Kalkulator Distribusi Binomial - Alat Probabilitas Gratis

Apa itu kalkulator distribusi binomial?

Kalkulator distribusi binomial mencari probabilitas memperoleh jumlah keberhasilan yang tepat dalam sejumlah percobaan independen yang tetap, ketika setiap percobaan memiliki peluang keberhasilan yang sama. Kalkulator ini digunakan dalam statistika, pengendalian mutu, kedokteran, dan bidang apa pun yang mempelajari peristiwa ya-atau-tidak yang berulang.

Gagasan dasarnya adalah distribusi binomial, yaitu model probabilitas untuk menghitung keberhasilan dalam percobaan berulang yang masing-masing hanya memiliki dua hasil, biasanya disebut keberhasilan dan kegagalan.

Rumus distribusi binomial

Probabilitas memperoleh tepat k keberhasilan dalam n percobaan adalah:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Setiap simbol berarti:

• n — jumlah percobaan.
• k — jumlah keberhasilan yang probabilitasnya hendak dicari.
• p — probabilitas keberhasilan dalam satu percobaan, yaitu bilangan antara 0 dan 1.
• $\binom{n}{k}$ — koefisien binomial, yaitu jumlah cara berbeda untuk memilih k keberhasilan dari n percobaan. Nilainya sama dengan $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Setiap percobaan harus independen, artinya hasil satu percobaan tidak mengubah peluang percobaan lain, dan probabilitas keberhasilan p harus tetap sama di semua percobaan. Satu percobaan dengan dua hasil yang mungkin, seperti satu kali pelemparan koin, disebut percobaan Bernoulli. Distribusi binomial diperoleh dengan menjumlahkan n percobaan Bernoulli.

Cara menghitung probabilitas binomial

1. Tuliskan n, k, dan p.
2. Hitung koefisien binomial $\binom{n}{k}$, yaitu jumlah cara menempatkan k keberhasilan di antara n percobaan.
3. Pangkatkan p dengan pangkat k.
4. Pangkatkan (1 − p) dengan pangkat (n − k).
5. Kalikan ketiga angka tersebut.

Kalkulator di halaman ini melakukan langkah-langkah tersebut secara otomatis. Masukkan n, p, dan k, lalu kalkulator mengembalikan P(X = k) beserta diagram batang yang menunjukkan probabilitas setiap hasil yang mungkin, dari 0 hingga n keberhasilan.

Contoh perhitungan

Contoh 1: pelemparan koin

Lempar sebuah koin yang adil sebanyak 10 kali. Berapa probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Hasil: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, atau sekitar 11,72%

Contoh 2: pengendalian mutu

Sebuah pabrik memeriksa 100 barang. Setiap barang memiliki peluang 2% untuk cacat. Berapa probabilitas bahwa tidak satu pun dari 100 barang tersebut cacat?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Karena k = 0, rumusnya menjadi $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Hasil: ≈ 0,1326, atau sekitar 13,26%

Contoh 3: pengujian penyakit

Sebuah kota menguji 1.000 orang untuk penyakit yang menginfeksi 0,1% populasi (p = 0,001). Berapa probabilitas tepat 5 dari 1.000 orang tersebut terinfeksi?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Hasil: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, atau sekitar 0,30% (nilai tepat 0,0030488, yaitu 0,30488%)

Rata-rata dan varians

Untuk distribusi binomial dengan parameter n dan p:

• Rata-rata (nilai harapan): E(X) = np
• Varians: Var(X) = np(1 − p)
• Simpangan baku: σ = √[np(1 − p)]

Rata-rata menunjukkan jumlah keberhasilan rata-rata yang diharapkan setelah banyak pengulangan. Dalam Contoh 1, rata-ratanya adalah 10 × 0,5 = 5 sisi kepala.

Masukan yang diterima kalkulator

• n harus berupa bilangan bulat 1 atau lebih. Masukan desimal dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk jumlah percobaan, sehingga 10,9 dianggap sebagai 11.
• p harus berada antara 0 dan 1, termasuk kedua batas tersebut.
• k harus berupa bilangan bulat 0 atau lebih, dan tidak boleh lebih besar daripada n. Memperoleh 8 keberhasilan dalam 5 percobaan adalah hal yang mustahil, sehingga kalkulator menampilkan kesalahan, bukan angka.

Jika kotak mana pun dibiarkan kosong, kalkulator tidak menampilkan hasil maupun diagram, alih-alih menebak nilainya.

Kapan distribusi binomial berlaku

Distribusi binomial hanya sesuai untuk situasi ketika keempat kondisi berikut terpenuhi:

1. Jumlah percobaan, n, ditetapkan sebelumnya.
2. Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil: keberhasilan atau kegagalan.
3. Probabilitas keberhasilan, p, sama pada setiap percobaan.
4. Percobaan-percobaan tersebut saling independen.

Mengambil kartu dari setumpuk kartu tanpa pengembalian melanggar kondisi independensi, karena pengambilan satu kartu mengubah peluang pada pengambilan berikutnya. Situasi tersebut memerlukan distribusi hipergeometrik.

Distribusi terkait

• Distribusi Poisson: digunakan untuk memperkirakan distribusi binomial ketika n besar dan p kecil, sehingga jumlah rata-rata keberhasilan (np) tetap sedang. Distribusi ini umum digunakan untuk memodelkan peristiwa langka seperti kasus penyakit dalam Contoh 3.
• Distribusi normal: untuk n yang besar, dan ketika p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, distribusi binomial tampak kira-kira berbentuk lonceng dan dapat diperkirakan dengan distribusi normal yang memiliki rata-rata np dan varians np(1 − p).
• Distribusi hipergeometrik: digunakan sebagai pengganti distribusi binomial ketika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian dari populasi berhingga.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa yang dilakukan kalkulator distribusi binomial?

Kalkulator ini menghitung probabilitas memperoleh tepat k keberhasilan dalam n percobaan independen, yang masing-masing memiliki probabilitas keberhasilan p, menggunakan rumus P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Apa perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi normal?

Distribusi binomial bersifat diskret, artinya hanya menghasilkan hitungan keberhasilan berupa bilangan bulat. Distribusi normal bersifat kontinu. Untuk n yang besar, distribusi binomial dapat diperkirakan dengan kurva normal yang memiliki rata-rata np dan varians np(1 − p).

Dapatkah p bernilai 0 atau 1?

Ya. Jika p = 0, tidak ada percobaan yang dapat berhasil, sehingga P(X = 0) = 1. Jika p = 1, setiap percobaan berhasil, sehingga P(X = n) = 1. Semua nilai k lainnya memiliki probabilitas 0 dalam kasus tersebut.

Apa hubungan antara distribusi binomial dan distribusi Bernoulli?

Distribusi Bernoulli menjelaskan satu percobaan dengan dua hasil (n = 1). Distribusi binomial adalah jumlah dari n percobaan Bernoulli yang independen, sehingga distribusi Bernoulli hanyalah distribusi binomial dengan n = 1.

Seberapa besar n sebelum kalkulator menjadi tidak akurat?

Kalkulator bekerja dengan aritmetika presisi ganda standar. Kalkulator mengalikan langsung tiga bagian rumus tersebut dan beralih ke logaritma ketika koefisien binomial melebihi angka terbesar yang dapat disimpan oleh tipe data double, yang terjadi di sekitar n = 1.000 ketika k mendekati n/2. Hasilnya tetap benar di atas titik tersebut. Probabilitas yang lebih kecil daripada sekitar 1e-308 dilaporkan sebagai 0, karena tidak ada tipe data double yang dapat menyimpannya.

Bagaimana koefisien binomial dihitung?

Koefisien binomial C(n, k) menghitung jumlah cara memilih k item dari n item, tanpa memperhatikan urutan. Nilainya sama dengan n! / (k! × (n − k)!). Kalkulator menghitungnya secara bertahap, mengalikan dengan satu faktor lalu membagi dengan faktor berikutnya, sehingga tidak perlu menyimpan faktorial lengkap. Untuk n yang sangat besar, kalkulator menjumlahkan logaritma faktor-faktor tersebut.

Referensi

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., dkk. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.