Kalkulator Distribusi Poisson - Hitung Probabilitas Kejadian

Apa itu kalkulator distribusi Poisson?

Kalkulator distribusi Poisson menghitung probabilitas bahwa sejumlah peristiwa tertentu terjadi dalam jangka waktu atau ruang yang tetap, berdasarkan frekuensi rata-rata terjadinya peristiwa tersebut. Kalkulator ini digunakan ketika peristiwa terjadi satu per satu, secara independen, dengan laju rata-rata yang konstan. Contoh umumnya mencakup jumlah panggilan telepon yang diterima pusat panggilan dalam satu jam atau jumlah salah ketik pada satu halaman.

Rumus distribusi Poisson

Distribusi Poisson memberikan probabilitas terjadinya tepat k peristiwa ketika laju rata-ratanya adalah λ (huruf Yunani lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Setiap simbol berarti:

• λ (lambda) — jumlah rata-rata peristiwa per interval. Ini adalah satu-satunya parameter distribusi tersebut.
• k — jumlah tepat peristiwa yang probabilitasnya dihitung. Nilainya harus berupa bilangan bulat, 0 atau lebih.
• e — bilangan Euler, konstanta tetap yang nilainya kira-kira 2,71828.
• k! — “faktorial k”, yaitu hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga k. Contohnya, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Berdasarkan konvensi, 0! = 1.

Rumus ini hanya memerlukan λ dan k. Rumus ini tidak memerlukan jumlah percobaan total, berbeda dari distribusi binomial.

Cara menghitung probabilitas Poisson

1. Pilih λ, yaitu jumlah rata-rata peristiwa dalam interval yang sedang dikaji.
2. Pilih k, yaitu jumlah tepat peristiwa yang probabilitasnya ingin dicari.
3. Pangkatkan e dengan −λ: hasilnya adalah e^(−λ).
4. Pangkatkan λ dengan k: hasilnya adalah λ^k.
5. Cari k!, yaitu faktorial k.
6. Kalikan hasil langkah 3 dan 4, lalu bagi dengan hasil langkah 5.

Angka yang diperoleh adalah probabilitas antara 0 dan 1. Kalikan angka tersebut dengan 100 untuk menyatakannya sebagai persentase.

Contoh perhitungan

Sebuah pusat panggilan menerima rata-rata 5 panggilan per jam (λ = 5). Berapa probabilitas pusat tersebut menerima tepat 3 panggilan dalam satu jam tertentu (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Kalikan: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Bagi dengan 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Probabilitas tepat 3 panggilan dalam satu jam tersebut adalah sekitar 0,140, atau 14%.

Contoh lainnya

Penggunaan distribusi Poisson

Distribusi Poisson memodelkan hitungan peristiwa langka yang saling independen. Penggunaan umumnya mencakup:

• Pusat panggilan dan layanan pelanggan: memprediksi jumlah panggilan atau obrolan yang masuk per jam.
• Manufaktur: memperkirakan jumlah cacat dalam satu batch produk.
• Asuransi: memperkirakan jumlah klaim yang masuk dalam jangka waktu tertentu.
• Biologi dan kedokteran: memodelkan jumlah mutasi atau penyebaran penyakit langka.
• Fisika: menjelaskan peluruhan radioaktif, ketika setiap atom meluruh secara independen dengan laju rata-rata yang konstan.
• Rekayasa lalu lintas dan jaringan: memperkirakan kedatangan kendaraan di persimpangan atau permintaan yang masuk ke server.

Syarat penggunaan distribusi Poisson

Distribusi Poisson hanya sesuai untuk suatu situasi jika semua kondisi berikut terpenuhi:

• Peristiwa terjadi satu per satu; dua peristiwa tidak dapat terjadi pada saat yang persis sama.
• Peristiwa terjadi secara independen — satu peristiwa tidak membuat peristiwa berikutnya lebih atau kurang mungkin terjadi.
• Laju rata-rata, λ, tetap konstan sepanjang interval yang sedang dikaji.

Jika lajunya berubah seiring waktu atau peristiwa cenderung berkelompok, distribusi Poisson biasa tidak akan menggambarkan data dengan baik.

Poisson dibandingkan dengan distribusi terkait

• Distribusi binomial: digunakan ketika terdapat jumlah percobaan yang tetap dan probabilitas keberhasilan yang diketahui pada setiap percobaan, seperti melempar koin 20 kali. Distribusi Poisson merupakan hasil yang didekati distribusi binomial ketika jumlah percobaan menjadi sangat besar dan probabilitas keberhasilan per percobaan mendekati nol, sementara hasil kali keduanya tetap mendekati λ.
• Distribusi normal: untuk λ yang besar, kira-kira di atas 20, distribusi Poisson tampak menyerupai distribusi normal berbentuk lonceng dengan rata-rata λ dan varians λ.
• Distribusi eksponensial: distribusi Poisson menghitung jumlah peristiwa yang terjadi dalam interval tetap, sedangkan distribusi eksponensial menggambarkan waktu tunggu antara peristiwa-peristiwa tersebut.

Catatan tentang sejarahnya

Matematikawan Prancis Siméon Denis Poisson memperkenalkan distribusi ini pada 1837, dalam sebuah buku tentang probabilitas yang diterapkan pada putusan pengadilan. Pada awalnya, distribusi ini kurang mendapat perhatian. Penggunaannya berkembang pada awal abad ke-20, setelah ahli statistik seperti Ladislaus Bortkiewicz dan Ronald Fisher menerapkannya pada data hitungan nyata, termasuk penelitian terkenal tentang tentara Prusia yang tewas akibat tendangan kuda.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa arti lambda (λ) dalam distribusi Poisson? Lambda adalah jumlah rata-rata peristiwa yang diperkirakan terjadi dalam interval yang sedang dikaji. Lambda juga merupakan varians distribusi tersebut, sehingga λ yang lebih besar berarti jumlah rata-rata yang lebih tinggi dan sebaran hasil yang mungkin lebih luas.

Apakah k atau λ boleh negatif atau berupa pecahan? λ harus lebih besar dari 0, tetapi dapat berupa desimal, seperti 2,5 peristiwa per jam. k harus berupa bilangan bulat 0 atau lebih, karena k menghitung peristiwa yang sebenarnya terjadi; k tidak boleh negatif atau berupa pecahan.

Apa perbedaan distribusi Poisson dan distribusi binomial? Distribusi binomial memerlukan jumlah percobaan yang tetap dan probabilitas keberhasilan per percobaan yang tetap. Distribusi Poisson hanya memerlukan laju rata-rata dan berlaku untuk peristiwa yang pada prinsipnya dapat terjadi berapa pun kali.

Kapan distribusi normal sebaiknya digunakan? Untuk λ yang besar, umumnya di atas sekitar 20, distribusi normal dengan rata-rata dan varians yang sama mengaproksimasi distribusi Poisson dengan baik dan sering kali lebih mudah dihitung secara manual.

Mengapa kalkulator terkadang menampilkan angka dalam notasi ilmiah? Hasil biasanya ditampilkan hingga enam tempat desimal. Jika probabilitas lebih kecil dari 0,0001, enam tempat desimal akan membulatkannya menjadi 0,000000 dan menyembunyikan ukuran sebenarnya, sehingga kalkulator beralih ke notasi ilmiah. Jika λ = 20 dan k = 1, hasil yang ditampilkan adalah 4.122307e-8, yang berarti 0,00000004122307.

Apakah ada batasan pada nilai yang dapat diterima kalkulator? Ya. λ harus lebih besar dari 0 dan tidak lebih besar dari 700, sedangkan k harus berupa bilangan bulat dari 0 hingga 1000. Di luar batas tersebut, kalkulator menampilkan kesalahan. Batas ini menjaga hasil tetap dalam rentang angka yang dapat disimpan komputer dan menjaga grafik memiliki jumlah batang yang mudah dibaca.

Apakah distribusi Poisson memungkinkan lebih dari satu peristiwa terjadi sekaligus? Tidak. Model ini mengasumsikan bahwa peristiwa terjadi satu per satu. Jika dua peristiwa secara rutin terjadi bersamaan, distribusi lain akan lebih sesuai untuk menggambarkan data tersebut.

Referensi

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, bagian 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, dan Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.