Kalkulator Distribusi Gamma - Alat Analisis Statistik

Apa Itu Kalkulator Distribusi Gamma?

Kalkulator distribusi gamma menghitung rata-rata, varians, kemencengan, kurtosis, dan modus distribusi gamma dari dua masukan: parameter bentuk dan parameter skala. Kalkulator ini juga menggambar fungsi kepadatan probabilitas distribusi tersebut sebagai kurva.

Apa Itu Distribusi Gamma?

Distribusi gamma adalah distribusi probabilitas kontinu untuk nilai positif. Distribusi ini ditentukan oleh dua parameter: parameter bentuk, yang biasanya ditulis sebagai k, dan parameter skala, yang biasanya ditulis sebagai θ (theta). Keduanya harus lebih besar dari nol. Distribusi gamma digunakan untuk memodelkan besaran yang tidak dapat bernilai negatif, seperti total curah hujan, besar klaim asuransi, dan waktu hingga suatu komponen mesin mengalami kerusakan.

Rumus Distribusi Gamma

Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) distribusi gamma adalah:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Di sini, x adalah nilai tempat kepadatan diukur, dan Γ(k) adalah fungsi gamma, yaitu generalisasi faktorial untuk bilangan non-integer. Rumus ini hanya berlaku untuk x > 0; kepadatannya nol di semua tempat lainnya.

Cara Menghitung Sifat Distribusi Gamma

Dari parameter bentuk k dan parameter skala θ, kalkulator menghitung:

• Rata-rata: k × θ
• Varians: k × θ²
• Kemencengan: 2 / √k
• Kurtosis: 3 + 6 / k
• Modus: (k − 1) × θ jika k ≥ 1, jika tidak 0

Kemencengan mengukur seberapa tidak simetrisnya kurva. Nilai k yang lebih kecil menghasilkan ekor kanan yang lebih panjang. Kurtosis mengukur seberapa berat ekor dibandingkan dengan distribusi normal, yang memiliki kurtosis sebesar 3. Modus adalah nilai x tempat kurva mencapai puncaknya. Jika k kurang dari 1, kepadatan terus meningkat saat x mendekati 0, sehingga tidak ada puncak di bagian dalam, dan kalkulator melaporkan modus sebesar 0.

Contoh perhitungan

Ambil parameter bentuk k = 2 dan parameter skala θ = 3.

• Rata-rata = 2 × 3 = 6
• Varians = 2 × 3² = 18
• Kemencengan = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Modus = (2 − 1) × 3 = 3

Pada titik modus, x = 3, nilai kepadatannya adalah f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Kalkulator secara otomatis menggambarkan kurva lengkap setelah kedua parameter dimasukkan.

Cara Menggunakan Kalkulator Distribusi Gamma

1. Masukkan parameter bentuk (k), yaitu bilangan positif.
2. Masukkan parameter skala (θ), yaitu bilangan positif.
3. Rata-rata, varians, kemencengan, kurtosis, dan modus muncul segera setelah kedua kolom berisi bilangan yang valid. Tidak ada tombol hitung terpisah; hasil diperbarui saat bilangan dimasukkan.
4. Grafik di bawah hasil menunjukkan fungsi kepadatan probabilitas. Grafik tersebut dibuat mulai sedikit di atas x = 0 hingga nilai yang lebih besar antara tiga kali rata-rata atau lima kali parameter skala.

Kedua parameter harus berupa bilangan berhingga yang lebih besar dari 0, dan tidak satu pun boleh lebih besar dari 1000. Nilai yang lebih kecil dari sekitar 2 × 10⁻¹⁶ juga ditolak karena pada ukuran tersebut angka ringkasan tidak lagi bermakna. Nilai di luar rentang yang diterima menghasilkan pesan kesalahan, bukan hasil.

Distribusi Gamma Digunakan di Mana?

Distribusi gamma memodelkan banyak besaran nyata yang selalu positif dan sering kali miring ke kanan:

• Asuransi: besar klaim dan jumlah pembayaran
• Meteorologi: total curah hujan selama periode tertentu
• Teknik: waktu hingga suatu komponen mengalami kerusakan
• Teori antrean: waktu tunggu yang terbentuk dari beberapa tahap eksponensial
• Biologi: tingkat ekspresi gen dan data jumlah spesies

Distribusi Terkait

Dua distribusi yang terkenal merupakan kasus khusus dari distribusi gamma:

• Distribusi eksponensial: distribusi gamma dengan k = 1
• Distribusi khi-kuadrat: distribusi gamma dengan k = n/2 dan θ = 2, dengan n sebagai derajat kebebasan

Distribusi Weibull dan log-normal merupakan alternatif umum untuk memodelkan data positif yang miring.

Pertanyaan yang sering diajukan

Untuk apa distribusi gamma digunakan? Distribusi ini memodelkan besaran kontinu dan positif, seperti waktu tunggu, jumlah curah hujan, dan klaim asuransi, terutama ketika data cenderung mengarah ke nilai yang besar.

Bagaimana cara menghitung rata-rata distribusi gamma? Kalikan parameter bentuk dengan parameter skala: rata-rata = k × θ. Untuk k = 2 dan θ = 3, rata-ratanya adalah 6.

Apa perbedaan antara parameter bentuk dan parameter skala? Parameter bentuk (k) mengendalikan bentuk kurva, termasuk kemencengannya. Parameter skala (θ) meregangkan atau memampatkan kurva sepanjang sumbu x tanpa mengubah bentuk dasarnya.

Bagaimana hubungan distribusi gamma dengan distribusi eksponensial? Distribusi eksponensial adalah distribusi gamma dengan parameter bentuk k = 1.

Apakah distribusi gamma dapat menghasilkan nilai negatif? Tidak. Distribusi ini hanya didefinisikan untuk x > 0. Data yang dapat bernilai negatif memerlukan distribusi lain, seperti distribusi normal.

Apakah kalkulator ini menghitung fungsi distribusi kumulatif? Tidak. Kalkulator ini menghitung rata-rata, varians, kemencengan, kurtosis, dan modus, serta menggambar fungsi kepadatan probabilitas. Kalkulator ini tidak menghasilkan nilai probabilitas kumulatif.

Referensi

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.