megfelelő Miller-index negatív, amelyet a szám fölé húzott vonallal jelölnek a kristálytani notációban, pl. (h̄kl).

3. Törtszámú Metszetek: Ha a metszetek törtszámúak, azokat egész számokká alakítják a legkisebb közös többszörös szorzásával.

4. Egyszerűsítés: A Miller-indexeket mindig a legkisebb egész számok halmazára redukálják, amelyek fenntartják ugyanazt az arányt.

Hogyan Használjuk a Miller Indices Calculator-t: Lépésről Lépésre Útmutató

A Miller indices calculator egyszerű módot kínál a Miller-indexek meghatározására bármely kristálytartó esetében. Íme, hogyan használja a Miller indices calculator-t:

1. Adja Meg a Metszeteket: Írja be az értékeket, ahol a sík metszi az x, y és z tengelyeket.

   • Használjon pozitív számokat a pozitív oldalon lévő metszetekhez.
   • Használjon negatív számokat a negatív oldalon lévő metszetekhez.
   • Írja be a "0"-t a tengelyhez párhuzamos síkokhoz (végtelen metszet).

2. Nézze Meg az Eredményeket: A kalkulátor automatikusan kiszámítja és megjeleníti a Miller-indexeket (h,k,l) a megadott síkhoz.

3. Vizualizálja a Síkot: A kalkulátor tartalmaz egy 3D vizualizációt, amely segít megérteni a sík orientációját a kristályrácsban.

4. Másolja az Eredményeket: Használja a "Másolás a Vágólapra" gombot, hogy könnyedén átvihesse a kiszámított Miller-indexeket más alkalmazásokba.

Miller-indexek Számítási Példa

Nézzünk meg egy példát:

Tegyük fel, hogy egy sík az x, y és z tengelyeket 2, 3 és 6 pontokban metszi.

1. A metszetek (2, 3, 6).
2. A reciprokok: (1/2, 1/3, 1/6).
3. A legkisebb egész számok halmazának megtalálásához szorozza meg a nevezők legkisebb közös többszörösével (LCM 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
4. Tehát a Miller-indexek (3,2,1).

Miller-indexek Alkalmazásai a Tudományban és Mérnöki Területen

A Miller-indexek számos alkalmazással rendelkeznek különböző tudományos és mérnöki területeken, így a Miller indices calculator elengedhetetlen:

Kristálytan és X-ray Diffúzió

A Miller-indexek alapvetőek az X-ray diffúziós minták értelmezésében. A kristálytartók közötti távolság, amelyeket a Miller-indexeik azonosítanak, meghatározza azokat a szögeket, amelyeken az X-ray-ek diffrakálódnak, Bragg törvénye szerint:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Ahol:

• $n$ egy egész szám
• $\lambda$ az X-ray hullámhossza
• $d_{hkl}$ a távolság a síkok között, amelyek Miller-indexei (h,k,l)
• $\theta$ a beesési szög

Anyagtudomány és Mérnöki Terület

1. Felületi Energia Elemzés: Különböző kristálytani síkok különböző felületi energiákkal rendelkeznek, amelyek befolyásolják a kristály növekedését, a katalízist és az adhéziót.

2. Mechanikai Tulajdonságok: A kristálytartók orientációja befolyásolja a mechanikai tulajdonságokat, mint például a csúszási rendszerek, hasadási síkok és törési viselkedés.

3. Félvezető Gyártás: A félvezető gyártás során specifikus kristálytartókat választanak epitaxiális növekedéshez és eszközgyártáshoz elektronikai tulajdonságaik miatt.

4. Textúra Elemzés: A Miller-indexek segítenek a preferált orientációk (textúra) jellemzésében polikristályos anyagokban, amelyek befolyásolják fizikai tulajdonságaikat.

Ásványtan és Geológia

A geológusok a Miller-indexeket használják a kristályfelületek és hasadási síkok leírására ásványokban, segítve azok azonosítását és a képződési körülmények megértését.

Oktatási Alkalmazások

A Miller-indexek alapvető fogalmak, amelyeket az anyagtudomány, kristálytan és szilárdtestfizika kurzusokban tanítanak, így ez a kalkulátor értékes oktatási eszköz.

Alternatívák a Miller-indexekhez

Bár a Miller-indexek a legszélesebb körben használt notáció a kristálytartók számára, több alternatív rendszer is létezik:

1. Miller-Bravais Indexek: Egy négy-indexes notáció (h,k,i,l), amelyet hexagonális kristályrendszerekhez használnak, ahol i = -(h+k). Ez a notáció jobban tükrözi a hexagonális struktúrák szimmetriáját.

2. Weber Szimbólumok: Főként régebbi irodalomban használják, különösen a köbös kristályok irányainak leírására.

3. Közvetlen Rácsvektorok: Egyes esetekben a síkokat közvetlen rácsvektorokkal írják le a Miller-indexek helyett.

4. Wyckoff Pozíciók: Az atomok pozícióinak leírására a kristályszerkezeteken belül, nem pedig a síkokra.

Ezek ellenére a Miller-indexek továbbra is a szabványos notáció, mivel egyszerűségük és univerzális alkalmazhatóságuk minden kristályrendszerre.

A Miller-indexek Története

A Miller-indexek rendszere William Hallowes Miller brit ásványtudós és kristálytani szakember által került kifejlesztésre 1839-ben, amelyet "A Treatise on Crystallography" című művében publikált. Miller notációja korábbi munkákra épült, amelyeket Auguste Bravais és mások végeztek, de elegánsabb és matematikailag következetesebb megközelítést biztosított.

Mielőtt Miller rendszere megjelent, különböző notációkat használtak a kristályfelületek leírására, beleértve a Weiss paramétereket és a Naumann szimbólumokat. Miller újítása az volt, hogy a metszetek reciprokait használta, ami leegyszerűsítette a sok kristálytani számítást, és intuitívabb reprezentációt biztosított a párhuzamos síkok számára.

A Miller-indexek elfogadása felgyorsult Max von Laue 1912-es X-ray diffúzió felfedezésével és William Lawrence Bragg és William Henry Bragg későbbi munkájával. Kutatásuk bemutatta a Miller-indexek gyakorlati hasznosságát a diffúziós minták értelmezésében és a kristályszerkezetek meghatározásában.

A 20. század folyamán, ahogy a kristálytan egyre fontosabbá vált az anyagtudományban, szilárdtestfizikában és biokémiában, a Miller-indexek szilárdan megerősítették magukat mint a szabványos notáció. Ma is elengedhetetlenek a modern anyagkarakterizálási technikákban, számítógépes kristálytanban és nanomateriális tervezésben.

Kód Példák a Miller-indexek Kiszámítására

import math
import numpy as np

def calculate_miller_indices(intercepts):
    """
    Calculate Miller indices from intercepts
    
    Args:
        intercepts: List of three intercepts [a, b, c]
        
    Returns:
        List of three Miller indices [h, k, l]
    """
    # Handle infinity intercepts (parallel to axis)
    reciprocals = []
    for intercept in intercepts:
        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
            reciprocals.append(0)
        else:
            reciprocals.append(1 / intercept)
    
    # Find non-zero values for GCD calculation
    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
    
    if not non_zero:
        return [0, 0, 0]
    
    # Scale to reasonable integers (avoiding floating point issues)
    scale = 1000
    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
    
    # Find GCD
    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
    
    # Convert back to smallest integers
    miller_indices = []
    for r in reciprocals:
        if r == 0: