Pemecah Persamaan Young-Laplace | Tekanan Antarmuka

Apa itu persamaan Young-Laplace?

Persamaan Young-Laplace adalah rumus dalam mekanika fluida yang memberikan perbedaan tekanan pada antarmuka melengkung antara dua fluida, seperti permukaan tetesan air atau gelembung sabun. Persamaan ini menunjukkan bahwa perbedaan tekanan bergantung pada tegangan permukaan fluida dan seberapa tajam antarmuka tersebut melengkung. Persamaan ini menjelaskan mengapa tekanan meningkat di dalam tetesan dan gelembung, serta mengapa yang lebih kecil memiliki tekanan internal lebih tinggi daripada yang lebih besar.

Persamaan ini dinamai menurut Thomas Young dan Pierre-Simon Laplace, yang masing-masing menjelaskan hubungan tersebut pada awal 1800-an.

Rumus persamaan Young-Laplace

Bentuk umum persamaan ini adalah:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ adalah perbedaan tekanan pada antarmuka, dalam pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) adalah tegangan permukaan fluida, dalam newton per meter (N/m)
• $R_1$ dan $R_2$ adalah dua jari-jari kelengkungan utama permukaan, dalam meter (m)

Suatu permukaan melengkung secara berbeda pada arah yang berbeda. $R_1$ dan $R_2$ menggambarkan kelengkungan sepanjang dua arah yang saling tegak lurus. Pada bola, seperti tetesan atau gelembung, $R_1$ sama dengan $R_2$, sehingga rumusnya menjadi:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Konvensi tanda

Tekanan selalu lebih tinggi pada sisi cekung antarmuka melengkung, yaitu sisi yang menjauhi tonjolan permukaan. Pada tetesan atau gelembung, ini berarti tekanan di dalam lebih tinggi daripada tekanan di luar. Jari-jari dianggap positif jika pusat kelengkungannya berada di sisi bertekanan lebih tinggi tersebut. Jika permukaan melengkung ke arah lain pada salah satu arah, jari-jari itu dianggap negatif. Antarmuka berbentuk pelana, seperti leher cairan di antara dua butir yang bersentuhan, memiliki satu jari-jari positif dan satu jari-jari negatif, sehingga kedua suku tersebut saling meniadakan sebagian.

Kalkulator ini hanya menggunakan jari-jari positif.

Kasus khusus

• Permukaan datar: ketika jari-jari membesar menuju tak terhingga, sukunya dalam rumus menyusut menuju nol. Antarmuka yang benar-benar datar sama sekali tidak memiliki perbedaan tekanan.
• Silinder: permukaan silinder panjang, seperti jet cairan yang keluar dari nosel, hanya melengkung pada satu arah. Salah satu jari-jari adalah jari-jari silinder dan yang lainnya tak terhingga sepanjang panjangnya, sehingga rumusnya menjadi $\Delta P = \gamma / R$. Perbedaan tekanan ini setengah dari perbedaan tekanan bola dengan jari-jari yang sama.
• Skala sangat kecil: di bawah kira-kira 10 hingga 20 nanometer, efek tambahan seperti tegangan garis menjadi signifikan, dan persamaan sederhana ini kehilangan ketepatannya.

Cara menghitung perbedaan tekanan dengan persamaan Young-Laplace

1. Tentukan tegangan permukaan fluida, dalam N/m, pada suhu yang diinginkan. Tegangan permukaan menurun ketika suhu meningkat.
2. Ukur atau perkirakan jari-jari kelengkungan utama pertama, $R_1$, dalam meter.
3. Ukur atau perkirakan jari-jari kelengkungan utama kedua, $R_2$, dalam meter. Untuk bola, gunakan nilai yang sama dengan $R_1$. Untuk silinder, gunakan bilangan yang sangat besar sebagai pengganti tak terhingga.
4. Kalikan tegangan permukaan dengan jumlah $1/R_1$ dan $1/R_2$. Hasilnya adalah perbedaan tekanan dalam pascal.

Pertahankan setiap nilai dalam satuan SI. Mencampurkan milimeter dengan meter, misalnya, membuat hasil meleset dengan faktor seribu.

Contoh perhitungan

Ambil tetesan air berbentuk bola dengan jari-jari 1 milimeter (0,001 m) dan tegangan permukaan 0,072 N/m, nilai yang umum untuk air di dekat suhu ruang.

Karena tetesan tersebut berbentuk bola, $R_1 = R_2 = R$, sehingga:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Tekanan di dalam tetesan adalah 144 Pa lebih tinggi daripada tekanan udara di sekitarnya. Nilai ini kecil dibandingkan tekanan atmosfer normal, sekitar 101.325 Pa, tetapi efeknya meningkat pesat ketika tetesan menyusut. Tetesan yang berukuran sepersepuluhnya, dengan jari-jari 0,1 mm, memiliki perbedaan tekanan sepuluh kali lebih besar: 1.440 Pa. Tetesan dengan jari-jari 0,01 mm mencapai 14.400 Pa, lebih dari 14% tekanan atmosfer.

Penerapan persamaan

• Tetesan dan gelembung: tekanan yang lebih tinggi di dalam tetesan kecil mendorong pematangan Ostwald, yaitu proses ketika tetesan kecil dalam emulsi menyusut sementara tetesan yang lebih besar membesar, karena isinya berdifusi dari tekanan tinggi ke tekanan rendah.
• Aksi kapiler: permukaan melengkung di dalam tabung sempit menarik cairan ke atas. Inilah sebabnya air naik pada tisu dapur dan tabung kaca sempit.
• Pernapasan: kantung udara kecil di paru-paru, yang disebut alveolus, berperilaku seperti gelembung kecil. Lapisan yang disebut surfaktan paru-paru menurunkan tegangan permukaan sehingga alveolus kecil tidak mengempis akibat tekanan yang diperkirakan oleh persamaan ini. Bayi prematur yang kekurangan surfaktan dapat mengalami masalah pernapasan karena hal tersebut.
• Pencetakan inkjet: nosel printer membentuk tetesan dengan lebar puluhan mikrometer, sehingga tekanan akibat kelengkungan cukup besar untuk memengaruhi cara tinta keluar dari nosel.
• Ilmu material: instrumen yang mengukur cara cairan membasahi permukaan dan perilaku lapisan tipis menggunakan persamaan ini untuk menghubungkan bentuk tetesan dengan energi permukaannya.

Sejarah

Orang telah mengamati cairan yang naik dalam tabung sempit jauh sebelum penyebabnya dijelaskan. Pada awal 1700-an, Francis Hauksbee menunjukkan secara eksperimen bahwa tabung yang lebih sempit menyebabkan kenaikan kapiler yang lebih besar, dan pada 1718 James Jurin menjelaskan bahwa kenaikan tersebut berbanding terbalik dengan diameter tabung.

Thomas Young menjelaskan fisika yang mendasarinya dalam makalah 1805, memperkenalkan tegangan permukaan sebagai sifat fluida dan menghubungkannya dengan tekanan pada permukaan melengkung, meskipun pembahasannya sebagian besar bersifat deskriptif. Pada 1806, Pierre-Simon Laplace merumuskan bentuk matematisnya menggunakan kalkulus dan secara independen memperoleh hubungan yang sama. Karya gabungan mereka menjadi persamaan Young-Laplace. Ilmuwan berikutnya, termasuk Carl Friedrich Gauss dan Joseph Plateau, menguji dan memperluas teori tersebut sepanjang 1800-an.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa yang dihitung oleh persamaan Young-Laplace? Persamaan ini menghitung perbedaan tekanan pada antarmuka melengkung antara dua fluida berdasarkan tegangan permukaan fluida dan kelengkungan antarmuka.

Mengapa tekanan lebih tinggi di dalam tetesan yang lebih kecil? Tegangan permukaan menarik sepanjang tepi tetesan, dan gaya tarik tersebut meningkat sebanding dengan jari-jari. Luas yang harus didorong oleh tekanan meningkat sebanding dengan kuadrat jari-jari. Menyeimbangkan keduanya menghasilkan $\Delta P = 2\gamma/R$, sehingga perbedaan tekanan berbanding terbalik dengan jari-jari: jika jari-jari dibagi dua, perbedaan tekanan menjadi dua kali lipat.

Bagaimana suhu memengaruhi persamaan ini? Suhu mengubah nilai tegangan permukaan, dan tegangan permukaan menurun ketika suhu meningkat. Untuk air, tegangan permukaan turun dari sekitar 0,073 N/m pada 20 °C menjadi kira-kira 0,063 N/m pada 80 °C, yaitu penurunan sekitar 0,17 mN/m untuk setiap derajat Celsius. Tegangan permukaan pada suhu ruang lebih tinggi daripada tegangan permukaan air panas, sehingga penggunaan nilai suhu ruang untuk sistem panas akan melebihkan perbedaan tekanan.

Apakah persamaan ini berlaku untuk bentuk selain bola? Ya. Bentuk umum dengan dua jari-jari terpisah, $R_1$ dan $R_2$, mencakup semua permukaan melengkung, termasuk elipsoid dan antarmuka berbentuk pelana. Hanya bentuk sederhana $2\gamma/R$ yang terbatas pada bola.

Apa perbedaan persamaan Young-Laplace dan persamaan Young? Persamaan Young-Laplace memberikan perbedaan tekanan yang disebabkan oleh antarmuka melengkung. Persamaan Young, hubungan terpisah yang juga berasal dari Thomas Young, memberikan sudut kontak yang dibentuk tetesan saat bertemu permukaan padat berdasarkan energi permukaan ketiga material yang terlibat. Keduanya menjelaskan hal yang berbeda dan terkadang digunakan bersama untuk menganalisis tetesan yang berada di atas permukaan.

Seberapa kecil tetesan sebelum persamaan ini tidak lagi berlaku? Persamaan ini tetap akurat hingga kira-kira 1 mikrometer. Di bawah sekitar 10 hingga 20 nanometer, gaya tambahan yang diabaikan oleh persamaan ini, termasuk tegangan garis dan gaya berskala molekul antara permukaan, menjadi cukup besar untuk berpengaruh, sehingga diperlukan model yang lebih rinci.

Referensi

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Suplemen untuk Buku 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (edisi ke-6). Wiley-Interscience.