Kalkulator Distribusi Gamma

Pendahuluan

Distribusi gamma adalah distribusi probabilitas kontinu yang banyak digunakan di berbagai bidang sains, teknik, dan keuangan. Distribusi ini ditandai oleh dua parameter: parameter bentuk (k atau α) dan parameter skala (θ atau β). Kalkulator ini memungkinkan Anda untuk menghitung berbagai properti dari distribusi gamma berdasarkan parameter input ini.

Rumus

Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari distribusi gamma diberikan oleh:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Di mana:

• x > 0 adalah variabel acak
• k > 0 adalah parameter bentuk
• θ > 0 adalah parameter skala
• Γ(k) adalah fungsi gamma

Fungsi distribusi kumulatif (CDF) adalah:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Di mana γ(k, x/θ) adalah fungsi gamma tidak lengkap yang lebih rendah.

Properti kunci dari distribusi gamma meliputi:

1. Rata-rata: $E[X] = k\theta$
2. Varians: $Var[X] = k\theta^2$
3. Skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan parameter bentuk (k atau α)
2. Masukkan parameter skala (θ atau β)
3. Klik "Hitung" untuk menghitung berbagai properti dari distribusi gamma
4. Hasilnya akan menampilkan rata-rata, varians, skewness, kurtosis, dan informasi relevan lainnya
5. Visualisasi dari fungsi kepadatan probabilitas akan ditampilkan

Perhitungan

Kalkulator ini menggunakan rumus yang disebutkan di atas untuk menghitung berbagai properti dari distribusi gamma. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah:

1. Validasi parameter input (baik k maupun θ harus positif)
2. Hitung rata-rata: $k\theta$
3. Hitung varians: $k\theta^2$
4. Hitung skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Hitung kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Hitung mode: $(k-1)\theta$ untuk k ≥ 1, jika tidak 0
7. Hasilkan titik untuk kurva PDF menggunakan rumus yang diberikan di atas
8. Plot kurva PDF

Pertimbangan Numerik

Saat menerapkan perhitungan distribusi gamma, beberapa pertimbangan numerik harus diperhatikan:

1. Untuk parameter bentuk yang sangat kecil (k < 1), PDF dapat mendekati tak terhingga saat x mendekati 0, yang dapat menyebabkan ketidakstabilan numerik.
2. Untuk parameter bentuk yang besar, fungsi gamma Γ(k) dapat menjadi sangat besar, berpotensi menyebabkan overflow. Dalam kasus seperti itu, disarankan untuk bekerja dengan logaritma dari fungsi gamma.
3. Saat menghitung CDF, sering kali lebih stabil secara numerik untuk menggunakan algoritma khusus untuk fungsi gamma tidak lengkap daripada integrasi langsung dari PDF.
4. Untuk nilai parameter yang ekstrem, mungkin perlu menggunakan aritmatika presisi tinggi untuk mempertahankan akurasi.

Kasus Penggunaan

Distribusi gamma memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang:

1. Keuangan: Memodelkan distribusi pendapatan, jumlah klaim asuransi, dan pengembalian aset
2. Meteorologi: Menganalisis pola curah hujan dan fenomena terkait cuaca lainnya
3. Teknik: Analisis keandalan dan pemodelan waktu kegagalan
4. Fisika: Mendeskripsikan waktu tunggu antara peristiwa peluruhan radioaktif
5. Biologi: Memodelkan kelimpahan spesies dan tingkat ekspresi gen
6. Riset Operasi: Teori antrian dan manajemen inventaris

Alternatif

Meskipun distribusi gamma serbaguna, ada distribusi terkait yang mungkin lebih tepat dalam situasi tertentu:

1. Distribusi Eksponensial: Kasus khusus dari distribusi gamma ketika k = 1
2. Distribusi Chi-kuadrat: Kasus khusus dari distribusi gamma dengan k = n/2 dan θ = 2
3. Distribusi Weibull: Sering digunakan sebagai alternatif dalam analisis keandalan
4. Distribusi Log-normal: Pilihan umum lainnya untuk memodelkan data positif yang miring

Estimasi Parameter

Saat bekerja dengan data dunia nyata, sering kali perlu untuk memperkirakan parameter distribusi gamma. Metode umum meliputi:

1. Metode Momen: Menyamakan momen sampel dengan momen teoretis
2. Estimasi Maksimum Likelihood (MLE): Mencari parameter yang memaksimalkan kemungkinan mengamati data
3. Estimasi Bayesian: Menggabungkan pengetahuan sebelumnya tentang parameter

Pengujian Hipotesis

Distribusi gamma dapat digunakan dalam berbagai pengujian hipotesis, termasuk:

1. Uji goodness-of-fit untuk menentukan apakah data mengikuti distribusi gamma
2. Uji untuk kesetaraan parameter skala antara dua distribusi gamma
3. Uji untuk kesetaraan parameter bentuk antara dua distribusi gamma

Sejarah

Distribusi gamma memiliki sejarah yang kaya dalam matematika dan statistik:

• Abad ke-18: Leonhard Euler memperkenalkan fungsi gamma, yang terkait erat dengan distribusi gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson menggunakan kasus khusus dari distribusi gamma dalam karyanya tentang teori probabilitas
• 1920-an: Ronald Fisher mempopulerkan penggunaan distribusi gamma dalam analisis statistik
• Pertengahan abad ke-20: Distribusi gamma menjadi banyak digunakan dalam rekayasa keandalan dan pengujian kehidupan
• Akhir abad ke-20 hingga sekarang: Kemajuan dalam daya komputasi telah memudahkan untuk bekerja dengan distribusi gamma dalam berbagai aplikasi

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kode untuk menghitung properti dari distribusi gamma:

1' Fungsi VBA Excel untuk PDF Distribusi Gamma
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Penggunaan:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Distribusi Gamma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Kepadatan Probabilitas')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Contoh penggunaan:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Hitung properti
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Rata-rata: {mean}")
29print(f"Varians: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Rata-rata: ${mean}`);
19    console.log(`Varians: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Contoh penggunaan:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Plot PDF (menggunakan pustaka plotting hipotetis)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Contoh-contoh ini menunjukkan cara menghitung properti dari distribusi gamma dan memvisualisasikan fungsi kepadatan probabilitasnya menggunakan berbagai bahasa pemrograman. Anda dapat menyesuaikan fungsi-fungsi ini sesuai kebutuhan spesifik Anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Referensi

1. "Distribusi Gamma." Wikipedia, Yayasan Wikimedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Diakses 2 Agustus 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Distribusi statistik. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Sebuah catatan tentang distribusi gamma. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Generalisasi distribusi gamma. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.