Kalkulator Distribusi Laplace - Alat Visualisasi & PDF Gratis

Apa itu distribusi Laplace?

Distribusi Laplace, yang juga disebut distribusi eksponensial ganda, adalah distribusi probabilitas kontinu yang berbentuk seperti dua kurva eksponensial yang disatukan secara berlawanan pada puncaknya. Distribusi ini simetris terhadap nilai pusat dan memiliki ekor yang lebih berat daripada distribusi normal, sehingga memberikan probabilitas lebih besar pada nilai ekstrem. Kalkulator distribusi Laplace di halaman ini menemukan kepadatan probabilitas puncak distribusi dari parameter lokasi dan parameter skala, serta menggambar kurva kepadatan lengkap.

Distribusi ini dinamai menurut Pierre-Simon Laplace, matematikawan Prancis yang pertama kali mendeskripsikannya pada 1774.

Rumus distribusi Laplace

Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari distribusi Laplace adalah:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x adalah sembarang titik pada garis bilangan.
• μ (mu), yaitu parameter lokasi, adalah pusat distribusi. Nilai ini juga merupakan mean dan median.
• b, yaitu parameter skala, mengendalikan seberapa tersebar distribusinya. Nilai ini harus lebih besar dari 0.
• |x − μ| adalah jarak antara x dan pusat, dengan mengabaikan arah.

Kurva mencapai titik tertingginya tepat pada x = μ. Pada titik tersebut, rumusnya menjadi lebih sederhana karena |μ − μ| = 0 dan exp(0) = 1, sehingga tersisa:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Nilai puncak ini, 1/(2b), adalah angka yang dilaporkan kalkulator.

Cara menggunakan kalkulator distribusi Laplace

1. Masukkan parameter lokasi (μ). Nilai ini menentukan pusat distribusi.
2. Masukkan parameter skala (b). Nilai ini harus berupa bilangan positif; semakin besar nilainya, kurva semakin datar dan semakin tersebar.
3. Kalkulator menampilkan kepadatan puncak, 1/(2b), dan memplot kurva kepadatan f(x) dari μ − 4b hingga μ + 4b. Sumbu vertikal grafik adalah kepadatan probabilitas, dan kurva tersebut dapat diunduh sebagai tabel nilai x dan f(x).

Kalkulator tidak menerima nilai x secara terpisah. Kalkulator selalu melaporkan kepadatan pada puncak distribusinya sendiri, x = μ, karena itulah satu angka ringkasan yang paling berguna untuk membandingkan distribusi dengan skala yang berbeda. Untuk menemukan kepadatan pada titik lain, gunakan rumus di atas dengan nilai x yang diinginkan, atau baca tingginya pada grafik.

Contoh perhitungan

Gunakan lokasi μ = 4 dan skala b = 2.

1. Pastikan b positif: 2 > 0, sehingga input valid.
2. Puncak terjadi pada x = μ = 4, dengan |x − μ| = 0.
3. Hitung kepadatan puncak: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulator menampilkan 0,250000. Kurva yang diplot mencapai puncak pada (4, 0,25) dan menurun secara simetris di kedua sisi, membentang dari μ − 4b hingga μ + 4b, yaitu dari −4 hingga 12 dalam kasus ini.

Karena rumus kepadatan puncak, 1/(2b), tidak mencakup μ, perubahan lokasi hanya menggeser kurva ke kiri atau ke kanan. Perubahan itu tidak mengubah tingginya. Hanya parameter skala yang mengubah tinggi kurva.

Contoh lainnya

Mean, varians, dan simpangan baku

Untuk distribusi Laplace dengan lokasi μ dan skala b:

• Mean = μ
• Median = μ
• Varians = 2b²
• Simpangan baku = b√2

Distribusi Laplace vs. distribusi normal

Kedua distribusi bersifat simetris dan berbentuk lonceng, serta keduanya sepenuhnya dijelaskan oleh parameter pusat dan penyebaran. Perbedaannya terletak pada ekornya. Pada distribusi normal, kepadatan menyusut berdasarkan kuadrat jarak dari mean, sehingga nilai ekstrem dengan cepat menjadi sangat jarang. Pada distribusi Laplace, kepadatan menyusut berdasarkan jarak biasa, sehingga nilai ekstrem tetap relatif lebih mungkin terjadi. Hal ini membuat distribusi Laplace berguna ketika data nyata memiliki lebih banyak pencilan daripada yang diperkirakan oleh distribusi normal.

Penggunaan umum

• Pemrosesan sinyal dan citra: memodelkan derau dan mengompresi citra, karena perbedaan piksel atau sinyal sering terkumpul di sekitar nol dengan sesekali lompatan besar.
• Privasi diferensial: mekanisme Laplace menambahkan derau yang berdistribusi Laplace pada hasil kueri untuk melindungi data individu sekaligus mempertahankan akurasi keseluruhan.
• Statistika yang tahan terhadap pencilan dan regresi: regresi Lasso menggunakan prior berbentuk Laplace, yang mendukung solusi dengan banyak koefisien bernilai tepat nol.
• Keuangan: memodelkan imbal hasil aset, yang cenderung memiliki ekor lebih berat daripada yang disarankan oleh distribusi normal.
• Seismologi: muncul dalam model pola magnitudo gempa bumi yang berkaitan dengan hukum Gutenberg-Richter.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa arti hasil kalkulator?

Hasil tersebut adalah nilai puncak, atau maksimum, dari fungsi kepadatan probabilitas, yang sama dengan 1/(2b). Nilai ini adalah tinggi kurva pada pusatnya, x = μ.

Mengapa kalkulator tidak meminta nilai x?

Kepadatan puncak, 1/(2b), sama pada setiap nilai x yang setara dengan μ, sehingga input x terpisah tidak diperlukan untuk menemukannya. Ini adalah satu angka standar yang digunakan untuk membandingkan seberapa tinggi dan sempit, atau rendah dan lebar, dua distribusi Laplace. Kurva lengkap, yang menunjukkan kepadatan pada setiap x, tersedia pada grafik.

Bagaimana cara menemukan kepadatan pada titik selain puncak?

Gunakan rumus $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ dengan nilai x yang diinginkan, atau baca tingginya langsung dari kurva yang diplot.

Apa perbedaan distribusi Laplace dari distribusi eksponensial?

Distribusi Laplace dapat dibentuk dari dua distribusi eksponensial. Jika X dan Y adalah variabel acak eksponensial independen dengan laju yang sama, maka X − Y mengikuti distribusi Laplace yang berpusat pada 0.

Apa saja penggunaan umum distribusi Laplace?

Distribusi ini digunakan dalam pemrosesan sinyal, kompresi citra, privasi diferensial, statistika tahan pencilan, regresi Lasso, serta pemodelan imbal hasil keuangan dan magnitudo gempa bumi, yaitu ketika data nyata menunjukkan lebih banyak nilai ekstrem daripada yang diprediksi oleh distribusi normal.

Apakah distribusi Laplace dapat bernilai negatif atau hanya berlaku untuk nilai positif?

Distribusi ini didefinisikan untuk semua bilangan real, baik positif maupun negatif, berbeda dari distribusi eksponensial yang hanya memiliki nilai nonnegatif.

Referensi

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution