Félhang-frekvencia kalkulátor - hangmagasság transzponálása félhangokkal és centekkel

Mi az a félhangfrekvencia-kalkulátor?

A félhangfrekvencia-kalkulátor a zenei hangközök és a hertzben (Hz) mért hangfrekvenciák között vált. Két irányban működik. Megadható egy kezdőfrekvencia, amelyet a kalkulátor a félhangok és centek megadott számával felfelé vagy lefelé módosít, majd megadja az új frekvenciát és a hozzá legközelebbi hangjegyet. Két frekvencia is megadható; ekkor a kalkulátor a köztük lévő hangközt félhangban és centben adja meg.

A félhang a standard nyugati zenében a legkisebb hangköz: két egymás melletti zongorabillentyű távolsága, függetlenül attól, hogy feketék vagy fehérek. Egy oktáv 12 félhangot tartalmaz. A cent még kisebb egység: egy félhang százada, így egy oktávban 1200 cent van. A centekkel olyan kicsi hangmagasság-különbségek is mérhetők, amelyek nem hallhatók különálló hangváltozásként, például az enyhe elhangolódás.

A félhanglépés frekvenciájának kiszámítása

A kalkulátor egyenletes temperálást használ, amely a modern zongorák, gitárok és a legtöbb nyugati hangszer esetében a szokásos hangolás. Egyenletes temperálásban az oktáv 12 egyenlő lépésre oszlik, ezért minden félhang pontosan ugyanakkora.

Egy $f_0$ kezdőfrekvencia $n$ félhanggal és $c$ centtel való emeléséhez:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

A pozitív $n$ növeli, a negatív $n$ csökkenti a hangmagasságot. A centmező finom eltolást ad meg; 100 cent egy félhanggal egyenlő, ezért 100 cent megadása ugyanazt a hatást kelti, mint 1 hozzáadása a félhangok számához.

Az egyenletes temperálás aránya

Minden félhanglépés a következő tényezővel szorozza meg a frekvenciát:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Ha egy frekvenciát 1,059463-del megszorzunk, egy félhanggal emelkedik. Ha ezt 12 alkalommal megtesszük, a frekvencia megduplázódik, ami egy oktáv:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

A legközelebbi hangjegy

A frekvencia mellett a kalkulátor megnevezi a hozzá legközelebbi, egyenletesen temperált hangot is, az A4 = 440 Hz értéket használva referenciaként. A frekvenciát MIDI-hangszámmá alakítja, a legközelebbi egész számra kerekíti, majd meghatározza a hang nevét és oktávját:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

A hangnevek tudományos hangmagasság-jelölést használnak, amelyben a szám az oktávot jelöli: az A4 a hangverseny-A, frekvenciája 440 Hz, a C4 pedig a középső C. A kerekítés miatt a két hang közötti frekvenciát a rendszer ahhoz a hanghoz rendeli, amelyik közelebb van hozzá.

Félhangok kiszámítása két frekvencia között

A második mód ugyanazt az összefüggést fordítva alkalmazza. A két frekvencia közötti félhangok száma $n$:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Itt $f_1$ a kezdőfrekvencia Hz-ben, $f_2$ pedig a végfrekvencia. Mivel egy félhang 100 cent, a centben kifejezett változat ugyanazt az arányt 1200-zal szorozza:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

A pozitív eredmény azt jelenti, hogy a második frekvencia magasabb az elsőnél. A negatív eredmény azt jelenti, hogy alacsonyabb.

Miért használ logaritmust a képlet?

A hallás a hangmagasságot a frekvenciaarány, nem pedig a Hz-ben mért nyers különbség alapján érzékeli. Egy frekvencia megkétszerezése mindig ugyanakkora ugrásnak, egy oktávnak hallatszik, függetlenül a kezdőértéktől.

• 110 Hz-ről 220 Hz-re egy oktáv (12 félhang)
• 220 Hz-ről 440 Hz-re egy oktáv (12 félhang)
• 440 Hz-ről 880 Hz-re egy oktáv (12 félhang)

Mindegyik párnál más a Hz-ben mért különbség, de az arány azonos, ezért logaritmusra van szükség ahhoz, hogy az arányt a félhangok egyenletes, lineáris skálájává alakítsuk.

A kalkulátor használata

Először válassza ki a számítási módot.

Frekvencia félhangokból. Adja meg az alapfrekvenciát Hz-ben, az elmozdulás félhangokban kifejezett számát (lefelé haladáshoz negatív értéket), valamint az opcionális centértéket. A kalkulátor megadja az új frekvenciát Hz-ben és a legközelebbi hangot.

Hangköz két frekvencia között. Adjon meg két frekvenciát Hz-ben. A kalkulátor megadja az elsőtől a másodikig terjedő hangközt félhangban és centben.

Minden megadott frekvenciának nullánál nagyobbnak kell lennie. A nulla vagy negatív frekvenciához nem tartozik hangmagasság, ezért a kalkulátor eredmény helyett hibát jelez.

Megoldott példa

Hangmagasság emelése félhangokkal

A középső C frekvenciája körülbelül 261,63 Hz. Ha 7 félhanggal megemeljük:

• Frekvencia = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Legközelebbi hang: G4.

Hét félhang tiszta kvint, a zenében az egyik leggyakoribb hangköz, ezért a középső C feletti G a várt eredmény.

Centeltolás hozzáadása

A hangverseny-A hangból kiindulva, 440 Hz frekvenciával, 0 félhanggal és 50 centes eltolással:

• Frekvencia = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Ötven cent egy félhang fele, vagyis negyedhang. Az A4 és az A#4 között félúton helyezkedik el, ezért az ilyen hangmagasságnál a legközelebbi hangra vonatkozó eredmény csak közelítés.

Két frekvencia közötti hangköz mérése

Ha ugyanazt a két hangot adjuk meg a második módban, először 261,63 Hz, másodszor 392,00 Hz értékkel:

• Félhangok száma = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Centek száma = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

Az eredmény egy cent töredékével marad el a pontos 700 értéktől, mert a 261,63 Hz és a 392,00 Hz is kerekített érték.

Kis hangmagasság-hiba mérése

A centek hasznosak az apró eltérések mérésére. Tegyük fel, hogy egy helyiségben nem kívánt rezonancia van 147 Hz frekvencián, miközben egy mérnök egy D hangra épülő zenei sávon dolgozik, amelynek standard alaphangfrekvenciája 146,83 Hz.

• Centek száma = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 cent.

A rezonancia körülbelül 2 centtel magasabb a D-nél; ez a különbség a legtöbb hallgató számára túl kicsi ahhoz, hogy eltérő hangmagasságként hallja, akusztikai helyiségkezeléskor azonban mérhető és érdemes figyelembe venni.

Gyakori zenei hangközök

A táblázat az egyenletes temperálás standard hangközneveit, félhangban és centben kifejezett méretüket, frekvenciaarányukat, valamint az A440-ről (440 Hz) induló hangmagasságot sorolja fel.

Ezek az értékek csak egyenletes temperálásra érvényesek. Más hangolási rendszerekben ugyanazok a hangköznevek kissé eltérő frekvenciákhoz tartoznak.

Alternatív hangolási rendszerek

Az egyenletes temperálás a modern zene bevett hangolási rendszere, de nem az egyetlen hangolási mód, és a hang fizikájával sem áll tökéletes összhangban.

A tiszta hangolás egyszerű egész számú arányokból építi fel a hangközöket, például a tiszta kvintet jelentő 3:2 vagy a nagy tercet jelentő 5:4 arányból. Ezek az arányok együtt tökéletesen simán, hallható lebegés nélkül szólnak, de a hangköztől függően legfeljebb körülbelül 16 centtel térnek el az egyenletes temperálástól. A tiszta nagy terc (5:4) körülbelül 14 centtel alacsonyabb hangmagasságú az egyenletesen temperált nagy tercnél.

A püthagoraszi hangolás teljes egészében egymásra épített tiszta kvintekből (3:2 arányból) hozza létre a skálát. Kvintjei tiszták és lebegésmentesek, nagy tercei azonban körülbelül 8 centtel magasabbak az egyenletesen temperált nagy terceknél. A tiszta hangolás tiszta 5:4 nagy tercéhez képest a püthagoraszi terc még magasabb, közel 22 centtel; ezt a különbséget szintonikus komának nevezik. A püthagoraszi hangolás elterjedt volt a középkori és a korai reneszánsz zenében.

A középhangú temperálás kissé szűkíti a tiszta kvinteket, hogy a nagy terceket tisztává tegye. A reneszánsztól a korai barokk korig széles körben használták, és olyan zenéhez illik, amely kevés, egymáshoz közeli hangnemben marad.

A mikrotonális rendszerek az oktávot több mint 12 lépésre osztják; gyakori választás a 19, 24, 31 vagy 53 lépés. Kísérleti és egyes nem nyugati zenei irányzatokban fordulnak elő.

Gyakorlati alkalmazások

• Zenei produkció: minták hangmagasságának beállítása, szintetizátor-oszcillátorok hangolása és annak ellenőrzése, hogy a rétegzett hangok azonos hangolásban szólaljanak meg.
• Hangmérnöki munka: hangszínszabályzó-sávok vagy helyiségrezonanciák zenei hangokhoz való kapcsolása, a fent bemutatott helyiségrezonancia-példához hasonlóan.
• Hangszerkészítés: a gitárkészítők a bundokat a 17,817 állandó segítségével helyezik el, amelyet a $2^{1/12}$ értékből vezetnek le, így minden bund egy félhanggal emeli a hangmagasságot. Az orgonaépítők és harangöntők ugyanezt a matematikát használják a síphosszak megtervezéséhez és a harangok hangolásához.
• Kutatás és oktatás: az emberi hangmagasság-észlelés vizsgálata, állathangok elemzése, illetve a logaritmusok és a hang fizikájának oktatása.

Gyakran ismételt kérdések

Hogyan számítható ki a félhangokkal eltérő frekvencia?

A kezdőfrekvenciát meg kell szorozni azzal, hogy a 2-t a félhangok számának 12-vel való osztásával kapott kitevőre emeljük: f = f₀ × 2^(n/12). Centeltolás beépítéséhez a félhangok számához hozzá kell adni a centek 100-zal való osztását, mielőtt az eredményt 12-vel osztjuk.

Hogyan számíthatók ki a félhangok két frekvenciából?

A második frekvenciát el kell osztani az elsővel, az arány 2 alapú logaritmusát kell venni, majd 12-vel megszorozni: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Centben kifejezett eredményhez 1200-zal kell szorozni 12 helyett.

Mi a különbség a félhang és a cent között?

A félhang a nyugati zenében a szomszédos hangok, például a szomszédos zongorabillentyűk közötti standard hangköz. A cent egy félhang 1/100 része, ezért egy oktávban 1200 cent van. A centek finomabb skálát biztosítanak a félhangok közé eső kis hangmagasság-különbségek mérésére.

Hány Hz egy félhang?

A félhangnak nincs rögzített Hz-értéke. A félhang körülbelül 1,059463-szeres arány, nem pedig állandó frekvenciakülönbség, ezért a Hz-ben mért nagysága a kezdő hangmagasságtól függ. 440 Hz fölött egy félhang 466,16 Hz, ami 26,16 Hz emelkedést jelent. 220 Hz fölött egy félhang 233,08 Hz, ami csak 13,08 Hz emelkedés.

Milyen frekvenciájú hang van 440 Hz fölött 12 félhanggal?

880 Hz. Tizenkét félhang egy oktáv, egy oktáv pedig mindig a frekvencia megkétszerezését jelenti, függetlenül a kezdő hangmagasságtól.

Hogyan kapcsolódnak a MIDI-hangszámok a félhangokhoz?

Minden MIDI-hangszám egy félhangnyira van a szomszédaitól. A középső C MIDI-hangszáma 60, az A440-é pedig 69. A frekvencia a MIDI-hangszámból az f = 440 × 2^((m − 69)/12) képlettel számítható ki; ezt a képletet fordítja meg a kalkulátor a legközelebbi hang megnevezéséhez.

Miért hangzik néhány egyenletesen temperált hangköz kissé hamisnak?

Az egyenletes temperálás 12 azonos lépésre osztja az oktávot, hogy a zene szabadon mozoghasson a hangnemek között, ez a kompromisszum azonban a legtöbb hangközt kissé eltávolítja a tiszta hangolás egész számú arányaitól. Az egyenletesen temperált nagy terc például körülbelül 14 centtel magasabb a tiszta 5:4 nagy tercnél. Képzett hallgatók ezt néha meghallják, a legtöbb ember azonban normál zenehallgatás közben nem veszi észre.

Milyen pontosnak kell lennie a frekvenciamérésnek a hangoláshoz?

A mindennapi zenei célokra általában elegendő a körülbelül 5 centes pontosság, amely közel van az átlagos hangmagasság-megkülönböztetés határához. A professzionális hangszerek hangolása rendszerint körülbelül 2 centes pontosságot céloz, és egyes képzett zenészek jó körülmények között akár 1 centes különbségeket is érzékelnek.