二次方程式ソルバー - ax² + bx + c = 0 の解を計算

二次方程式とは？

二次方程式とは、$ax^2 + bx + c = 0$の形をした方程式です。ここで、$a$、$b$、$c$は数であり、$a$は0ではありません。このページの二次方程式ソルバーは、ユーザーが入力した係数$a$、$b$、$c$を使って、方程式を成り立たせる$x$の値を求めます。

もし$a$が0なら、$x^2$の項がなくなり、方程式は二次方程式ではなく一次方程式になります。そのため、計算機では$a \neq 0$を要求し、$a = 0$の場合はエラーを表示します。

二次方程式の解の公式

$ax^2 + bx + c = 0$の形の二次方程式はすべて、解の公式で解くことができます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\pm$記号は、プラス記号を使う計算とマイナス記号を使う計算という、2通りの計算を表します。これが、二次方程式が異なる2つの解を持つことがある理由です。

平方根の中の式$b^2 - 4ac$は判別式と呼ばれます。通常は$\Delta$（ギリシャ文字のデルタ）と書きます。判別式だけで、残りの計算を行う前に、方程式がいくつの実数解を持つかがわかります。

根の計算方法

1. 方程式を標準形$ax^2 + bx + c = 0$にします。
2. 係数$a$、$b$、$c$を特定します。
3. 判別式を計算します：$\Delta = b^2 - 4ac$。
4. $\Delta$が正なら、$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$を使って両方の根を計算します。
5. $\Delta$が0なら、$x = \dfrac{-b}{2a}$を使って1つの根を計算します。
6. $\Delta$が負なら、負の数には実数の平方根がないため、方程式には実数の根がありません。

このページの計算機は、これらの手順を自動的に実行します。$-10^{10}$から$10^{10}$までの係数を受け付け、結果を0桁から10桁まで、指定した小数点以下の桁数に丸めます。

判別式の意味

この計算機は、$\Delta$が負の場合、「実数の根なし」と表示します。複素数の根（$i = \sqrt{-1}$を含む数）は計算しません。

計算例

$x^2 + 5x + 6 = 0$を解きます。

ここでは、$a = 1$、$b = 5$、$c = 6$です。

まず判別式を求めます。

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

$\Delta$は正なので、方程式には2つの実数の根があります。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

因数分解によって確認できます：$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$は、$x = -2$または$x = -3$のとき0になります。

2つ目の例では、判別式が負になります。$x^2 + x + 1 = 0$では、$a = 1$、$b = 1$、$c = 1$なので、$\Delta = 1 - 4 = -3$です。$\Delta$は負なので、方程式には実数の根がありません。

放物線、頂点、対称軸

$f(x) = ax^2 + bx + c$のグラフは、放物線と呼ばれる曲線です。$a$が正なら、放物線は上に開き、最低点を持ちます。$a$が負なら、下に開き、最高点を持ちます。その最低点または最高点が頂点です。

頂点は次の位置にあります。

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

頂点を通る鉛直線$x = -\dfrac{b}{2a}$は対称軸と呼ばれます。放物線の2つの部分がこの線に関して互いに鏡映するためです。方程式の実数の根は放物線がx軸と交わる点なので、対称軸の両側にあり、軸からの距離は同じです。

この計算機は、結果の横にこの放物線を描画します。曲線上に頂点と実数の根があればそれらを示し、すべての根が表示範囲内に収まるよう、必要に応じて描画範囲を広げます。

二次方程式の利用分野

二次方程式は、現実にある多くの状況を表します。物理学では、投げられた物体の時間経過に伴う高さは方程式$h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$に従い、これを$t$について解くと、物体が着地する時刻がわかります。工学では、力を集中または分散させる仕組みにより、放物線形状がパラボラアンテナや橋のケーブルに見られます。コンピュータグラフィックスでは、レイトレーシングプログラムが二次方程式を解き、直線と球の交点を求めます。

短い歴史

バビロニアの数学者たちは、紀元前2000年頃までには、代数ではなく幾何学的な方法を使って、特定の二次問題を解いていました。ユークリッドなどのギリシャの数学者も、二次方程式を幾何学的に扱いました。紀元600年頃、インドの数学者ブラーマグプタは、負の解を含む根の明示的な公式を示しました。紀元800年頃、ペルシアの数学者アル・フワーリズミーは、二次方程式を解く体系的な方法を、後に「代数」という語の由来となった書物で説明しました。代数表記がルネサンス期に発展するにつれて、現代的な記号による解の公式の形が後に標準となりました。

よくある質問

係数aに0を入力するとどうなりますか？ 計算機はエラーを表示します。$a = 0$にすると方程式が一次方程式$bx + c = 0$になり、別の方法で解く必要があるためです。

方程式に実数の根がないことがあるのはなぜですか？ 判別式$b^2 - 4ac$が負の場合に起こります。負の数には実数の平方根がないため、公式から実数の$x$を得ることはできません。方程式には複素数の根が2つありますが、この計算機はそれらを計算しません。

根と解の違いは何ですか？ 違いはありません。どちらも、方程式を0にする$x$の値を指します。「根」はグラフがx軸と交わる位置を指し、「解」は代数的な意味で使われます。

小数点以下は何桁まで選べますか？ 0桁から10桁までです。日常的な問題では、通常は小数点以下2桁または3桁で十分です。

非常に大きな係数を入力できますか？ 係数は$-10^{10}$から$10^{10}$までの範囲でなければなりません。この範囲外の値は丸め誤差を引き起こす可能性があるため、受け付けられません。

この計算機は複素数の根を求められますか？ いいえ。判別式が負の場合、複素数を計算せず、「実数の根なし」と表示します。

参考文献

1. 二次方程式 – MathWorld
2. NIST数学関数デジタルライブラリ、§1.11、代数：二次方程式